1、算法设计与分析,计算机科学与技术学院,陈 博,问题的提出,问题的求解思路,思维的发散与拓展,课后练习,八皇后问题是数学家高斯（Gauss）于1850年提出的趣题：,在国际象棋的88方格的棋盘上如何放置8 个皇后，使得这8个皇后不能相互攻击，即任意 两个皇后不允许处在同一横排， 同一纵列， 也 不允许处在同一与棋盘边框成45角的斜线上。,问题的提出,问题的求解思路,穷举法,优化穷举法,回溯法,四皇后,八皇后,N皇后,穷举法：,穷举法又称列举法，其基本思想是逐一列举 问题所涉及的所有情况，并根据问题提出的条件 检验哪些是问题的解，哪些应予排除。,应用穷举法设计求解，通常分以下几个步骤：,（1）根据
2、问题的具体情况确定穷举量； （2）根据指定范围设置穷举循环； （3）根据问题的具体要求确定筛选的约束条件； （4）设计穷举程序并运行调试，对运行的结果进行分析与讨论。,从特殊到一般的思维模式：,将问题的规模缩小到4皇后上，以便于实现 ：,#include #include using namespace std; void FourQueens() for (int i = 1; i != 5; +i)for (int j = 1; j != 5; +j)for (int k = 1; k != 5; +k)for (int r = 1; r != 5; +r)if (i != j ,当问题所
3、涉及数量非常大时，穷举的工作量 也就相应较大，程序运行时间也就相应较长。为 此，应用穷举求解时，应根据问题的具体情况分 析归纳，寻找简化规律，精简穷举循环，优化穷 举策略。,优化穷举法：,高斯8皇后问题的一个解用一个8位数表示， 8位数解的第K个数字为j，表示棋盘上的第k行 的第j格放置一个皇后。,任意两个皇后不允许处在同一横排，同一纵 列，要求8位数中数字18各出现一次，不能重复。 因而解的范围区间应为12345678，87654321。 注意到数字18的任意一个排列的数字和为9的倍 数，因而穷举a循环的循环步长可优化为9。,为了判别数字18在8位数a各出现一次，设 置f数组，f（x）统计a
4、中数字x的个数。若f（1） f（8）均等于1，即数字18在a中各出现一次。 否则，返回测试下一个8位数a。,任意两个皇后不允许处在同一与棋盘边框成 45角的斜线上，设置g数组，若a的第k个数字为 x，则g（k）=x。要求解的8位数的第j个数字与 第k个数字的绝对值不等于j k（设置j k）。若 出现：,| g（j）- g（k）| = j - k,表明j与k出现同处在与棋盘边框成45角的斜 线上，返回测试下一个8位数a。,#include #include void main() int s,k,i,j,t,x,f9,g9;long a,y;s=0;printf(“高斯8皇后问题的解为:n“);
5、for(a=12345678;a0)x=y%10;fx=fx+1;y=y/10;k+;,gk=x; /分离各数字，用f数组统计for(t=0,i=1;i=8;i+)if(fi!=1) t=1;if(t=1) continue; /数字18出现不为1次，返回for(k=1;k=7;k+)for(j=k+1;j=8;j+)if(fabs(gj-gk)=j-k) t=1;if(t=1) continue; /同处在45度角的斜线上，返回s+; /输出8皇后问题的解printf(“%ld “,a);if(s%6=0) printf(“n“);printf(“n s=%dn“,s); ,回溯法：,回溯法
6、是一种试探求解的方法：通过对问 题的归纳分析，找出求解问题的一个线索，沿 着这一线索往前试探，若试探成功，即得到解； 若试探失败，就逐步往回退，换其他路线再往 前试探。因此，回溯法可以形象地概括为 “向 前走，碰壁回头”。,回溯法的基本做法是试探搜索，是一种组织 得井井有条的、能避免一些不必要搜索的穷举式 搜索法。这种方法适用于一些组合数比较大的问 题。回溯算法在问题的解空间树中，从根结点出 发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点， 先判断该结点是否包含问题的解；如果肯定不包 含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。,与穷举法相比，回溯法的“聪明
7、”之处在于能 适时“回头”，若再往前走不可能得到解，就回溯， 退一步另找线路，这样可省去大量的无效操作。 因此，回溯和穷举相比，回溯更适宜于量比较大， 候选解比较多的问题。,思维的发散与拓展,斜率法求解八皇后：,#include /a存放皇后所在的列数,比如a1=1表示第一个皇后在第一列上 /b的状态表示该列是否被占，比如b1=1表示第1列被占，b1=0表示第1列未被占 /ci+j的状态表示某斜率为1的对角线上是否被占，1表示被占 /di-j+n的状态表示某斜率为-1的对角线上是否被占，1表示被占 int a20,b20,d40,c40,n,t,i,j,k; void output() /输出
8、解决方案t=t+1;printf(“第%2d种方案： “,t);for(k=1;k=n;k+) printf(“%2d “,ak);,printf(“n“); void tackle(int i) int j;for(j=1;j=n;j+) /列数的移动if( (bj=0) /表示某斜率为-1的对角线被占if(in), /小于8则递归tackle(i+1);else /处理完则输出output();bj=0; /重新置标记位为0ci+j=0;di-j+n=0; ,int main() int i; key:printf(“请输入8处理8皇后问题n“);scanf(“%d“,tackle(1); /从第一个皇后开始放，第i个皇后在第i行上寻找位置elsegoto key;return 0; ,课后练习,日本数学家桥本吉彦教授于1993年10月在 我国山东举行的中日美三国数学教育研讨会上 向与会者提出以下填数趣题：把1，2，9这9 个数字填入下式的9个方格中（数字不得重复）， 使下面的分数等式成立。,这一分数式填数趣题究竟共有多少个解答？ 试求出所有解答（等式左边两个分数交换次序只 算一个解答）。,,谢谢,再见!,
