1、第八章 圆锥曲线方程,双曲线,第 讲,2,(第一课时),1. 平面内与两个定点F1、F2的_的_为正常数(小于_)的点的轨迹叫做双曲线,这两个点叫做双曲线的_. 2.双曲线也可看成是平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l(点F在直线l外)的距离_的点的轨迹,其中这个常数就是双曲线的_,其取值范围是_;这个定点F是双曲线的一个_;这条定直线是双曲线的一条_.,距离之差,绝对值,焦点,之比为常数,离心率,(1,+),焦点,准线,2.双曲线的标准方程和几何性质,x轴,y轴,x轴,y轴,原点,原点,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a ),(1,+),2a,2b,实半轴,3.设双曲线的实
2、半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则a、b、c三者的关系是 _;焦点在x轴上的双曲线的标准方程 是 _;焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 _. 4.对于双曲线(a0,b0):,c2=a2+b2,(1)x的取值范围是 _;y的取值范围是 _. (2)双曲线既关于 _成轴对称图形,又关于 _成中心对称图形. (3)双曲线的两个顶点坐标是 _;两个焦点坐标是 _;两条准线方程是 _;两条渐近线方程是 _. (4)双曲线的离心率e= _;一个焦点到相应准线的距离(焦准距)是 _.,(-,-aa,+),R,x轴、y轴,原点,(a,0),(c,0),(5)设P0(x0,y0)为双曲线上一点,F1、F2
3、分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|= _;|PF2|= _. 5.与双曲线 (a0,b0)有共同渐近线的双曲线系方程是 _. 6.实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做 _;其离心率e= _;两渐近线方程为 _.,|a+ex0|,|a-ex0|,等轴双曲线,y=x,1.如果双曲线 上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的右准线的距离是( )解:利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为 故选D.,D,已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.,【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 几何条件,结合双曲线定义求解.,考点
4、一 双曲线的定义,对应演练,在ABC中,A为动点,B,C为定点,B(- ,0), C( ,0)且满足条件sinC-sinB= sinA,则动点A的轨迹方程是( ) A. (y0) B. (x0) C. (y0)的左支 D. (y0)的右支,D(sinC-sinB= sinA,由正弦定理得|AB|-|AC|= |BC|= a(定值).A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线右支,其中实半轴长为 ,焦距为|BC|=a.虚半轴长为 ,由双曲线标准方程得 (y0)的右支.故应选D.),变式题,思路 利用渐近线方程求出a,再根据双曲线定义求解,1. 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1) 经过点( ,3)
5、, 且一条渐近线方程为4x+3y=0; (2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直, 与两个顶点连线的夹角为 .,题型2 求双曲线的标准方程问题,解:(1)因直线x= 与渐近线4x+3y=0的交点坐标为( ,-5),而3|-5|,故双曲线的焦点在x轴上,设其方程为由 解得故所求的双曲线方程为 (2)设F1、F2为双曲线的两个焦点. 依题意,它的焦点在x轴上.,因为PF1PF2,且OP=6, 所以2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以c=6. 又P与两顶点连线的夹角为 , 所以 所以b2=c2-a2=24. 故所求的双曲线方程为 点评:双曲线的标准方程有两个参数,一般由两个独立条件得到这两个
6、参数的方程组,再求解即可.,变式题,(2)与双曲线 有共同渐近线,且过点P(3, 4 ).,(2)与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可表示为 =m(m0),由题意m= =-1,故所求双曲线方程为 =1.,变式题,(2010全国课程标准卷)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( ),2. 已知双曲线 的左、右焦点分别 为F1、F2,左准线为l,在双曲线的左支上存在 点P,使得|PF1|是点P到l的距离d与|PF2|的等比 中项,求双曲线离心率的取值范围. 解:因为在左支上存在P点,使|PF1|2=|P
7、F2|d, 由双曲线的第二定义知, 即 |PF2|=e|PF1|. 再由双曲线的第一定义,得PF2-|PF1|=2a.,题型2 求双曲线离心率的值或取值范围,考点 双曲线的性质,由,解得 因为在PF1F2中有|PF1|+|PF2|2c, 所以 利用e= ,则式为e2-2e-10, 解得1- e1+ . 因为e1,所以1e1+ ,故e(1,1+ . 点评:求离心率的取值范围,一是先把条件转化为关于a、c的式子,然后化为 的式子;二是结合一些隐含性质,如本题中的三角形两边之和大于第三边,双曲线的离心率的范围等.,已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点,P为双曲线左支上任意一点.若 的最小值为8a
8、,则双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,3 B. (0,3 C. (1,2 D. (1,+) 解:由双曲线的定义知,此时|PF1|=2a,|PF2|=4a.,A,如图,|PF1|+|PF2|F1F2| 成立,即2a+4a2c,即6a2c, 则e= . 又双曲线的离心率e1, 综合得双曲线离心率的取值 范围为(1,3,故选A.,双曲线 (a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s c.求双曲线的离心率e的取值范围.,【分析】直接用已知的“距离之和s c”这个条件列出只含有a和c的不等式,再通过构造法,将此
9、不等式变形为一个只有e= 的不等式,再解不等式即可得解.,【解析】直线l的方程为 ,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l 的距离d1= .同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2= . s=d1+d2= .由s c,得 c,即5a 2c2.于是得5 2e2.即4e4-25e2+250,解不等式,得 e25.由于e1,所以e的取值范围是 e .,对应演练,双曲线C: (a0,b0)的右顶点A,x轴上 有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使APPQ=0, 求此双曲线离心率的取值范围.,设P点坐标为(x,y),则由APPQ=0,得APPQ, 则P点在以A
10、Q为直径的圆上, 即 . 又P点在双曲线上,得 . 由消去y,得,(a2+b2)x2-3a2x+2a4-a2b2=0. 即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0. 当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去. 当x= 时,满足题意的P点存在, 需x= a,化简得a22b2, 即3a22c2, . 离心率e= (1, ).,【评析】e2= 这一关系在双曲线 的有关运算中常常用到,同时要注意三种曲线关于e的 范围的区别.,变式题,1.在求双曲线方程和研究双曲线的性质时,要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a、b、c、e的几何意义及它们之间的相互关系. 2.类比双曲线与椭圆
11、的性质时,要突出双曲线的渐近线,特别是由渐近线方程求双曲线方程时,不能直接写出双曲线方程.如渐近线方程是 要把双曲线方程写成: ,再根据已知条件确定 的值,求出双曲线方程.,3.双曲线的渐近线方程可认为是把标准方程中的“1”用“0”代替得出的直线方程,不同的双曲线可以有相同的渐近线,两渐近线的交点即为双曲线中心,平行于渐近线的直线与双曲线有且只有一个交点. 4.双曲线的离心率反映了双曲线的开口程度.因为ca0,所以 1,e越大,双曲线开口越大.,1.过点(2,-2)且与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程是( )解:可设所求双曲线方程为 ,把点(2,-2)的坐标代入方程得=-2,故选A.,A,3.已知F是双曲线 的左焦点,A(1,4), P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为_. 解:注意到点A在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线性质|PF|-|PF|=2a=4,而|PA|+|PF|AF|= 5,两式相加得|PF|+|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.,9,