1、 / 11 1一、公式法必会的乘法公式【公式 1】 cabcbacb2)(22【公式 2】 (立方和公式)3)【公式 3】 (立方差公式)22)(【公式 4】 332abab【公式 5】 23()【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x30.7b【例 2】分解因式：(1) (2) 481a76ab二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处mbn理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【
2、例 3】把 分解因式205axyx【例 4】把 分解因式22()()bcdabcd2分组后能直接运用公式【例 5】把 分解因式2xy【例 6】把 分解因式248z十字相乘法分解因式1二次三项式（1）多项式 ，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， cbxa2为常数项例如： 和 都是关于 x 的二次三项式32652（2）在多项式 中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作86yx常数，就是关于 的二次三项式（3）在多项式 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次372ab/ 11 2三项式同样，多项式 ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项12)(7)(2y
3、x式2十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 )()(2 bxabxa方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式 cbxa2)()( 2122121 cxcxacxa大家知道， 12112cx反过来，就得到： 212()()()xacxac我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按12c1212,a12c斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，
4、如果它正好等于 的一次项系数 ，那么acxbcb就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行2axbc12()()x1,ac2,a十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连
5、线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母【例 1】把下列各式因式分解：(1) (2) 276x2136x(3) (4) 545(5) (6) 22xy22()8()1xx竖分二次项与常数项/ 11 3交叉相乘，和相加检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱例2、因式分解与系数的关系若多项式 a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数 k 可取的值有( )A.5个 B.6个 C.8个 D.4个分析：因为二次
6、项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中 mn=16，k=m+n，所以整数k 可取值的个数取决于式子 mn=16的情况.(其中 m、n 为整数)因为16=28，16=(-2)(-8)16=44，16=(-4)(-4)16=116，16=(-1)(-16)所以 k=10，8，16答案：B2一般二次三项式 型的因式分解2axbc【例 2 把下列各式因式分解：(1) (2) 15x22568y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”
7、凑”，先” 凑”绝对值，然后调整，添加正、负号练习 1：分解因式(1) (2) (3) 257x2384a2576x(4) (5) (6) 2610y2510b22310abxy(7) (8) (9) 227x4278x22483mn(10) 5310yx练习 2 分解因式(1) ； (2) ； (3) 94x )(2)(5)(73yxy120)8(2)8(2aa4、 5 9024)(32(26538646 7 ca(ca)bc(bc) ab(ab)5yxyx三、十字相乘与其它知识综合例1.分组分解后再用十字相乘/ 11 4把2x 2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解：原式=(2
8、x 2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=(x-2y)-32(x-2y)-5=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例 2.换元法与十字相乘法把(x 2+x+1)(x2+x+2)-6 分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x 2+x)看成一个“字母” ，把这个式子展开，就可以得到关于(x 2+x)的一个二次三项式(或设 x2+x=u，将原式化为(u+1)
9、(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x 2+x+1)(x2+x+2)-6=(x2+x)+1(x2+x)+2-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，例 3、 把 10x-27xy-28y-x+25y-3 分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-（27y+1）x -（28y-25y+3） 4y -3 7y -1 =10x-（27y+1）x -（4y-3）（
10、7y -1） 2 -（7y 1） 5 4y - 3=2x -（7y -1）5x +（4y -3） =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把 28y-25y+3 用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：2x -（7y -1）5x +（4y -3） 解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 2 -7y5 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=（2x -7y）+1 （5x +4y）-3 =（2x -7y+1）（5x
11、+4y -3） 说明:在本题中先把 10x-27xy-28y用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 用十字相乘法分解为（2x -7y）+1 （5x +4y）-3. (试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)/ 11 5例 4.因式分解与十字相乘法已知(x 2+y2)(x2-1+y2)=12求：x 2+y2的值解：(x 2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)(x2+y2)-1-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0(x2+y2)-4(x2+y2)+3
12、=0x 2+y20例 5 把下列各式分解因式：(1) ；91024x(2) ；)(2)(5)(73yxy(3) 10882aa点悟：(1)把 看作一整体，从而转化为关于 的二次三项式；x2x(2)提取公因式( x y)后，原式可转化为关于( x y)的二次三项式；(3)以 为整体，转化为关于 的二次三项式82a8(2a解：(1) )91(910224 xx( x1)( x1)( x3)( x3)(2) )()(5)723yy( xx( x y)(x y)17( x y)2( x y)(x y1)(7 x7 y2)(3) 120)8(2)82aa1()08)(622aa点拨：要深刻理解换元的思想
13、，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止/ 11 6例 6 分解因式： 90)24)(32(2xx点悟：把 看作一个变量，利用换元法解之x2解：设 ，则y原式( y3)( y24)9016272( y18)( y9)9)(822xx点拨：本题中将 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外， 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解)9(186272yy例 7 分解因式 65324xx点悟：可考虑换元法及变形降次来解之解：原式 8)1()(62
14、2x，50)12xx令 ，则y原式 )506(2x13y)0)(52(xx3122)()(xx点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原” ，这是一个重要环节/ 11 7例 8：解关于 x 方程：x- 3ax + 2aab -b=0 分析：2aab-b可以用十字相乘法进行因式分解 解：x- 3ax + 2aab -b=0 x- 3ax +（2aab - b）=0 1 -b 2 +bx- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -（2a+b） 1 -（a-b） x-（2a+b） x-（a-b）=0所
15、以 x1=2a+b x2=a-b例 9 已知 有一个因式是 ，求 a 值和这个多项式的其他因式1264x42x点悟：因为 是四次多项式，有一个因式是 ，根据多项式的乘法原则可42x知道另一个因式是 （ a、 b 是待定常数） ，故有32x 164x2(根据此恒等关系式，可求出 a， b 的值)()42bxa解：设另一个多项式为 ，则32bx1624x)3)(2ba，12)4(4234 xbaxx 与 是同一个多项式，所以其162 12)43()3xba对应项系数分别相等即有/ 11 8由、解得， a1， b1，代入，等式成立 a1，另一个因式为 32x点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方
16、法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视练习 3、1、已知 有一个因式是 ，求 a 值和这个多项式的其他因式1264x42x2、若 xy6， ，则代数式 的值为_367323yy提高版练习 1、把下列各式分解因式：(1) ； (2) ； (3) ； 724x36524x 424165yx(4) ； (5) ； (6) 6368ba2a46937baa练习 2、(1) ； (2) ； (3) ；24)(x9)(2x 222 )3()1(xx(4) ；(5) ；(6) 60)(17)(22 8)(7)(22x48)()(2ba练习 3已
17、知 xy 2，xy a4， ，求 a 的值3yx四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式 261x解： 2 2261316(3)5x x(35)()(8)xx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验2拆、添项法【例 12】分解因式 324x分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通过添项或拆项解决解： 32324(1)(3)xx/ 11 92 2(1)3(1)(1)
18、3(1)xxxx24说明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 拆成 ，将多项式分成两组 和2x24y32()x24x一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法( 如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止A 组1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 327a38m3278x(4) (
19、5) (6) 31864pq125xy 316yc2把下列各式分解因式：(1) (2) 3xy3n(3) (4) 223()amnb232()yxy3把下列各式分解因式：(1) (2) (3)2x276x216x(4) (5) (6) 67245mn2()()28ab4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 54310axax2126nnab 2()9x(4) (5) (6) 4278673x28615y(7) (8) ()5()2b2(7)x5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 23axy32841x256xy(4) (5) (6) 24056b2yy4324abab(7) (8
20、) 631xy2()()xx/ 11 10B 组1把下列各式分解因式：(1) (2) 22()()abcdab2248xmn(3) (4) (5) 46x311x338xyy2已知 ，求代数式 的值,222ab3证明：当 为大于 2 的整数时， 能被 120 整除n534n4已知 ，求证： 0abc3230ac第二讲 因式分解答案A 组1 2 22(3)9),(4),(3469),amxx222 2211),( ()(4)6455pqpqxyyycxyc2 (), ),nxyx222432()(11)amnbbmyxxx3 ()1,36)1,3,9)xxx9(5)(4(7nab4 3 2 2(
21、2)8,2,)13),(3)(naxabxxxx51()41)(7(,1567)xya2()3,35),256)()xyxyba2332(),(),(1,(1)xyabbxyxyB 组1 22()(),(42)(,48)(),bcadxmnxxx37xy2 83 534(2)1()2nnn/ 11 114 32322()()acbaabc三、强化练习1.把下列各式分解因式(1)x-x2+42(2)(3)a2n+a4n-2a6n(4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2(5)x2-xy-2y2-x-y2.已知：x 2+xy-2y2=7,求：整数 x、y 的值3已知 x y2， xy a4， ，求 a 的值63答案与提示：1.(1)-(x-7)(x+6) (2) (3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1) (4)-2y(5x+3y)提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母” ，如设 x-y=m，x+y=n，则原式化为m2+3mn-4n2(5)(x+y)(x-2y-1)提示：可参考“疑难精讲例3”2.提示：将已知条件的左边分解因式得：(x+2y)(x-y)=7x、y 都为整数有3 )(223yxyx，)(y又 ， xy a4，2x， ，63y26)(32解之得， a7
