1、奥数数论：余数问题要点及解题技巧一、基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得ab=qr，且 0 余数，q 叫做 a 除以 b 的不完全商。二、余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b除以 c 的余数的积除以 c 的余数。 三、同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称 a、b对于模 m 同余。已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于
2、模 m 同余，记作 ab(modm)，读作 a 同余于 b 模 m。四、同余的性质：自身性：aa(modm)；对称性：若 ab(modm)，则 ba(modm)；传递性：若 ab(modm)，bc(modm)，则a c(modm)；和差性：若 ab(modm)，cd(modm)，则a+c b+d(modm)，a-cb-d(modm)；相乘性：若 ab(modm)，cd(modm)，则ac bd(modm)；乘方性：若 ab(modm)，则 anbn(modm)；同倍性:若 ab(modm)，整数 c，则ac bc(modmc)；五、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位上数字的和，则 Mn(mod9)或（ mod3） ；一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则 MY-X 或M 11-（X-Y）(mod11)；六、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数） ，a 是自然数，且 a 不能被 p整除，则 ap-11(modp)。
