1、全日制义务教育数学课程标准解读IP 讲座讲稿东北师范大学 李淑文第二讲 标准的基本理念与核心概念标准的理念是构建整个标准的基石，对标准内容的认识和理解从它的基本理念开始。一、 标准的基本理念1、对数学课程的认识标准指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。 ”这一提法反映了义务教育阶段面向全体学生，体现基础性、普及性和发展性的基本精神，代表着一种新的数学课程理念和实践体系。（1）人人学有价值的数学是指作为教育内容的数学，应满足学生未来社会生活的需要，能适应学生个性发展的要求，并有益于启迪思维、开发智力。就内容来讲“有价值的数学”应包括基本的数学的概念与
2、运算，空间与图形的初步知识，与信息处理、数据处理有关的统计与概率初步知识等第，还包括在理解与掌握这些内容的过程中形成和发展起来的数学概念和能力，如数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力和应用意识等等。（2）人人都获得必需的数学是指“有价值”的数学应该、也能够为每一个学生所掌握。它意味着标准中所规定的内容及教学要求是最基本的，是每一个普及义务教育的地区、每一个智力正常的儿童，在教师的引导和学生自身的努力下，人人都能够获得成功体验的。（3）不同的人在数学上得到不同的发展是指数学课程要面对每一个有差异的个体，适应每一个学生的不同发展需要。因此，数学课程涉及的领域应该是广泛的，这些领域里既有可供学
3、生思考、探究和具体动手操作的题材，也接触、了解、钻研自己感兴趣的数学问题，最大限度地满足每一个学生的数学需要，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能，为有特殊才能和爱好的学生提供更广阔的活动领域和更多的发展机会。2、对数学的认识因为数学不仅是一门知识，更是人类实践活动创造的产物，是有诸多元素构成的多元结构；社会与文化不仅推动着数学的发展，同时数学也是推动社会与文化发展的关键性因素；对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点中去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验；因此， 标准没有采取简单定义的方法，而是从数学与人类社会生活、数学与人类文化等方面指出，数学是人类生活的工具；数学是人类用于交流的语
4、言；数学能赋予人创造性；数学是一种人类文化等。（1） 标准强调在数学课程中应充分体现人类生活与数学之间的联系；（2） 标准强调作为数学课程内容的数学也要作为一种人类活动来对待。3、对数学学习的认识（1）数学课程的内容不仅要包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程；（2）数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。4、对数学教学的认识（1）数学教学活动要关注学生的个人知识和直接经验；（2）教师的角色要作相应改变。5、对数学教育评价的认识（1）要把过程纳入评价的视野；（2）拓展多样化的评价目标和方法；（3）促进教师改进教学。6、对现代信息技术在数学课程中的作用的认识（1）树
5、立数学课程与现代信息技术融合的观念；（2）现代信息技术要致力于改变学生的学习方式。二、 标准的核心概念1、数感标准在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维” 。并且在内容标准的几个阶段都阐述了培养学生数感的问题，明确地把数感作为学习内容提出来。可见，重视数感、强调使学生在数学学习过程中建立数感，是标准中一个值得重视的问题。（1）对数感的认识 数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的问题作出有用的策略。在人们的学习和生活实践中经常要和各种各样的数打交道，人们常常会有意识地将一些现象与数量建立
6、起联系如走进一个会场，在我们面前的是 2 个集合，一个是会场的座位，一个是出席的人，有人会自然地将这 2 个集合作一下估计，不用计数，就可以知道这2 个集合是否相等，哪个集合大一些，这就是一种数感。在中小学数学教学中，发展学生的数感主要是指，使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法（如心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能依据数据进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验建立数感可以理解为会“数学地”思考。我们没有必要让人人都成为数学家，但应当使每一个公民都在一定程度上会数学地思考。美国学者格劳斯（Grouws）认
7、为，学会数学地思考就是形成数学化和抽象化的数学观点，运用数学进行预测的能力，以及运用数学工具解决现实问题的能力。具有数感的人，常常将有关问题与数联系起来，用数学的方式思考问题。数感强的人眼中看到的世界，可能与其他人不同，遇到可能与数学有关的具体问题时，能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理和解释。因此，数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。（2） 标准中数感的涵义标准在关于学习内容的说明中，描述了数感的主要表现：“理解数
8、的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释 ”这是对数感的具体描述，是义务教育阶段培养学生数感的主要内容。 理解数的意义是数学教育的重要任务。在义务教育阶段学生要学习整数、小数、分数、有理数等数概念这些概念本身是抽象的，需要为学生提供充分的可感知的现实背景，才能使学生真正理解。学生能将这些数概念与它们所表示的实际含义建立起联系，了解数概念的实际含义，是理解数的标志，也是建立数感的表现 用多种方法表达数既是理解数概念的需要，也使学生了解数的发展过程抽象的数字符号不是表示数的唯
9、一方式，人们可以用不同的方式表示数。人类早期对数的认识是从实物、代替物、图像，逐渐发展为数字符号的，学生认识数也有一个由具体到抽象的过程引导学生用不同的方式表示数，会使学生切实了解数的发展过程，增强学生的数感如通过数学故事向学生介绍古代人们用“结绳记数”等方式表示数，用算筹进行计算等 在具体的情境中把握数的相对大小关系，不仅是理解数概念的需要，同时也会加深学生对数的实际意义的理解如标准中列举的例子，对于“50，98，38，10，51”这些数，能用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系，并用“”或“ ”表示它们的大小关系分数和有理数的大小更是具有相对性，在具体的情境中，学生才
10、会深入地理解它们1/3 这个数，对于不同的整体所代表的实际大小是不同的一个苹果的 1/3 是 1/3 个苹果，一筐苹果的 1/3 可能是 10 个苹果。让学生学会用数来表达和交流信息会使学生体会学习数学的价值，也是数感的具体表现观察身边的事物，有哪些是用数字描述的，有哪些可以用数或数码来描述学生解决问题的过程中选择适当的算法，对运算结果的合理性作出解释，也是形成数感的具体表现学习数学的目的在于解决问题，运算是解决问题的工具，学生遇到具体问题时首先要想到用什么方法解决这个问题，选择什么算法解决，然后再算出具体的结果同样一个问题可以用不同的方法解决，同样一个算式，也可以有不同的计算方法有些问题的解
11、法是唯一的，有些问题可能会有多种不同的解法为学生适当提供一些开放式的问题，有助于这种意识和能力的培养（3）数感在数学教育中的作用标准将培养学生数感作为一个重要的目标，在不同学段中都有明确的要求，这是数学课程改革的需要，也符合义务教育阶段学生培养目标义务教育阶段的数学教育要面向全体学生，数学教育的目的在于提高学生的数学素养大多数学生将来不会成为数学家或数学工作者，但每一个学生都应建立一定的数感，这对他们将来的生活和工作都是有价值的。中小学数学教育中培养学生数感的目的在于使学生学会数学地思考，学会用数学的方法理解和解释现实问题。数感的培养在数学教育中起着重要的作用数感的建立是提高学生数学素养的重要
12、标志。义务教育阶段的数学教育要为每一个学生的发展着想，适应每一个人的需要作为公民素养之一的数学素养，不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的大小来衡量学生学会数学地思考问题，用数学的方法理解和解释实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，是数学素养的重要标志一个小学或初中毕业生，学习了那么多的数学知识，但不会估计一个学校操场大约有多大，不知道如何用最恰当的方式向别人说明自己所在的位置，不能在需要的时候用数学的方式解释某些现象这能说学生的数学素养高吗？这样的数学教育能说是成功的数学教育吗？注重培养学生的数感，正是针对以往的数学教育过分强调单一的知识与技能训练，忽视数学与现实的联系，忽视数学的实际
13、运用这种倾向提出来的。数感的建立也是培养学生创新精神与实践能力的需要。学生有更多的机会接触和体验现实的问题，表达自己对问题的看法，用不同的方式思考和解决问题，这无疑会有助于学生创新精神和实践能力的培养。数感的培养有助于学生数学地理解和解释现实问题。数学是人们认识社会、认识自然和日常生活的工具学生学习数学，一方面是为进一步学习打下基础，另一方面是要学会用数学的观点和方法认识周围事物和发现客观世界的规律，学会用数学的方法自觉地、有意识地观察、认识和理解周围的事物，处理有关的问题培养学生的数感就是让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系建立起联系例如，一个学校有 500 人，如果
14、所有的学生都在学校用午饭，每次都用一次性筷子，估计一下一年要用多少双这样的筷子？这大约需要多少棵普通的树？对这个问题的理解就是一个“数学化”的过程，学生在这个过程中逐步学习数学地理解和认识事物。数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。解决问题能力的培养关键是在具体的问题情境中让学生去探索、去发现，解决一个问题可能需要一种以上的策略，不只是简单地套用公式解固定的模式化的问题要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情境中提出问题，找出数学模型，就需要具备一定的数感学会将一个生活中的问题转化成一个数学问题，这种思维的方式，与一般的解决书本上现成问题的思维方式有着明显的差异学生要在遇到
15、具体问题时，自觉地、主动地与一定的数学知识和技能建立起联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型具备一定的数感是完成这类任务的重要条件例如，怎样为参加学校运动会的全体运动员编号？这是一个实际问题，没有固定的解法，你可以用不同的方式编，而不同的编排方案可能在实用性和便捷性上是不同的，如何从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，或很快地知道这名运动员是参加哪类项目等。（4）注重在教学过程中体现数感 学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的教学过程中应当结合有关内容，加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在数学教学过程之中 在数概念教学中重视数感的培养。数概念
16、的切实体验和理解与数感密切相关，数概念本身是抽象的，数概念的建立不是一次完成的，学生理解和掌握数概念要经历一个过程让学生在认识数的过程中，更多地接触和经历有关的情境和实例，在现实背景下感受和体验，会使学生更具体、更深刻地把握数概念，建立数感。标准中强调， “要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感” （第一学段） 在认识数的过程中，让学生说一说自己身边的数，生活中用到的数，如何用数表示周围的事物等，会使学生感到数学就在自己身边，运用数可以简单明了地表示许多现象说一说自己的学号，自己家所在的街道号码，住宅
17、的门牌（或单元）号码，汽车和自行车牌的号码；估计一页书有多少字，一本故事书有多少字，一把黄豆有多少粒等对这些具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大的帮助。标准中在不同学段都对学生数概念的建立提出具体的目标， “结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计” （第一、二学段） ， “在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题” （第二学段） ， “理解有理数的意义和运算” ， “能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断” （第三学段） 。有效地组织这些内容的教学，是学生建立数感的基础如，认识大数目时，引导学生观察、体会大数的情境，了解大数
18、在现实生活中的应用，有助于学生体会数的意义，建立数感国庆游行时的一个方队的人数，体育场一面的看台上能坐多少人？学校操场能容纳多少人？通过这样一些具体的情境，会使学生切实感受到大数在学生头脑中一旦形成对大数的理解，就会有意识地运用它们理解和认识有关的问题，逐步强化数感在第三学段，随着学生年龄的增长，数的认识领域的扩大，可以逐步呈现较复杂的情境，让学生作解释和判断如存款利率，国民生产总值，生产成本与价格等问题的探索和研究。在数的运算中加强数感的培养对运算方法的判断，运算结果的估计，都与学生的数感有密切的联系 标准中提出， “应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算
19、和程式化地叙述算理 避免将运算与应用割裂开来”（第一、二学段） “使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程” ， “能用有理数估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念” （第三学段）等目标和要求。这些都是培养学生数感的需要。结合具体的问题，选择恰当的算法，会增强对运算实际意义的理解，培养学生的数感。学习运算是为了解决问题，不是单纯地为了计算而计算，为了解题而解题以往的数学教学过多地强调学生运算技能的训练，简单地重复练习没有意义的题目，学生不仅感到枯燥无味，而且不了解为什么要计算，为什么一定要用固定的方法计算一个问题可以通过不同的方法找到答案，一个
20、算式也可以用不同方式确定结果用什么方式更合适，得到的结果是否合理，与问题的实际背景有直接关系解决问题，并不是只用一种方法找到答案，也不是只有一个唯一的答案学生在探索实际问题的过程中，会切实了解计算的意义和如何运用计算的结果 随着学生的年龄增长和知识经验的丰富，引导学生探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感把数感的建立与数量关系的理解与运用结合起来，与符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助学生的整体数学素养的提高估计方程 的解。102x首先画出函数 的图象（下图） ，可以看出方程的两个根分别在-4.
21、5y与-4 之间和 2 与 2.5 之间。以正根为例，可以先把 ，2.3，2.4 代入 ，用计算器计算出2.x 102xy函数值，然后把结果填入表中：x 2.2 2.3 2.4y -0.76 -0.11 0.56根据第一步计算结果，方程的正根在 23 与 24 之间。如果结果只要求一位小数的话，近似解取 23 即可。如果精确度要求较高，可以继续把 =2.31，2.32，2.33 等代入。xx 2.3 2.3y -0.0439 0.0224根据第二步计算结果，方程的正根在 2.31 与 2.32 之间。如果结果只要求两位小数的话，近似解取 2.32 即可。培养学生数感应当成为中小学数学教育的重要
22、目标之一， 标准中确定这方面的目标与要求，在实际教学中需要结合具体的教学内容有意识地设计具体目标，提供有助于培养学生数感的情境，有利于发展学生数感的评价方式，以促进学生数感的建立和数学素养的提高2、符号感用符号进行表示是社会文明得以发展的最强有力的工具之一，数学课程的任务就是使学生感受和拥有这种能力，掌握和运用这个工具 标准根据数学学科和课程的特点，把在解决问题过程中发展学生的“符号感”作为义务教育阶段的一个重要学习内容。（1）符号感的含义符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学校数学教育的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，
23、发展学生的符号感。标准强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题 ”例如，在解决“一张桌子最多可以围坐 6 人，15 人至少需要多少张桌子？”# # # # # # # # # # # # # # # # 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号表示引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔指出：“代数开始的典型特征是文字演算字母作为数学符号有 2 种作用。首先，字母可作为专用名词，
24、如是个完全确定的数，或用 A 表示 2 直线交点。显然特定集合需要使用标准的专用名词，如 Z，N 。其次，字母可作为不确定的名词，就像日常生活中的人 ，可以表示所有的人。 ”用符号来表示具体情境中的数量关系，也像普通的语言一样，首先需要引进基本的字母在数学语言中，像数字以及表示数的字母，表示运算的符号和表示关系的符号等等，是用数学语言刻画各种现实问题的基础。从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，有些学生是形式主义地死记硬背，而不理解其意义因此，要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字
25、母表示数的意义。用字母表示运算法则、运算律以及计算公式。这种一般化是基于算法的，常常开始于小学算术中数的运算。算法的一般化，深化和发展了对数的运算的认识。如加法交换律 ；乘法结合律 ；完全平方公式（abcab)(） 。22)(ac代数中用字母表示数，把人们对数的知识上升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，这是从算术向代数抽象的一个飞跃用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。用字母可以表示现实世界和各门学科中的各种数量关系例如，匀速运动中的速度 v、时间 t 和路程 s 的关系：s=vt 等等。用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和
26、变化规律，并确切地表示出来，从而进一步用数学知识去解决问题。例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的数量相等关系列出方程；我们用字母（例如 x，y）表示某一变化过程中相关的 2 个变量，利用问题条件给出的变量间的相互关系，列出函数表达式等等。对于标准所说的“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”的意义在于这种表示常常开始于探索和发现规律，然后用代数式一般化地将它们表示出来。例如：把火柴棒象下图那样拼成正方形。那么，正方形的个数 n 和火柴棒的根数具有怎样的关系？改变火柴棒的摆放方法，作成别的图形（如下图） ，图形的个数 n 与火柴棒的根数具有怎样的关系？ 从具体情
27、境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程。一般化超越了具体实际问题的情景，深刻地揭示和指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。 理解符号所代表的数量关系和变化规律使学生在现实情境中能够理解符号表示的意义并能解释代数式的意义。如代数式 6p 可以表示什么？学生可以解释为：如果 p 表示正六边形的边长，6p 可以表示正六边形的周长；如果 p 表示一本书的价格，6p 可以表示 6 本书的价格；6p 也可以表示一张光盘的价格是一本书的价格的 6 倍；如果一条长凳可以坐
28、6 个小朋友，6p 表示 p 条长凳可以坐 6p 个小朋友等。用关系式、表格、图像表示变量之间的关系。如制成一个尽可能大的无盖长方体的问题： 用一张正方形的纸，利用在它的 4 个角分别剪去一个小正方形的方法制成一个无盖长方体，怎样才能使制成的无盖长方体的容积最大？ 假设用边长为 20 的正方形纸，剪去的小正方形的边长依次为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？ 用表格表示（见表 1）：正方形的边长 1 2 3 4 5长方体的容积 324 512 588 576 500正方形的边长 6 7 8 9 10长方体的容积 384 252 128 30 0表 1
29、通过表 1，我们看到当小正方形的边长为 3 时，无盖长方体的容积最大。我们把表 1 在小正方形的边长取 2.5 到 3.5 之间进行细化，得到表 2： 正方形的边长 2.5 3 3.5长方体的容积 562.5 588 591.5表 2这时得到当小正方形的边长为 3.5 时，无盖长方体的容积最大。我们还可以把表 2 在小正方形的边长取 3 到 3.5 之间进行细化。总之，我们可以根据所要达到的精确度继续上述过程，直到满意为止。用代数式表示： 仍设这张正方形纸的边长为 a，所折无盖长方体的高为 h，则无盖长方体的容积 v 与 h 的关系是： 。2)(haV会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数
30、量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号化符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运用和推理，最后得到结果，这就是数学建模的思想事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。能从关系式、表格、图像所表示的变量之间的关系中获取所需信息。表 3 是我国从 1949 年到 1999 年的人口统计数据（精确到 0.01 亿）： 时间（年） 1949 1959 1969 1979 1989 1999人口（亿） 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59表 3表 3 中的数据表示了哪 2 个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？根据表 3 的数据，预测一下我国 200
31、9 年人口的总数，并说明为什么。学生不仅要能获得 1949 年到 1999 年的人口统计数据，而且要能分析每隔 10 年人口变化的趋势，从而初步地作出一些预测。 会进行符号间的转换 这里所说的符号间的转换，主要指表示变量之间关系的表格法、解析式法、图像法和语言表示之间的转换 用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效获得对概念本身或问题背景深入理解的方法因此用多种方法表示不仅可以加强对概念的理解，而且也是解决问题的重要策略从数学学习心理的角度看，不同的思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心能把变量之间关系表示的一种形式转换为另一种方式，也就是能在 4 种表示形式之间进行转换，构成数学学习过
32、程中的重要方面 图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图像表示以其直观性有着其它的表示方式所不能替代的作用，图像是将关系式和数据转化为几何形式因此，图像是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。这 4 种表示之间是互相联系的，一种表示的改变会导致其它表示的相应改变 能选择适当的方法解决符号表示的问题 解决问题的第一步是将问题进行表示，也就是进行符号化然后就是选择算法，进行符号运算如果说第一步是把实际问题转化为数学问题，即数学化，那么第二步就是在数学内部的推理、运算等算法的选择以及进行符号运算是十分重要的问题（2）学生符号感的培养 数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达（Fracois
33、 Viete） ，由于他的符号体系的引入导致代数在性质上产生重大变革在这以后的 100 年之中，几乎所有初等数学和微积分背后的想法都被发现了没有符号化的代数，就没有高层次的数学数量科学，从而也就没有现代技术和现代科学的发展2 如果说代数是一种语言的话，那么数字和字母就是这种语言的“字母” ，表达式就是这种语言的“词” ，关系式（如等式、不等式）就是这种语言的“句子” 既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用它进行推理、计算、交流和解决问题 要尽可能在实际的问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感在教材编写与教学中，对符号演算的处理尽量避免让学生机械地练习和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等以帮助学生理解。标准认为必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算但是并不主张进行过多、过繁琐的形式运算的训练 学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而是贯穿于学生数学学习的全过程，伴随着学生数学思维层次的提高逐步发展的
