1、附录四 等周问题 在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这就是著名的“等周问题” 。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下： 定理 平面上具有定长的所有简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。换言之，若 L 是平面上简单闭曲线 C 的长度， A是曲线 C 所围图形的面积，则 42LA ， 且等号成立时， C 必须是圆周。 注 42L就是周长为 L的圆所围的面积。 在数学分析课程中，我们学习了关于 Fourier 级数的有关性质，这就使我们能够在课程中解答这一数学上的著名问题。现在我们仅限于对平面上分段光滑的简
2、单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在 1902 年给出的。 引理 （ Wirtinger） 设 在fx() , 上连续, )()( ff = ， ，且除了有限个点外 可导，但在不可导的点， 的单侧导数存在。进一步假设， 的导数 在0)( =dxxf)(xf )(xffx() )(xf , 上可积或平方可积，则 ,)()(22dxxfdxxf 等号成立当且仅当 xbxaxf sincos)( += （ 为常数）。 ba,证 由 Fourier 级数的收敛判别法， 的 Fourier 级数在)(xf , 上点点收敛于 。由于 )(xf 0)(10=dxxfa ，所以 =)(xf=+1
3、)sincos(nnnnxbnxa ， , x ； 进一步， 64fx()=+1)cossin(nnnnxnbnxna 。 于是，由 Parseval 等式得到 =dxxf )(12=+122)(kkkba ， =dxxf )(12=+1222)(kkkbak 及 =dxxfdxxf )()(22=+2222)(1(kkkbak 。 上式说明 ，并且等号成立当且仅当（ ），即 0)()(22dxxfdxxf 0,0 =nnba“,3,2=nxbxaxf sincos)(11+= 。 定理的证明 设曲线 C以弧长为参数的方程为 )(sxx = ， )(syy = ， ,0 Ls ， 且参数 从
4、变到s 0 L 时，点 沿逆时针方向画出曲线 C。因为 是闭曲线，所以 ， 。作变量代换)(),( sysx C)()0( Lxx = )()0( Lyy =22ts +=LL，可将该曲线的方程改写为 )(tx = ， )(ty = ， , t ， 且成立 )()( = ， )()( = 。 不妨假设 。若 ，则闭曲线 C0)( = dtt 0)( =kdtt： 2kxx = =2)(kt ， )(tyy = （ , t ） 65是 C的一个平移，其所围图形的面积与 所围图形的面积相同，于是考虑 CC即可。 由于22LtLs +=，所以2Ldtds= ，再由弧长的微分公式得 )()(42222
5、2ttdtdsL+= ， , t 。 对上式在 , 上取定积分得 +=dtttL)()(2222。 其次， C所围图形的面积 A可用曲线积分表示 dtttxdyAC= )()( ， 因此 .)()()()()()(2)()(22222222+=+=dtttdtttdtttttAL由于 C 是分段光滑曲线，所以 )(t 满足引理的条件，因此，又显然 ，所以 0)()(22 dttt0)()(2 dttt42LA ， 等号成立当且仅当 0)()(22= dttt ， ， 0)()(2= dttt等价地，就是 66tbtat sincos)( += ， )()( tt = ， , t ， 这时 C的参数方程为 +=+=,cossin)(,sincos)(ctbtatytbtatx, t ， 即 C是一个圆周。 证毕 67
