1、结合正、反例认识曲线与方程的关系田载今“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计 的理论与实践”第七次课题会， 对“ 曲线与方程”的课例进行了深入的研讨。笔者认为，这个课例选得好，好就好在它确实是能够集中体现中学数学的核心概念与思想方法的一个典型课例。众所周知，数量关系（简称“数”）与空间图形（简称“形” ）是数学研究的两大对象。数学的发展中，最早形成的两个基本的分支，即算术-代数是研究“数”的分支，几何是研究“ 形” 的分支。两个分支的研究中，虽然在一些具体问题上也有交叉与关联，例如通过单位正方形的 对角线发现了无理数 ，但是在那个阶段， “数”与“形”的转化、数形结合的思想方法，并未
2、形成数学中具有普遍意义的核心概念和思想方法。直到 17 世纪，由笛卡尔与费马创立了解析几何，才使“数”与“ 形”的转化、数形结合的思想方法在数学中占据重要地位。作为一个哲学家，笛卡尔的内心中始终怀有把事物的普遍规律揭示出来的基本信念。他要建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何等统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式。现在看来，虽然对于数学浩瀚如海的诸多内容，要实现笛卡尔的设想绝非易事，但是解析几何确实是用代数工具讨论几何问题的成功之作。平面解析几何的基本思想可以归结为两个要点：第一，在平面建立坐标系，使平面上的点以坐标表示形式与有序实数对
3、建立一一对应；第二，平面上的曲线是满足一定条件的点的集合，这些条件可以通 过点的坐标表现为代数方程，于是平面上的一条曲线就可由一个代数方程 来表示了。解析几何的创立，成为“ 数”与“形”相互转化、形成数形结合思想方法的典范，它促成了变量的引入，使数学 进入了一个新的发展时期，即变量数学时期。恩格斯 对此曾经评价说：“ 笛卡尔变数的出现是数学中的转折点，从此运动和辩证法进入了数学，微积分也就立刻成为必要的了”在高中学习解析几何，不仅要掌握直线、 圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程，能应用它们解题，而且要在一般意义上理解曲 线与方程的关系，即 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，体 验“ 数”
4、与“形”的转化与结合，认识解析几何基本思想方法的要点。为此，人教版高中数学A 版在选修 2-1 第二章“圆锥曲线与方程”之首， 专门安排了第 2.1 节“曲线与方程”。这一 节具有承上启下的作用，在前面必修部分已有“ 直线与圆 的方程” 的基础上， 进行由“ 特殊” 到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲 线与方程的关系，介 绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆锥曲线等储备理论基础。分析教材后可以明显地发现，第 2.1 节“曲线与方程 ”中，核心概念是曲线与方程的关系，也即“曲线的方程”与“方程的曲线” 的概念。教材中为表述它们写有如下一段：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的
5、点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。这段话不长，却很精练准确地道出曲线与方程的关系的实质。仔细分析它，可以看出：其中，（1）里“都”字的作用很重要，“都是 这个方程的解” 保证了曲线上每一点的坐标都满足方程，即这一曲线上的点是“清一色 ”的，其上没有混杂进来坐标不满足方程的点。因此，（1）保证了曲线对于方程的纯粹性。同 样地，（2）里“都”字的作用也很重要，“都是曲线上的点” 保证了坐标满足方程的点全部落在曲线上，即这一曲线是“独一家”容纳方程的解对应
6、的点的地方，没有遗漏任何坐标满足方程的点在这一曲线之外。因此，（2）保证了曲线对于方程的完备性。 纯粹性与完备性合起来，保证了曲线与方程的等价性，即 这里的曲线与方程是同一事物的两种表现形式，前者是几何形式，后者是代数形式，它们可以互相转化。也可以从集合的角度认识上述关系。一方面，我们记平面上所有点构成的集合为 ，则平面上任一点 P，平面上的曲 线 C 。另一方面，我 们记集合为 R ，则任一有序实数对 R ，二元方程 的实数解集 F = R 。在平面建立坐 标系后，使得平面上的点 P 以坐标表示形式与有序实数对 建立一一 对应，于是平面曲 线C（点的集合）就与 （有序实数对的集合）等价地对应
7、，记为 C ；二元方程 与其实数解集 F 等价地对应，记为 F。 与 F 都是 R 的子集，如果 = F，则由等价传递性，曲线 C就与方程 等价地对应，即 C 。这一转化过程如下所示：建立平面直角坐标系， C , F ； 是 C 的方程，C 是 的曲线。根据集合相等的定义， = F 即这两集合相互包含。教材中那段 话中的（1）就是说 F；（2）就是说 F 。两者合起来即 = F。这就是从集合角度对曲线与方程关系的解释。从上述分析可以看到，教材中寥寥几行对曲线与方程关系的描述，包含了“ 形”与“数”的等价转化，体现了解析几何的真谛。但是，由于这段文字具有高度抽象概括的数学语言特色，所以对于一般高
8、中生来说， 仅凭阅读这段文字而理解其含义确实不易实现。在实际教学中，如何克服上述难点？这是我们应关注的问题。笔者在第七次课题会研讨活动的启发下，感到利用学生已有对直线和圆的方程的认识基础，结合一些具体的曲线与方程的例子，从正、反两方面 认识一般的曲线与方程的关系，可能会有助于理解“曲线的方程 ”与“方程的曲线” 这些核心概念的本质，也有助于进一步体验“数”与“形” 的转化与 结合的思想方法。为此，教学中不妨使用类似下面的例子，设计问题启发学生思考。例 1 结合曲线与方程关系的条件（1）（2）说明：单位圆的方程为 ，方程 的曲线为单位 圆 。笔者认为，虽然学习本课之前学生对单位圆的方程已很熟悉，
9、本课中引出曲线与方程关系时也会从圆的方程说起，但是在给出曲线与方程关系的一段文字之后，仍有必要再次用简单 而具体的例子解释曲线与方程关系中的（1）（2）两层含义。为说明这个问题，学生需要用单位圆的几何特征（圆心在原点，半径 为 1 的圆）说明其上任一点的坐标满足方程 ，并反 过来说明只要 是这个方程的解，则点 P 到原点的距离为 1，从而 P 一定在单位圆上。尽管 这样做看起来有些繁琐重复，但对于刚开始理解抽象文字所表达的含义却是不可或缺的。它创设了以直观事例解释抽象概念的机会，使学生能独立地从认识定义入手来理解概念。教学中，根据需要可以多举几个类似的例子。忽 视正面运用这种简单例子，可能会使
10、教学欲速则不达。例 2 下列哪条曲线是方程 的曲线？请说 明理由。由方程 可知，其解 满足 。A，B 中的曲线上都有横坐标为负数的点（例如点（1， 0），即曲 线上点的坐标不都是方程 的解。因此，这 两曲线不是这个方程的曲线。虽然 C 中的曲线上各点的坐标都是方程 的解，但是 还有这个方程的解对应的点不在这个 1/4 单位圆上，例如点（ 0，-1）。因此，这一曲线不是这个方程的曲线。D 中的右半单位圆上所有点的坐标都满足方程 ，反之，这个方程的每个解对应的点 满 足 ，并且它们又都在右半单位圆上。因此，右半单位圆上是方程 的曲线。例 3 下列哪个方程是下图中曲线 C（两条相交直线：第一、三象限
11、的直角平分线，第二、四象限的直角平分线 ）的方程？请说明理由。A B. C. D. 这里所说的曲线 C 由两条直线组成，其中，第一、三象限的直角平分线上的点的坐标不是方程 的解，第二、四象限的直角平分线上的点的坐标不是方程 的解。因此，这两方程不是曲线 C 的方程。虽然两条直线上任一点的坐标都是方程 即=0 的解，但是坐标为方程 的解的点不全在这两条直线上，例如点（1，0）。因此，方程 不是曲线 C 的方程。两条直线上任一点的坐标都是方程 的解，反之，这个方程的每个解对应的点（ ）又都在两条直线上。因此，方程 是曲线 C的方程。笔者认为，对于抽象性较强的数学概念的教学，必 须结合具体例子帮助学生理解概念的含义。但是，仅用正面例子解释，有时还难 以让学生真正理解概念，曲线与方程的关系就属于这样的概念。因此，教学中需要设计一些反例， 让学生通过正、反例的对比辨析、鉴别真伪，从不同角度来认识定义文字所隐含的内容，从而达到“有比 较才能鉴别 ，有鉴别才能深化认识”的学习效果。类似例 2、例 3这样带有反例（例 2、例 3 中的 A，B，C）的问题，其内容与学生的知识基础很接近，但又容易形成认识上的 误区，具有一些思 维上的挑战性，可能会 给学生留下较深刻的印象。它们具有单纯正例所起不到的独特作用，教学中对此应予以关注，这对核心概念和重要思想方法的教学尤为重要。
