1、 帮你归纳总结(五）：导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”一、参数引起的分类讨论例：已知函数 , 当 时，讨论函数 的单调性。1)(ln)(2xpxf 0p)(xf解： f的定义域为（0，+） ， pxf 2 12，当 1p时， ()fx0，故 ()f在（0，+）单调递增；当 0 1 时，令 f=0，
2、解得 12px.则当 2,px时， ()f0； ,时，()f 0.故 ()fx在 12,0p单调递增，在 ,12p单调递减. 例：已知函数 ln()()xk，求函数 ()fx的单调区间；解:（1） (),f,所以, 0k在时, ;0在时 ,由 ()0fx得: 1,k所以,时 ()1,fx上为增函数；0k在时 ,fk在上为增函数；在 1,k上为减函数；二、判别式引起的分类讨论例：已知函数 2()lnfxax， ()R， 讨论 ()fx在定义域上的单调性。解：由已知得 ，21,0af （1）当 ， 时， 恒成立， 在 上为增函80a()fx()fx,)数（2）当 ， 时，180a11) 时， ，
3、在0802a()fx181,2a上为减函数， 在 上为增函数，()fx1810,)2a2）当 时， ，故 在 上为减函数，0a()fx80,2a在 182a，）上为增函数 ()fx综上，当 时， 在 上为增函数;a()fx0,)当) 时， 在 上为减函数，108f181,2a在 上为增函数，()fx80,)2a当 a0 时， 在（0，1上为减函数， 在()f ()fx182， ）上为增函数3、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例：已知函数 ，令 ，若32()fxax=-+()ln1)3()gxfx=+-在 上单调递增，求实数 的取值范围.()gx1,2解：由已知得 ，2 2()ln1)3(
4、4)l()4gxxaxax，14又当 时，恒有 ，1(,)2x0x设 ()44ha，其 对称轴为4182a，(i) 当 12a,即 0a时，应有 216()(14)0a解得: ，所以 0时成立，(ii) 当 ,即 时，应有 ()h即: ()2a解得 0a，综上：实数 的取值范围是 。4、二项系数引起的分类讨论4.已知函数 .2()1ln1fxax(1)讨论函数 的单调性；(2)设 a2，求证：对任意 x1， x2(0，)，| f(x1) f(x2)|4| x1 x2|.解析：(1) f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 ax .a 1x 2ax2 a 1x当 a0 时， f( x)0，故
5、 f(x)在(0，)上单调递增当 a1 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减当1 a0 时，令 f( x)0，解得 x ， a 12a则当 时， f( x)0；当 时， ；(,2x(,)()0fx故 在 上单调递增，在 上单调递减)f10,a1,2a(2)不妨设 x1 x2.由于 a2，故 f(x)在(0，)上单调减少，所以| f(x1) f(x2)|4| x1 x2|等价于f(x2) f(x1)4 x14 x2，即 f(x2)4 x2 f(x1)4 x1.令 g(x) f(x)4 x，则g( x) 2 ax4 .a 1x 2ax2 4x a 1x于是 g( x) 0. 4x2
6、 4x 1x 2x 1 2x从而 g(x)在(0，)上单调减少，故g(x1) g(x2)，即 f(x1)4 x1 f(x2)4 x2，故对任意 x1， x2(0，)，| f(x1) f(x2)|4| x1 x2|.三、针对性练习1.已知函数 0(3ln)( aRaf 且 （）求函数 )(xf的单调区间；（）当 2a时，设函数 32)(xeph，若在区间 ,1e上至少存在一个0x， 使得 )(00f成立，试求实数 的取值范围解：（）由 xa1知：当 时，函数 )(f的单调增区间是 )1,0(，单调减区间是 ),1(；当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 0； （） .32ln,2fa令
7、)xfhxF，则 xepxepxF ln232ln)() .1. 当 0p时，由 ,1得 0ln,0xe，从而 )(, 所以，在 ,上不存在 使得 )(0fh ；2. 当 时， 2,1,22 xepxF,0)(,2px在 ,1e上恒成立，故 )(在 1e上单调递增。 4)()(maxepF故只要 4，解得 42ep 综上所述， p的取值范围是),1(2。2.已知函数 ,求函数 的单调区间； )ln)(2Raxaxf (xf解： ,12()( xf若 时，则 0 在（1， ）恒成立，0a)2(),2xafa 所以 的增区间（1， ）.(f若 ，故当 ， ， 2,0a则 2,(ax 01)2() xaf当 时， ，),x()xf所以 a0 时 的减区间为（ ） ， 的增区间为 . )(f 2,1a(f ),2a
