1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 22 页湟源县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 若复数 z=2i （ i 为虚数单位），则 =（ ）A4+2i B20+10i C42i D2 若 ，则 1sin()3cos(2)3A、 B、 C、 D、78414783 已知 2a=3b=m，ab0 且 a，ab ，b 成等差数列，则 m=（ ）A B C D64 如图，网格纸上的正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A30 B50 C75 D1505 已知函数 （ ），若数列 满足1()sin2,1(),2x
2、nfx nNma，数列 的前 项和为 ，则 （ ）*()mafNmamS10596SA. B. C. D.909091【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.6 函数 f（x）=ax 2+2（a 1）x+2 在区间（，4 上为减函数，则 a 的取值范围为（ ）A0a B0a C0a Da精选高中模拟试卷第 2 页，共 22 页7 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）A B8 C D8 若当 时，函数 （ 且 ）始终满足 ，则函数 的图象大致Rx|)(xaf01a1)(xf 3|logxya是（ ）【命题意图】本题考查了利用
3、函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等9 从 5 名男生、1 名女生中，随机抽取 3 人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）A B C D10数列 中， ，对所有的 ，都有 ，则 等于（ ）na12n2123naA 35aA B C D2595661315精选高中模拟试卷第 3 页，共 22 页11如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）A11 B11.5 C12 D12.512函数 f（x）=（ ） x29 的单调递减区间为（ ）A（，
4、0） B（0，+） C（ 9，+） D（，9）二、填空题13已知 f（x）= ，则 f（ ）+f（ ）等于 14直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1 ，3），则 l1与 l2的夹角的正切值等于 _ 。15ABC 外接圆半径为 ，内角 A，B ，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A=60，b=2，则 c 的值为 16当 a0，a 1 时，函数 f（x）=log a（x1）+1 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxy+n=0 上，则 4m+2n的最小值是 17设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若1a 31，0a 63，则 S9 的取值范围是
5、 18已知椭圆 + =1（a b0）上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其左焦点，若 AFBF，设ABF=，且 ， ，则该椭圆离心率 e 的取值范围为 三、解答题19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形平面 ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5（）求证：AA 1平面 ABC；精选高中模拟试卷第 4 页，共 22 页（）求证二面角 A1BC1B1 的余弦值；（）证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA1B，并求 的值20如图所示，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为 与 的交点， 平PABCDABEACBDPA面 ， 为 中点， 为 中点
6、ABCDMN（1）证明：直线 平面 ；/（2）若点 为 中点， ， ， ，求三棱锥 的体积Q1203P1Q精选高中模拟试卷第 5 页，共 22 页21在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 有两个不同的交点P 和 Q（）求 k 的取值范围；（）设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A，B，是否存在常数 k，使得向量 与 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由22我市某校某数学老师这学期分别用 m，n 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为 60 人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）现随机抽取甲、乙两班各 2
7、0 名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示（）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（）现从甲班所抽数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，用 表示抽到成绩为 86 分的人数，求 的分布列和数学期望；（）学校规定：成绩不低于 85 分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的 22 列联表，并判断“ 能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K 2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K 2
8、= ，其中 n=a+b+c+d）精选高中模拟试卷第 6 页，共 22 页23已知数列a n满足 a1=1， an+1= （ nN*）（）证明：数列 + 是等比数列；（）令 bn= ，数列b n的前 n 项和为 Sn证明：b n+1+bn+2+b2n证明：当 n2 时，S n22（ + + ）精选高中模拟试卷第 7 页，共 22 页24如图，已知椭圆 C ，点 B 坐标为（0，1），过点 B 的直线与椭圆 C 的另外一个交点为 A，且线段 AB 的中点 E 在直线 y=x 上（1）求直线 AB 的方程；（2）若点 P 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP，BP 分别交直线 y=x
9、于点 M，N，直线 BM 交椭圆 C 于另外一点 Q证明：OMON 为定值；证明：A、Q、N 三点共线精选高中模拟试卷第 8 页，共 22 页湟源县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】A【解析】解：z=2i， = = = = ， =10 =4+2i，故选：A【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题2 【答案】A【解析】 选 A，解析：2227cos()cos()1sin()33383 【答案】C【解析】解：2 a=3b=m，a=log 2m，b=log 3m，a，ab，b 成等差数列，2ab=a+b，ab0， + =
10、2， =logm2， =logm3，log m2+logm3=logm6=2，解得 m= 故选 C【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用4 【答案】B【解析】解：该几何体是四棱锥，其底面面积 S=56=30，高 h=5，精选高中模拟试卷第 9 页，共 22 页则其体积 V= Sh= 305=50故选 B5 【答案】A. 【解析】6 【答案】B【解析】解：当 a=0 时，f（ x）= 2x+2，符合题意当 a0 时，要使函数 f（x）=ax 2+2（a1）x+2 在区间（ ，4 上为减函数 0a综上所述 0a故选 B【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数 a
11、 的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题7 【答案】C【解析】精选高中模拟试卷第 10 页，共 22 页【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为 4 的正三角形，棱锥的高为 4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8，底面面积为： =4 ，另一个侧面的面积为： =4 ，四个面中面积的最大值为 4 ；故选 C8 【答案】【解析】由 始终满足 可知 由函数 是奇函数，排除 ；当|)(xaf1)(xfa3|logxyaB时， ，此时 ，排除 ；当 时， ，排除 ，因
12、此1,0(x0|log0|log3yA0yD选 C9 【答案】B【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，这三个事件是相互独立的，第一次不被抽到的概率为 ，第二次不被抽到的概率为 ，第三次被抽到的概率是 ，女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是 = ，故选 B10【答案】C【解析】试题分析：由 ，则 ，两式作商，可得 ，所以2123naA 21231()naA 2(1)na精选高中模拟试卷第 11 页，共 22 页，故选 C235614a考点：数列的通项公式11【答案】C【解析】解：由题意，0.065+x 0.1=0.5，所以 x 为 2，所以由图可
13、估计样本重量的中位数是 12故选：C12【答案】B【解析】解：原函数是由 t=x2 与 y=（ ） t9 复合而成，t=x2 在（ ， 0）上是减函数，在（0，+）为增函数；又 y=（ ） t9 其定义域上为减函数，f（ x） =（ ） x29 在（ ，0）上是增函数，在（0，+）为减函数，函数 ff（x）= （ ） x29 的单调递减区间是（0，+）故选：B【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减” 再来判断是关键二、填空题13【答案】 4 【解析】解：由分段函数可知 f（ ）=2 = f（ ）=f（ +1）=f（ ）=f（ ）=f（ ）=2 = ，f
14、（ ） +f（ ）= + 故答案为：414【答案】【解析】设 l1与 l2的夹角为 2，由于 l1与 l2的交点 A（1 ，3）在圆的外部，精选高中模拟试卷第 12 页，共 22 页且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= = ，圆的半径为 r= ，sin= = ，cos= ，tan= = ，tan2= = = ，故答案为： 。15【答案】 【解析】解：ABC 外接圆半径为 ，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A=60，b=2，由正弦定理可得： ，解得：a=3，利用余弦定理：a 2=b2+c22bccosA，可得：9=4+c 22c，即 c22c5=0，解得：c=1+ ，或
15、1 （舍去）故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题16【答案】 2 【解析】解：整理函数解析式得 f（x）1=log a（x1），故可知函数 f（x）的图象恒过（2，1）即 A（2，1），故 2m+n=14m+2n2 =2 =2 当且仅当 4m=2n，即 2m=n，即 n= ，m= 时取等号精选高中模拟试卷第 13 页，共 22 页4m+2n 的最小值为 2 故答案为：217【答案】 （3，21） 【解析】解：数列a n是等差数列，S 9=9a1+36d=x（a 1+2d）+y（a 1+5d）=（x+y ）a 1+（2
16、x+5y）d，由待定系数法可得 ，解得 x=3，y=63 3a 33，06a 618，两式相加即得3S 921S 9 的取值范围是（ 3，21）故答案为：（3，21）【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式及其“待定系数法” 等基础知识与基本技能方法，属于中档题18【答案】 ， 1 【解析】解：设点 A（acos，bsin），则 B（acos，bsin ）（0 ）；F（c， 0）；AFBF， =0，即（c acos， bsin）（c+acos，bsin ）=0，故 c2a2cos2b2sin2=0，cos2= =2 ，故 cos= ，而|AF|= ，|AB|= =2c，而 sin
17、=精选高中模拟试卷第 14 页，共 22 页= = ， ， ，sin ， ， ， + ， ，即 ，解得， e 1；故答案为： ， 1【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用三、解答题19【答案】 【解析】（I）证明：AA 1C1C 是正方形，AA 1AC又平面 ABC平面 AA1C1C，平面 ABC平面 AA1C1C=AC，AA 1平面 ABC（II）解：由 AC=4，BC=5，AB=3AC 2+AB2=BC2，ABAC建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（0，0，4），B（0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4）， ， ，
18、精选高中模拟试卷第 15 页，共 22 页设平面 A1BC1 的法向量为 ，平面 B1BC1 的法向量为 =（x 2，y 2，z 2）则 ，令 y1=4，解得 x1=0，z 1=3， ，令 x2=3，解得 y2=4，z 2=0， = = = 二面角 A1BC1B1 的余弦值为 （III）设点 D 的竖坐标为 t，（ 0t 4），在平面 BCC1B1 中作 DEBC 于 E，可得 D， = ， =（0，3，4）， ， ， ，解得 t= 精选高中模拟试卷第 16 页，共 22 页【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量
19、垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力20【答案】（1）证明见解析；（2） .18【解析】试题解析：（1）证明：取 中点 ，连结 ， ，PDRMC ， ， ，/MRA/NC12NA ， ，四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，/PPD 平面 PD（2）由已知条件得 ，所以 ，1AC34ACS所以 1328AQCDDVS考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.21【答案】 【解析】解：（）由已知条件，直线 l 的方程为 ，精选高中模拟试卷第 17 页，共 22 页代入椭圆方程得 整理得 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P
20、和 Q，等价于的判别式= ，解得 或 即 k 的取值范围为 （）设 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），则 ，由方程， 又 而 所以 与 共线等价于 ，将代入上式，解得 由（）知 或 ，故没有符合题意的常数 k【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2 个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题22【答案】 【解析】【专题】综合题；概率与统计【分析】（）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；（）由茎叶图知成绩为 86 分的同学有 2 人，其余不低于 80 分的同学为 4 人，=0，1，2，求出概率，可得 的分布列和数学期望；（）根据成绩不低于 85 分的
21、为优秀，可得 22 列联表，计算 K2，从而与临界值比较，即可得到结论【解答】解：（）由茎叶图知甲班数学成绩集中于 609 之间，而乙班数学成绩集中于 80100 分之间，所以乙班的平均分高（）由茎叶图知成绩为 86 分的同学有 2 人，其余不低于 80 分的同学为 4 人，=0，1，2精选高中模拟试卷第 18 页，共 22 页P（=0）= = ，P （=1 ）= = ，P（=2）= = 则随机变量 的分布列为 0 1 2P数学期望 E=0 +1 +2 = 人（）22 列联表为甲班 乙班 合计优秀 3 10 13不优秀 17 10 27合计 20 20 40K2= 5.5845.024因此在犯
22、错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题23【答案】 【解析】（）证明：数列a n满足 a1=1，a n+1= （nN *），na n=3（n+1）a n+4n+6，两边同除 n（n+1）得， ，即 ，也即 ，又 a1=1， ，数列 + 是等比数列是以 1 为首项，3 为公比的等比数列（）（）证明：由（）得， =3n1， ，精选高中模拟试卷第 19 页，共 22 页 ，原不等式即为： ，先用数学归纳法证明不等式：当 n2 时， ，证明过程如下：当 n=2 时，左边= = ，不等式成立假设
23、n=k 时，不等式成立，即 ，则 n=k+1 时，左边= += ，当 n=k+1 时，不等式也成立因此，当 n2 时， ，当 n2 时， ，当 n2 时， ，又当 n=1 时，左边= ，不等式成立故 bn+1+bn+2+b2n （）证明：由（i）得，S n=1+ ，当 n2， =（1+ ） 2（1+ ） 2=2 ，精选高中模拟试卷第 20 页，共 22 页=2 ，将上面式子累加得， ，又 =1=1 ， ，即 2（ ），当 n2 时，S n22（ + + ）【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，
24、难度大，对数学思维能力的要求较高24【答案】 【解析】（1）解：设点 E（t ，t），B（0，1），A（2t，2t+1），点 A 在椭圆 C 上， ，整理得：6t 2+4t=0，解得 t= 或 t=0（舍去），E（ ， ），A（ ， ），直线 AB 的方程为：x+2y+2=0；（2）证明：设 P（x 0，y 0），则 ，直线 AP 方程为：y+ = （x+ ），联立直线 AP 与直线 y=x 的方程，解得：x M= ，精选高中模拟试卷第 21 页，共 22 页直线 BP 的方程为：y+1= ，联立直线 BP 与直线 y=x 的方程，解得：x N= ，OMON= |xM| |xN|=2| | |
25、= | |= | |= | |= 设直线 MB 的方程为：y=kx1（其中 k= = ），联立 ，整理得：（1+2k 2）x 24kx=0 ，x Q= ，y Q= ，k AN= = =1 ，k AQ= =1 ，要证 A、Q、N 三点共线，只需证 kAN=kAQ，即 3xN+4=2k+2，将 k= 代入，即证：x MxN= ，由的证明过程可知：|x M|xN|= ，而 xM 与 xN 同号，x MxN= ，精选高中模拟试卷第 22 页，共 22 页即 A、Q、N 三点共线【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题
