1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页胶州市高中 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知等差数列a n满足 2a3a +2a13=0，且数列b n 是等比数列，若 b8=a8，则 b4b12=（ ）A2 B4 C8 D162 设曲线 y=ax2在点（1，a）处的切线与直线 2xy6=0 平行，则 a=（ ）A1 B C D13 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量 （单位：毫克/升）与时间 （单位：Pt小时）间的关系为 （ ， 均为正常数）如果前 5 个小时消除了 的污染物，为了消除0ektP0 0%27.1%的污染
2、物，则需要（ ）小时.A. B. C. D. 811518【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想. 4 已知直线 l1 经过 A（3， 4），B （8，1）两点，直线 l2的倾斜角为 135，那么 l1与 l2（ ）A垂直 B平行 C重合 D相交但不垂直5 设定义在 R 上的函数 f（x）对任意实数 x，y，满足 f（x）+f（y）=f（x+y），且 f（3）=4，则 f（0）+f（ 3）的值为（ ）A2 B4 C0 D46 若函数 2sin2fxx的图象关于直线 12x对称，且当1273x， ， 1时， 12fxf，
3、则 f等于（ ）A B 2 C. 62 D 247 已知集合 A=1，0，1，2 ，集合 B=0，2，4，则 AB 等于（ ）A 1，0，1，2，4 B1，0，2，4C0，2，4 D0 ，1，2，48 函数 f（x）=ax 2+bx 与 f（x）=log x（ab 0，|a|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页A B C D9 已知空间四边形 ， 、 分别是 、 的中点，且 ， ，则（ ）ABCDMNABCD4A6BDA B C D15MN21015MN25MN10函数 y= （x 25x+6）的单调减区间为（ ）A（ ，+） B（3，+） C（
4、， ） D（，2）11等差数列a n中，a 1+a5=10，a 4=7，则数列a n的公差为（ ）A1 B2 C3 D412过抛物线 y=x2上的点 的切线的倾斜角（ ）A30 B45 C60 D135二、填空题13不等式 的解集为 R，则实数 m 的范围是 14某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示根据条形图可得这 50 名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时精选高中模拟试卷第 3 页，共 18 页15已知函数 ，则 的值是_， 的最小正周期是_.2tan()1xf()3f()fx【命题意图】本题考查三角恒
5、等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力16设函数 有两个不同的极值点 ， ，且对不等式3)fx1212()0fxf恒成立，则实数的取值范围是 17若直线： 与直线 ： 垂直，则 .012ay2l0yxa18等差数列 的前项和为 ，若 ，则 等于_.nnS3716a13S三、解答题19已知函数 g（x）=f（x）+ bx，函数 f（x）=x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直（1）求实数 a 的值；（2）若函数 g（x）存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围；（3）设 x1、x 2（x 1x 2）是函数 g（x）的两个极值点，若 b ，求 g（x 1
6、）g（x 2）的最小值20如图，椭圆 C： + =1（ab0）的离心率 e= ，且椭圆 C 的短轴长为 2（）求椭圆 C 的方程；（）设 P，M，N 椭圆 C 上的三个动点（i）若直线 MN 过点 D（0， ），且 P 点是椭圆 C 的上顶点，求PMN 面积的最大值；（ii）试探究：是否存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页21（本题满分 15 分）如图 是圆 的直径， 是弧 上一点， 垂直圆 所在平面， ， 分别为 ， 的中点.ABOCABVCODEVAC（1）求证： 平面 ；DEV（2）若 ，圆 的半径为
7、，求 与平面 所成角的正弦值.65EB【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页22在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x 2+y2=4，A（ ，0），A 1（ ，0），点 P 为平面内一动点，以PA 为直径的圆与圆 C 相切（）求证：|PA 1|+|PA|为定值，并求出点 P 的轨迹方程 C1；（）若直线 PA 与曲线 C1的另一交点为 Q，求 POQ 面积的最大值23设函数 f（x）=e mx+x2mx（1）证明：f（x）在（ ，0）单调递减，在（0，+ ）单调递增；（2）若对于任意 x1，x 2
8、，都有|f（x 1）f（x 2）|e1，求 m 的取值范围24已知函数 上为增函数，且（0，）， ，mR （1）求 的值；（2）当 m=0 时，求函数 f（x）的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立，求 m 的取值范围精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页精选高中模拟试卷第 7 页，共 18 页胶州市高中 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得 a3+a13=2a8，即有 a82=4a8，解得 a8=4（0 舍去），即有 b8=a8=4，由等比数列的性质可得 b4b
9、12=b82=16故选：D2 【答案】A【解析】解：y=2ax，于是切线的斜率 k=y|x=1=2a，切线与直线 2xy6=0 平行有 2a=2a=1故选：A【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率3 【答案】15【解析】4 【答案】A【解析】解：由题意可得直线 l1的斜率 k1= =1，又直线 l2的倾斜角为 135，其斜率 k2=tan135=1，显然满足 k1k2=1，l 1与 l2垂直故选 A5 【答案】B【解析】解：因为 f（x）+f（ y）=f（x+y ），令 x=y=0，精选高中模拟试卷第 8 页，共 18 页则 f（0）+f（0）=f（0+0 ）=f（0
10、），所以，f（0）=0；再令 y=x，则 f（x）+f（x）=f（0）=0 ，所以，f（ x）= f（x），所以，函数 f（x）为奇函数又 f（3）=4 ，所以，f（ 3）= f（3）=4，所以，f（0）+f（3）= 4故选：B【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数 f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题6 【答案】C【解析】考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型首先利用数形结合思想和转化化归思想可得 21kZ，
11、解得 3，从而 2sin3fxx，再次利用数形结合思想和转化化归思想可得 122xfxf， ， ， 关于直线 1对称，可得 126，从而12 6sin3f 7 【答案】A精选高中模拟试卷第 9 页，共 18 页【解析】解：A= 1，0，1，2 ，B=0，2，4，AB=1，0，1，20， 2，4= 1，0，1，2，4 故选：A【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型8 【答案】 D【解析】解：A、由图得 f（x）=ax 2+bx 的对称轴 x= 0，则 ，不符合对数的底数范围，A 不正确；B、由图得 f（x）=ax 2+bx 的对称轴 x= 0，则 ，不符合对数的底数范围， B 不正确；C
12、、由 f（x）=ax 2+bx=0 得：x=0 或 x= ，由图得 ，则 ，所以 f（x）=log x 在定义域上是增函数，C 不正确；D、由 f（x）=ax 2+bx=0 得：x=0 或 x= ，由图得 ，则 ，所以 f（x）=log x 在定义域上是减函数，D 正确【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力9 【答案】A【解析】试题分析：取 的中点 ，连接 ， ，根据三角形中两边之和大于第三边，两边BCE,MN2,3E之差小于第三边，所以 ，故选 A15考点：点、线、面之间的距离的计算1【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之
13、间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页10【答案】B【解析】解：令 t=x25x+6=（x2）（x3）0，可得 x2，或 x3，故函数 y= （x 25x+6）的定义域为（，2）（3，+）本题即求函数 t 在定义域（，2）（3，+）上的增区间结合二次函数的性质可得，函数 t 在（ ，2）（3，+）上的增区间为 （3，+），故选 B11【答案】B【解析】解：设数列a n
14、的公差为 d，则由 a1+a5=10，a 4=7，可得 2a1+4d=10，a 1+3d=7，解得 d=2，故选 B12【答案】B【解析】解：y=x 2的导数为 y=2x，在点 的切线的斜率为 k=2 =1，设所求切线的倾斜角为 （0 180），由 k=tan=1，解得 =45故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题二、填空题13【答案】 【解析】解：不等式 ，x28x+200 恒成立可得知：mx 2+2（m+1 ）x+9x+40 在 xR 上恒成立显然 m0 时只需=4（m+1） 24m（9m+4 ）0，解得：m 或 m精选高中模拟试
15、卷第 11 页，共 18 页所以 m故答案为：14【答案】 0.9 【解析】解：由题意， =0.9，故答案为：0.915【答案】 ， .3【解析】 ， ，又 ， 的定义域为2tan()t1xf2()tan33f21tan0xk()fx， ，将 的图象如下图画出，从而(,(,)244kkkkZ()f可知其最小正周期为 ，故填： ， .16【答案】 1(,2精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页【解析】试题分析：因为 ,故得不等式 ,即12()0fxf32121120xaxax,由于2123 0xa,令 得方程 ,因 , 故faf224a，代入前面不等式,并化简得 ,解不等式得 或 ，123x
16、 1a25012因此, 当 或 时, 不等式 成立,故答案为 . a12a120fxf(,2考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数 的到函数，令 考虑判别式大于零，根据韦达定理求出fx0fx的值，代入不等式 ，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得12,x12()f实数的取值范围.11117【答案】1【解析】试题分析：两直线垂直满足 ，解得 ，故填：1.02-1a1a考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基
17、础题型，当直线是一般式直线方程时， ，当两直线垂直时，需满足 ，当两直线平行0:11cybxal :22cybxl 021ba时，需满足 且 ，或是 ，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直2a112121cba，两直线平行时， ， .121k2k18【答案】 6【解析】试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得 ，由等差数列的求和3717762aa13137()22aS考点：等差数列的性质和等差数列的和三、解答题19【答案】 精选高中模拟试卷第 13 页，共 18 页【解析】解：（1）f（x） =x+alnx，f（x）=1+ ，f（x）在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直，k
18、=f （x）| x=1=1+a=2，解得 a=1（2）g（x）=lnx+ x2（b1）x，g（x）= +x（b1）= ，x0，由题意知 g（x）0 在（0，+）上有解，即 x+ +1b0 有解，定义域 x0，x+ 2，x+ b 1 有解，只需要 x+ 的最小值小于 b1，2b1，解得实数 b 的取值范围是b|b3 （3）g（x）=lnx+ x2（b1）x，g（x）= +x（b1）= ，x0，由题意知 g（x）0 在（0，+）上有解，x1+x2=b1，x 1x2=1，x0，设 （ x）=x 2（b 1）x+1，则 （0 ）=ln （x 1+ x12（b1 ）x 1lnx2+ x22（b1）x 2
19、=ln + （x 12x22）（b 1）（x 1x2）=ln + （x 12x22）（x 1+x2）（x 1x2）精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页=ln （ ），0x 1x 2，设 t= ，0 t1，令 h（t）=lnt （t ），0t 1，则 h（t）= （1+ ）= 0，h（t）在（0，1）上单调递减，又b ，（ b1） 2 ，由 x1+x2=b1，x 1x2=1，可得 t+ ，0t1，由 4t217t+4=（4t 1）（t 4）0 得 0t ，h（t）h（ ）=ln （ 4）= 2ln2，故 g（x 1）g（ x2）的最小值为 2ln2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和
20、单调区间、极值，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用20【答案】 【解析】解：（）由题意得 解得 a=2，b=1，所以椭圆方程为 （）（i）由已知，直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 方程为 y=kx ，M （x 1，y 1），N（x 2，y 2）精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页由 得（1+4k 2）x 24kx3=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，又 所以 SPMN = |PD|x1x2|= 令 t= ，则 t ，k 2=所以 SPMN = ，令 h（t）= ，t ，+ ），则 h（t）=1 = 0，所以 h（t）在 ，+），单调递增，则 t=
21、 ，即 k=0 时，h（t）的最小值，为 h（ ）= ，所以PMN 面积的最大值为 （ii）假设存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形（1）当 P 在 y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则 M，N 关于 y 轴对称，MN 的中点 Q 在 y 轴上又 O 为PMN 的中心，所以 ，可知 Q（0， ）， M（ ， ），N（ ， ）从而|MN|= ，|PM|= ，|MN|PM| ，与PMN 为等边三角形矛盾（2）当 P 在 x 轴上时，同理可知，|MN|PM|，与PMN 为等边三角形矛盾 （3）当 P 不在坐标轴时，设 P（x 0，y 0），MN 的中点为 Q，则 kOP= ，又 O 为PMN
22、的中心，则 ，可知 设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），则 x1+x2=2xQ=x0，y 1+y2=2yQ=y0，精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页又 x12+4y12=4，x 22+4y22=4，两式相减得 kMN= ，从而 kMN= 所以 kOPkMN= （ ）= 1，所以 OP 与 MN 不垂直，与等边PMN 矛盾 综上所述，不存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想21【答
23、案】（1）详见解析；（2） .3146【解析】（1） ， 分别为 ， 的中点， ，2 分DEVAC/DEAC 为圆 的直径， ，4 分ABOB又 圆 ， ，6 分VC ， ，又 ， ；7 分EVB面（2）设点 平面 的距离为 ，由 得 ，解得 ，DdDBCEDV1133CEBCDSdS32d12 分 设 与平面 所成角为 ， ，BE28A，则 .15 分273BEC46sin122【答案】 【解析】（）证明：设点 P（x，y），记线段 PA 的中点为 M，则两圆的圆心距 d=|OM|= |PA1|=R |PA|，所以，|PA 1|+|PA|=42 ，故点 P 的轨迹是以 A，A 1为焦点，以
24、4 为长轴的椭圆，所以，点 P 的轨迹方程 C1为： =1 （）解：设 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），直线 PQ 的方程为：x=my+ ，精选高中模拟试卷第 17 页，共 18 页代入 =1 消去 x，整理得：（m 2+4）y 2+2 my1=0，则 y1+y2= ，y 1y2= ，POQ 面积 S= |OA|y1y2|=2 令 t= （0 ，则 S=2 1（当且仅当 t= 时取等号）所以，POQ 面积的最大值 1 23【答案】 【解析】解：（1）证明：f （x）=m（e mx1）+2x 若 m0，则当 x（， 0）时，e mx10，f（x） 0；当 x（0，+）时，e mx10
25、，f（x）0若 m0，则当 x（， 0）时，e mx10，f（x） 0；当 x（0，+）时，e mx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）时单调递减，在（ 0，+ ）单调递增（2）由（1）知，对任意的 m，f（x）在单调递减，在单调递增，故 f（x）在 x=0 处取得最小值所以对于任意 x1，x 2，|f（x 1）f（x 2）|e1 的充要条件是即设函数 g（t）=e tte+1，则 g（t）=e t1当 t0 时，g（t）0；当 t0 时，g（t ）0故 g（t）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又 g（1）=0，g（1）=e 1 +2e0，故当 t时，g（t）0当 m时，g（m）0
26、，g（m）0，即合式成立；当 m1 时，由 g（t）的单调性，g（m）0，即 emme1当 m1 时，g（m）0，即 em +me1综上，m 的取值范围是精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页24【答案】 【解析】解：（1）函数 上为增函数，g（x）= + 0 在，mx 0，2lnx 0，在上不存在一个 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立当 m0 时，F（x）=m+ = ，x，2e2x0，mx 2+m0，F（x）0 在恒成立故 F（x）在上单调递增，F（x） max=F（e ）=me 4，只要 me 40，解得 m 故 m 的取值范围是（ ，+）【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答
