应用随机过程教案 第1章 预备知识.pdf

1、1 第一章 预备知识 第一节 概率空间 定义 1 设 是一个样本空间（或任何一个集合） ， F 是 的某些子集组成的集合族。如果满足 （ 1） F ； （ 2） 若 A F，则 AC = A F ； （ 3） 若 An F (n=1,2, )， 则 1An n F ， 则称 F 为 上的一个 代数， （ ， F）称为可测空间。 性质 1 如果是 上的一个 代数，则 （ 1） F ； （ 2）若 An F (n=1,2, )， 则 1n nA F 。 例 1 设 =1,2,3,4,5,6, F = ,1,2,3,4,5,6, ，则 F 是 上的一个 代数。 例 2 设 =1,2,3,4,5,6，

2、 F = ,1,2， 3， 1,2,1,3,2， 3， 1,2,3, 4,5,6, 1,4,5,6, 2,4,5,6,3,4,5,6,1,2,4,5,6,1,3,4,5,6, 2,3,4,5,6, ，则 F 是 上的一个 代数。 定义 2 以 的某些子集为元素的集合称为（ 上的）集类。对于 上的任一非空集类 C，存在包含 C 的最小 代数，称为由 C 生成的 最小 代数。 例 3 设 =1,2,3,4,5,6, C = 1,2 ，则 F = ,1,2,3,4,5,6, 是由 C 生成的 代数。 例 4 设 =1,2,3,4,5,6, C = 1,2， 1,3 ，则 F = ,1,2， 3，1,

3、2,1,3, 2， 3， 1,2,3,4,5,6,1,4,5,6,2,4,5,6,3,4,5,6, 2 1,2,4,5,6,1,3,4,5,6, 2,3,4,5,6, 是由 C 生成的 最小 代数。 定义 3 设 ,2,1, nAn 为一集合序列。令 1nlim s u p n nk kn AA ， 1nlim inf n nk kn AA 分别称其为 nA 的上极限和下极限（上极限有时也记作 i.o., nA ）显然有 ,|l i m s u pn kn AnkNnA 使存在任意 | nA属于无穷多个 ,|l i m i n fn kn AnkNnA 有任意存在 | nA至多不属于有限多个

4、从而恒有nn AA nn lim s u plim in f。 若nn AA nn lim s u plim in f，则称 nA 的极限存在，并用nAnlim表示。 例 5 设 ,2,1, nAn 是一集合序列，其中 nA 12 1112 11-2 nnA n ， 12 12212n nnA ， 则 )1,0(liminfn nA， )2,0(limsupn nA . 若对每个 n，有 1 nn AA （或 1 nn AA ），则称为单调增（单调减）序列。显然对于单调集合序列 nA 的极限存在，且对于单调增集合序列 nA ， 若nAA nlim，则 1n nAA，记 AAn ； 对于单调减集

5、合序列 nA ，nAA nlim，则 1n nAA，记 AAn 。 例 6 设 ,2,1, nAn 是一集合序列，其中 nnA 111n ，则 )1,0( AAn. 定义 4 P( )是定义在 F 上的实值函数。如果 3 （ 1） P( )=1； （ 2） 任意 A F， 0 P(A) 1； （ 3） 对两两互不相容事件 A1， A2， (即当 i j 时， Ai Aj=)， 有 11 )()P( i ii i APA 则称 P 是 （ ， F）上的概率，（ ,F ,P） 称为概率空间， F 中的元素称为事件， P(A)称为事件 A 的概率。 事件的概率的性质 （ 1）若 A,B F， 则 P

6、(A B)+P(A B)=P(A)+P(B) 。 （ 2） 若 A,B F， 且 BA ，则 P(B-A)=P(B)-P(A) 。 （ 3） 若 A,B F， 且 BA ，则 P(A) P(B) 。 （ 4） 若 nA F， n 1，则 11n n )()AP( n nAP。 （ 5） nA F， 且 ，则 AAn ，则 )(lim)(n nAPAP 。 （ 6） nA F， 且 ，则 AAn ，则 )(lim)(n nAPAP 。 4 第二节 随机变量与分布函数 1.随机变量与分布函数的概念与性质 定义 1 设（ , F ,P） 是概率空间， X 是定义在 上取值于实数 R 的函数，如果任意

7、 x R， :X() x F，则称 X 是 F 上的随机变量，简称随机变量。 函数 F(X)=P:X() x,- 0 的 y，给定 Y=y 时， X 的条件概率定义为 ,| yYP yYxXPyYxXP X 的条件分布函数定义为 |)|( yYxXPyxF X 的条件期望定义为 )|(|)|( yxx d FyYxXPxYXE x 定义 3 X 与 Y 是连续型随机变量，如果 X 与 Y 有联合密度函数 )|( yxf ，对一切使得 )0( yfY 的 y，给定 Y=y 时， X 的条件概率密度定义为)( ),()|( yf yxfyxf YX 的条件分布函数定义为 x duyufyYxXPy

8、xF )|(|)|(X 的条件期望定义为 )|()|()|( yxxdFdxyxxfyxE注 以 E(X|Y)表示随机变量 Y 的函数，它在 Y=y 时，取值为 E(X|Y=y)。 定理 2 对一切随机变量 X 与 Y，当期望存在时，有 )()|()|()( ydFyYXEYXEEXE Y 当 Y 是离散型随机变量时， )|()|()( yYPyYXEYXEEXEy 当 X 是连续型随机变量时， dyyfyYXEYXEEXE Y )()|()|()(例 1 已知（ X,Y）的联合分布列为 X Y 0 1 -1 0.2 0.4 1 0.1 0.3 求 EX|Y=0， EX|Y=1，验证 EX=E

9、E(X|Y)。 解 Y=0 时， X 的条件分布列为： 16 323.0 2.0)0( )0,1()0|1( YP YXPYXP，31)0( )0,1()0|1( YP YXPYXP， Y=0 时， X 的条件期望为： 311321)0|(E YX Y=1 时， X 的条件分布列为： 747.0 4.0)1( )1,1()1|1( YP YXPYXP，737.0 3.0)1( )1,1()1|1( YP YXPYXP， Y=1 时， X 的条件期望为： 731741)1|(E YX)|()|()( yYPyYXEYXEEXE y 2.0-7.071(3.031 ） X 的分布列为 P(X=-1

10、)=0.5， P(X=1)=0.3所以 E(X)=-1 0.5+1 0.3=-0.2， 即 EX=EE(X|Y)。例 2 山姆准备读一章概率书或一章历史书。如果在他读的一章概率书中的印刷错误有均值为 2 的泊松分布，那么在假定山姆选取哪一本书是等可能时，山姆 =遇到印刷错误数的期望是多少？ 解 以 X 记印刷错误数，令 如果山姆选取概率书如果山姆选取历史书,2 ,1Y 11|11|)( YPYXEYPYXEXE 27212215 。 例 3 假定 工厂设备每周出现事故次数的期望为 4。又假定在每次事故中受伤的工人数是具有相同均值 2 的独立的随机变量。再假定在每次事故中受伤的工人数与17 每周

11、发生的事故数目相互独立。求每周受伤的工人数的期望。 解 记 N 为事故次数， 以 X 记在 1 次事故中的受伤人数， 以 iX 记在第 i 次事故中的受伤人数， i=1,2,，那么受伤总人数可以表示为 Ni iX1， 由于 | 1 nNXE Ni i | 1 nNXE ni i 1ni iXE 1 ni iXE XnE 因此 )(|1 XNENXENi i 而 1Ni iXE NXEENi i |1 )(XNEE XENE 842 例 3 设 nXXX , 21 是一列独立同分布的随机变量，它们期望和方差存在，分别记为 E(X)， Var(X)， N 为一个非负整数值随机变量， 其均值 E(N

12、)和方差 Var(N)存在， N 与序列 nXXX , 21 相互独立， 求 Ni iXY 1 的均值和方差。 解 法一 首先在对 N 取条件的情况下来计算 Ni iXY 1的矩母函数，即 nNXtEnNtYE Ni i |e x p |) e x p ( 1 exp 1Ni iXtE nX t)( 因此 NXtE Ni i |exp 1 NX t)( 从而 e x p ) e x p ()( 1Ni iY XtEtYEt )( NX tE 现在对 )(tY 求导，得 )(tY )()( 1- ttNE NX )(tY )()()()()1( 1-22- ttNttNNE XNXXNX 18

13、计算在 t=0 的值，得 )()( XENEXNEEYE 22222 )()()()()1()( XENEXV a rNEXNEXENNEYE 故 )()()()()()( 222 NV a rXEXV a rNEYEYEYV a r 解法二 首先在对 N 取条件的情况下来计算 Ni iXY 1与 2Y 的 条件期望，即 nNXEnNYE Ni i | 1 ni iXE 1 )(XnE 因此 )()|( XNENYE nNXEnNYE Ni i212 | nNXXXE ninij jini i11 112 2 )(2)( 11 11 2 ni nij jini XXEXE )()()( 222

14、 XEnnXnE 因此 | 2 NYE )()()( 222 XENNXNE 从而 )()|()( XENEXNEENYEEYE | 22 NYEEYE )()()( 222 XENNXNEE 22 )()()( XENEXVa rNE 因此 )()()()()()( 222 NV a rXEXV a rNEYEYEYV a r 19 定理 3 设 nXXX , 21 是独立同分布的随机变量，它们具有均值 和方差 2 ， 它们与一个取 非负整数值随机变量 N 相互独立 ， N 的 均值和方差存在， Ni iXY 1称为复合随机变量，有 )( XENEYE ， )()()()( 2 NV a r

15、XEXV a rNEYV a r 。 练习 1 在给定的一天进入某商店的顾客数按均值为 =10 的泊松分布。一个顾客花费的钱数是（ 0， 100）上的均匀分布。求商店在给定一天收入的均值和方差。 解： 以 N 记进入商店的顾客数，以 X 记每一个顾客花费的钱数 则 E(N)=Var(N)=10,E(X)=50,Var(X)=2500/3, 商店在给定一天收入 Ni iXY 1E(Y)=E(N)E(X)=10 50=500. )()()()()()( 222 NV a rXEXV a rNEYEYEYV a r =10 2500/3+50 50 10=13333.3 例 4 求几何分布的期望与方

16、差 解 设每次试验 A 发生的概率为 p (0p1)，重复独地进行试验直到 A 发生，以 X记试验次数，则 X 服从参数为 p 的几何分布 X 的分布列 1)1( kppkXP ， ,2,1k 解法一 EX 11)1(kkpkp ， )( 2XE 112 )1(kkppk 因为 1 )1(kkp pp1 ， 1)1()1( kk pkpdpd 因此 11)1(kkpk p pdpd 1 21p EX 11)1(kkpkp 11)1(kkpkp p1 20 且 1 )1(kkpk 21pp ，又 12 )1()1( kk pkpkdpd ， 因此 112 )1(kkpk 21p pdpd 31p

17、p )( 2XE 112 )1(kkppk 112 )1(kkpkp 22pp 22 )( EXXEXD 21pp。 解法二 矩母函数法（ 略 ）。 解法三 令随机变量 不发生第一次试验中事件 第一次试验中事件发生 A,1 ,0Y 则 Y=0 时，是 X=1； Y=1 时， 令 X 是从第二次试验开始到 A 发生，还需进行的试验次数，则 X 与 X 同分布，且 Y=1 时， XX 1 。因此 1)0|( YXE ；1)0|( 2 YXE )(1)(1)1()1|( XEXEXEYXE 。)()(21)()(21)1()1|( 2222 XEXEXEXEXEYXE 。 同时 PX=0=p， PX

18、=1=1-p； 因此 )|()( YXEEXE )1|(1)0|(0 YXEYPYXEYP )(1)1(1 XEpp ， 所以 EXp1)|()( 22 YXEEXE )1|(1)0|(0 22 YXEYPYXEYP )()(21)1(1 2XEXEpp ， 所以 )( 2XE22pp22 )( EXXEXD 21pp。 21 例 5 一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通一隧道，沿此隧道走 2 小时可到达安全区；第二个门通一隧道，沿此隧道走 3 小时可回到原矿井中；第三个门通一隧道，沿此隧道走 5 小时可回到原矿井中 .假定此矿工总是等可能地在三个门中选择一个，用 X 表示矿工到达安全区所

19、用时间，求 X 的均值与方差。 解 令 Y 表示矿工第一次选择的门，则 Y=i表示第一次选择第 i 个门，由题意知 PY=PY=PY=1/3 而 E(X|Y=1)=2;E(X|Y=2)=EX+3;E(X|Y=3)=EX+5 因此 5)(3)(231)|()( XEXEYXEEXE 故 E(X)=10 求在对 Y 取条件的情况下来计算 X的矩母函数 )|( YeE tX ， 由于 Y=1 时， X=2;令 X 为 矿工回到矿井后在到达安全区所附加的时间，显然 X与 X 同分布，且 Y=2 时， XX 3 ； Y=3 时， XX 5 ，所以 ttX eYeE 2)1|( )()2|( 3)3( t

20、XtXttX eEeeEYeE 同理 )()3|( 5)5( tXtXttX eEeeEYeE 故 X的矩母函数， 3 1 )|()|()()( k tXtXtXX kYPkYeEYeEEeEt )()(31 532 tXttXtt eEeeEee 因此ttttXX eeeeEt 5323)()( 。 现在对 )(tX 求导，得 )(tX 2537523 36 tttttee eee 22 )(tX 353121087523 921113936 ttttttttee eeeeee 计算在 t=0 的值，得 10)( XE ， 198)( 2 XE ， 故 98)()()( 22 XEXEXV

21、a r 四 条件概率 （ 1） X， Y 是随机变量， )(xG 为 x 的分布函数，则 )(| xdGxXIYPIYP （ 2） X 是离散型随机变量，则 x xXPxXyYPyYP |。 （ 3） X 是连续型随机变量，密度函数 )(xfX ，则dxxfxXIYPIYP X )(| 。 练习 2 甲乙两人轮流的掷一对骰子，甲的目标是两枚骰子点数之和为 6，乙的目标 是两枚骰子点数之和为 7，谁先掷得目标点数便获胜，同时游戏停止 ，以 X 记决出胜负时掷骰子的次数 。求（ 1）甲获胜的概率；（ 2）掷骰子次数 X 的期望；（ 3）掷骰子次数 X 的方差。 解 解法一 X 的分布列为 nknk

22、kXP nn261363165363112365653631 11令 653631p ，则nkpnkpkXPnn26136311236511甲获胜的概率为 11 365)(nnpAP 1630 乙获胜的概率为613631)( 1 1 n npAP 16136136312365)12( 1 11 1 n nn nk pnpnkXkPEX23 1 11 1 3652 1 6612 n nn n ppn k kXPkEX 22 1 121 12 6136314365)12( n nn n pnpn 1 11 11 12 3653654636 614 n nn nn n ppnpn 而pppn n 1

23、1，21 1 )1( 11 pppdpdnpn n ， 21 )1( ppnpn n ，321 12 )1( 1)1( ppppdpdpnn n 所以 EX 1111 365336 61nnnn pnp )1(36 5)1(336 61 2 pp 2)1(108 4615 pp 2)1(108 4615 pp 61024 2EX 1111112 3653654636 614nnnnnn ppnpn)1(36 5)1(36 54)1(636 )1(614 23 pppp 32)1(108 1515277 p pp 261296454 222 61134850)( EXXEXD。 解法二 令 A

24、为甲获胜， 令随机变量 点点，第二次乙未掷得第一次甲未掷得点点，第二次乙掷得第一次甲未掷得点第一次甲掷得76376261Y 令 X 为不考虑甲乙两人第一轮的点数 ， 从第三次开始 考虑决出胜负时 掷骰子次数。则 Y=1 时， X=1； Y=2 时， X=2； Y=3 时， XX 2 ， 且 X 与 X 同分布； 3651P Y ， 6136312P Y ， 6536313P Y ， 11|PA Y ， 02|PA Y ， )(3|P A APY ， 11|EX Y ， 22|EX Y ， )(23|E X XEY 。 24 （ 1） )3|(3)2|(2)1|(1)( YXPYPYXPYPYXPYPAP )(6536311365 AP 6130)( AP )|()( YXEEXE )3|(3)2|(2)1|(1 YXEYPYXEYPYXEYP )(E265363126136311365 X ， 61024)( XE )|()( 22 YXEEXE )3|(3)2|(2)1|(1 222 YXEYPYXEYPYXEYP )()(4E465363146136311365 2XEX ， 22 61296454)( XE222 61134850)( EXXEXD。