1、1蒙娜丽莎教育初中升高中（数学） 编者：雷老师成都2015.6 暑期培优教材2(一) 集合的含义与表示（ 2 课时）（） 、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的、 关系；元素：用小写的字母 a,b,c,表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母 A，B，C，表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：y=x 2+1 ； x2-x-2=0 ， x| x 2-x-2=0,x|y=x 2+1 ；t|y=t 2+1 ；y|y=x 2+1 ；(x,y)|y=x 2+1 ； ；,03、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；（） 、典例剖析与课
2、堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母 a,b,c,表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母 A，B，C，表示；元素与集合的关系：、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：【例题 1】 、已知集合 A=a-2,2a 2+5a,10,又-3A，求出 a 之值。课堂练习：1、书本 P5：练习题 1；P11：习题 1.1：题 1、2、 5：2、已知集合 A=1，0， x,又 x2A，求出 x 之值。3、已知集合 A=a+2,（a+1） 2，a 2+3a+3,又 1 A，求出 a 之值。二、集合的表示-列举法和描述法【例题 2】
3、 、书本 P3：例题 1、P4 ：例题 2【例题 3】 、已知下列集合：（1） 、 =n | n = 2k+1,k N,k 5 ；（2） 、1A= x | x = 2k, k N, k 3 ；（3） 、 =x | x = 4k1,或 x = 4k1,k k 3 ；2A3 ,N问：（） 、用列举法表示上述各集合；（） 、对集合 ， ， ，如1A23果使 k Z,那么 ， ， 所表示的集合分别是什么？并说明 与 的关系。1A23 13（） 、对集合 ， ， ，如果使 k Z,那么 、 所表示的集合都是奇1A231A3数集； 所表示的集合都是偶数集。2【例题 4】 、已知某数集 A 满足条件：若 ，
4、则 .1,aAAa、若 2 ，则在 A 中还有两个元素是什么；、若 A 为单元素集，求出 A 和 之值.a课堂练习：1、书本 P5：练习题 2；P12：题 3、42、设集合 M=x|x= 4m+2,mZ,N= y|y= 4n+3,nZ ，若 x0M,y 0N ，则 x0y0 与集合 M、N 的关系是（ ）：A、x 0y0M B、x 0y0M C、x 0y0N D、无法确定三、今日作业：1、已知集合 B=x|ax 2-3x+2=0,aR,若 B 中的元素至多只有一个，求出 a的取值范围。2、已知集合 M=xN| Z ，求出集合 M。61+x3、已知集合 N= Z | xN ，求出集合 N。61+
5、x4四、提高练习：【题 1】 、(2006 年 辽宁T 55 分）设是 R 上的一个运算,A 是 R 上的非空子集,若对任意的 a、bA，有 abA，则称 A 对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于 0）四则运算都封闭的是（ ）A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集 【题 2】定义集合运算：AB=zz= xy(x+y)，z A ，yB ，设集合A=0，1 ，B=2，3 ，则集合 AB 的所有元素之和为（ ）（A）0 （B）6 （C）12 （D ）18【题 3】设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q=，则 P+Q 中元素的个数是（ ）,5,|ba若 6,
6、21A9 B8 C7 D6【题 4】设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“*”SS（即对任意的 ，对于有序元素对（ ） ，在 中有唯一确定abS， ab， S的元素 与之对应） 若对任意的 ，有 ，则对任*， ()b意的 ，下列等式中不恒成立的是（ ），A B()ab()*abaC D*()*b（） 、课堂回顾与小结：1、 记准 N、Z、Q、R；2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。A 讲义二： 集合之间的基本关系（2 课时） （） 、基本概念及知识体系：1、集合之间的基本关系：包含关系-子集 、真子集 A、空集 ；集合的相等。2、注意韦恩图、利用数轴的数形
7、结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。（） 、典例剖析与课堂讲授过程：（一） 、集合之间的基本关系：子集 、真子集 A、空集 （如方程 x2+1=0 的根） ；集合的相等。（二） 、含有 n 个元素的集合 A 的子集个数是_2 n,真子集个数是_2 n-1,非空真子集：2 n-25【例 1】 、已知集合 P=x|x 2-5x+40,Q=x|x 2-(b+2)x+2b0且有PQ，求实数 b 的取值范围。【例 3】 、记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为x01xaP1xQ（I）若 ，求 ； （II）若 ，求正数 的取值范围aPQa课堂练习：1、书本 P7：练习题 1、2 、3；P1
8、2 ： 5：； B 组第 2 题。2、已知集合 A=2，8， a, B= 2，a 2-3a+4,又 AAB，求出 a 之值。3、已知集合 A=x|-3x4B=x|2m-1 xm+1,当 BA 时，求出 m 之取值范围。特别注意：当 BA 时，B 一定包括有两种情形：B= 或 B，解题时极易漏掉 B=这一情况从而出错！（三） 、今日作业：1、判断下列集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系：、已知集合 A=x|x=2k-1,kZB=x|x=2m+1,mZ、已知集合 A=x|x=2k,kZB=x|x=4m,mZ62、已知集合 M=x|-2x5,N=x|m+1x2m-1、若 NM，求实数 m 的
9、取值范围；、若 xZ，则 M 的非空真子集的个数是多少个？、 （选做）当 xR 时，没有元素使得 xM 与 xN 同时成立，求实数m 的取值范围（四） 、提高练习：【题 1】 、设集合 S=a,b,c,d,e,则包含a,b的 S 的子集共有（ ）个A 2 B 3 C 5 D 8【题 2】 、集合 A=（x,y)|2x+y=5,xN,yN,则 A 的非空真子集的个数为（ ） 【题 3】 、对于两个非空数集 A、B，定义点集如下：AB=(x,y)|xA,yB,若 A=1，3 ，B=2，4 ，则点集 AB 的非空真子集的个数是_个【题 4】 、集合 的真子集个数是 （ ）|03xxN且（A）16 （
10、B）8 （C）7 （D ）4【题 5】 、 （2004 湖北）已知集合 P=m|-1 0,B= x|ax-30 B x|-3a、x|xb、x|x1 的解集为(c0)，则 c 的取值范围为 （四） 、函数图象的应用：【题 1】已知函数（x）=x 2-2(2a+1)x +a2(aR)，当 x0,1 时，求出函数 （x）的最小值 g(a) a2 (a【题 2】对 ,记 ；函数Rba,ba,ma的最小值是 .xxf21（五） 、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题：书本第 P29 例题 1：（七） 、课堂回顾与小结：注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题（上下平移、左右平移之规律） 。讲义八
11、： 函数的的基本性质-单调性和最值(1) （一） 、基本概念及知识体系：1、教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。2、教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。3、教学难点：理解概念。（二） 、教学过程与典例剖析：、复习准备：1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：随 x 的增大， y 的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？题 3. 画出函数 f(x)= x2、f(x
12、)= x 的图像。 （小结描点法的步骤：列表描2点连线）二、讲授新课：1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：19根据 f(x)3x2、 f(x)x (x0)的图象进行讨论： 2随 x 的增大，函数值怎样变化？ 当 x x 时，f(x )与 f(x )的大小关系怎1212样？.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？定义增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x10 时 f(x)1，且对任意的 a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)；（1） 、证明：f(0)=1；（2）
13、、对任意的xR,恒有 f(x)0；（3） 、证明： f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。今日作业：【题 1】已知函数：、y=x 2+2x+5; y=-x 2-4x+3(1)、分别写出它们的单调区间；（2）分别求出它们在0，5）上的值域；【题 2】设（x+1）的定义域为-2,3 ）则( +2）的定义域为_1x【例题 3】 、将进货单价为 80 元的商品 400 个，按 90 元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价 1 元，其销售个数就减少 20 个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。【题 4】如右图,已知底角 45 为的等腰梯形 ABC
14、D,底边BC 长为 7,腰长为 ,当一条垂直于底边 BC(垂足为 E)的222直线 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 把梯形分成两部分,令l lBE=x,试写出图中阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式. 讲义九： 函数的基本性质-单调性和最值(2) （一） 、基本概念及知识体系：教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.教学重点：熟练求函数的最大（小）值。教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。教学过程：一、复习准备：1.指出函数 f(x)ax bxc (a0)的单调区间及单调性，并进行证明
15、。22. f(x)ax bxc 的最小值的情况是怎样的？23.知识回顾：增函数、减函数的定义。二、讲授新课：1.教学函数最大（小）值的概念： 指出下列函数图象的最高点或最低点， 能体现函数值有什么特征？， ； ，()23fx()23fx1,2x2()1fx2()1fx, 定义最大值：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M ；存在 x0I，使得 f(x0) = M. 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（Maximum Value） 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义 一些什么方法可以求最大（小）值
16、？（配方法、图象法、单调法） 试举例说明方法. 2.教学例题： 出示例题 1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是 ，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？2305ht（学生讨论方法 师生共练：配方、分析结果 探究：经过多少秒落地？） 练习：一段竹篱笆长 20 米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？（引导：审题设变量建立函数模型研究函数最大值； 小结：数学建模） 出示例 2：求函数 在区间3，6上的最大值和最小值32yx23分析：函数 的图象 方法：单调性求最大值和最小值. 3,62yx 板演 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）
17、值. 变式练习： 3,62xy 探究： 的图象与 的关系？x 练习： 求函数 的最小值. （解法一：单调法； 解法二：换元1yx法）3. 看书 P34 例题 口答 P36 练习 小结：最大（小）值定义 ；三种求法.三、巩固练习：1. 求下列函数的最大值和最小值：（1） ； （2）2533,yx|2.一个星级旅馆有 150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？四、备选用思考题：【题 1】 、二次函数（x）=ax 2+bx (a,b 为常数且 a0)满足（-x+5）= （x-3）且方程（x）=x 有等根；求（x）的解析式；是否存在实
18、数 m、n(m 0 时，f(x)0)的值域。1分析：单调性怎样？值域呢？小结：应用单调性求值域。 探究：计算机作图与结论推广出示2.基本练习题：判别下列函数的奇偶性：(1)、y 、 （2） 、y1x)0(2x三、巩固练习：1.求函数 y= 为奇函数的时，a 、b、c 所满足的条件。 cxb22.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数，其定义域为 a-1,2a，求函数值域。23.f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何 f(2a) f(a3)0。求 a 的范围。304.求二次函数 f(x)=x 2ax2 在2,4上的最大值与最小值。四、应用题训练：例题 1、画出下列分段函数 f(x)= 的图象：(1)0)x当 时当 时例题 2、已知函数 f(x)= ，确定函数的定义域和值域；2(0)x当 时当 时（五） 、高考试题摘录：题 1、在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区Rxfxf2f间 是减函数，则函数 （ ）A.在区间 上是增函数，区间2, 1,上是增函数；B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数；C.在区431,243间 上是减函数，区间 上是增函数；D.在区间 上是减函数，区1,43,2间 上是减函数题 2、设 ， 是二次函数，若 的值域是1,2xxf gxgf，则 的值域是（ ）A. B. ,0g,01,C. D. ,1
