1、第二章 原子的量子态：玻尔模型,内容： 1、背景知识,2、玻尔模型,3、实验验证之一：光谱,4、实验验证之二：夫兰克-赫兹实验,5、玻尔模型的推广,重点：玻尔模型，光谱,.1 背景知识,经典力学、 经典电磁场理论、 经典统计力学,（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利金斯公式，在高频部分趋于无穷。（2）“以太漂移”，迈克尔逊莫雷实验表明，不存在以太。,在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云,两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺 ”,十九世纪末二十世纪初物理学的发展取得极大的成就，描述宏观物体运动规律的经典力学、经典电磁场理论以及统计力学已发展成熟。,正是这两朵小小的、令人不安的乌
2、云 导致整个近代物理学的诞生。,历史往往有惊人的相似之处，正如李政道先生所说：二十世纪末二十一世纪初的今天，物理学也有两大困惑：,近代物理学也需要革命！,一、量子假说根据之一：黑体辐射,黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体。且只与温度有关，而 和材料及表面状态无关 。,1、基尔霍夫定律任何物体的辐射在同一温度下的辐射本领和吸收本领成正比，,问题：在实验中如何测能量谱密度（，T）,2、斯特藩定律黑体辐射的总本领与它的绝对温度的四次方成正比,实际上不存在“绝对黑体”，但有些物体可以看作黑体,、维恩定律辐射能量分布定律,维恩位移律,4、瑞利金斯定律和紫外灾难,从经典能量按自由度均分定律,、普
3、朗克的量子假说,对一定频率的电磁波，物体只能以 h为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。,h = 6.62607551034 Js,1900年10月19日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体辐射能量密度的分布公式：,这个公式是普朗克为了凑合实验数据而猜出来的。当hkT时，它和维恩公式有完全一样的形式；当hkT时，它又和瑞利金斯公式一致，并经过验证和当时的实验结果很好地符合。普朗克决定给公式一个合理的理论解释，为此提出了能量子的概念。,二、量子假说根据之二：光电效应,（一）光电效应的实验规律,、截止频率或红限频率,、遏止电势与入
4、射光强无关光电子的最大能量与光强无关,只有当入射光频率 大于一定的 频率o时， 才会产生光电效应,3、驰豫时间当o ，光一照上，几乎立刻（ 10s ）观测到光电子,（二）光电效应的经典解释,矛盾二：经典的决定光电子能量是光强，光电效应的大于一定的频率o时， 才会产生光电效应 。,矛盾一：经典的WIt，光电效应的W与光强无关,矛盾三：经典的驰豫时间50min，光电效应的不超过10s,只有当入射光频率 大于一定的频率o时， 才会产生光电效应 。光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大。,其中： W入射光的能量；A电子在金属中的结合能（或电子的脱出功）,爱因斯坦公式,（三
5、）光电效应的量子解释,辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有动量。,2、遏止电势与频率成线性关系,1、光电子获得能量与光强无关，与频率有关,3、当入射光频率 大于频率o时， 才会产生光电效应,三、光谱的一般知识,（一）光谱,光谱是电磁辐射（不论在可见区或在可见区外）的波长成分和强度分布的记录；有时只是波长成分的记录。 光谱是研究原子结构的重要途径之一。,（二）光谱仪,光谱仪：能将混合光按不同波长成分展开，把不同成分的强度记录下来的仪器。,光谱仪的组成：光源、分光器、记录仪，若装有照相设备，则称为摄谱仪。,不同波长的光线会聚在屏上的不同位置，因此谱线的位置就严格地与波
6、长的长短相对应。,（三）光谱的类别,按波长分：红外光谱、可见光谱、紫外光谱 (波长减小，频率增加) 按产生分：原子光谱、分子光谱； 按形状分：线状光谱、带状光谱和连续光谱,（四）氢原子光谱的实验规律,人们很早就发现氢原子光谱在可见光区和近紫外区有很多谱线，构成一个很有规律的系统。 谱线的间隔和强度都向短波方向递减。其中四条谱线的波长为：H 线： 6562 .10 (红色)H 线： 4860 .74 （深绿）H 线： 4340 .10 （青）H 线： 4101 .20 （紫）,（五）巴耳末经验公式,巴耳末（J.J.Balmer）的经验公式：,在1885年, 人们已经观测到氢原子光谱线达14条.,
7、如果取:,则公式变为:,n=3, 4, 5, ,式中: RH=4/B, 称为里德伯常数RH=1.0967758107m-1,当,1)、波长遵守巴耳末公式的这一系列谱线称为巴耳末线系 2)、波长间隔沿短波方向递减 3)、谱线系的系限，谱线系中最短的波长,讨论：,（五）氢原子光谱的实验规律,里德伯公式是一个普遍适用的方程，氢原子的所有谱线都可用这个公式来表示，其中RH=4/B，称为里德伯常数，在此也是一个经验参数。式中m=1,2,3,; 对于每一个m, 有n=m+1, m+2, m+3, 构成一个谱线系。,1889年，瑞典物理学家里德伯（J.R.Rydberg, 1854-1919）提出：,m=1
8、, n=2, 3, 4, 此谱线系处于紫外区， 1914年由T. Lyman发现，称为赖曼系。,m=2, n=3, 4, 5, 此谱线系处于可见光区， 称为巴尔末系。,m=3, n= 4, 5, 6, , 此谱线系处于红外区， 1908年由F. Peschen发现，称为帕邢系。,m=4, n=5, 6, 7, 此谱线系处于红外区， 1922年由F. Brackett发现，称为布喇开系。,m=5, n=6, 7, 8, 此谱线系处于红外区， 1924年由H. A. Pfund发现，称为普丰特系。,结论： （1）氢光谱中任何一条谱线的波数，都可以写成两个整数决定的函数之差。 （2）取m一定的值，n
9、m，可得到同一线系中各光谱的波数值。 （3）改变公式中的m值，就可得到不同的线系。,（六）光谱项，并合原则,里德伯公式准确地表述了氢原子光谱线系，而且其规律简单而明显，这就说明它深刻地反映了氢原子内在的规律性。最明显的一点是，氢原子发射的任何一条谱线的波数都可以表示成两项之差，即：,其中，每一项都是正整数的函数，并且两项的形式一样。若我们用T来表示这些项值，则有,由上式可见，氢原子光谱的任何一条谱线，都可以表示成两个光谱项之差。,综上所述，氢原子光谱有如下规律：,（1）谱线的波数由两个光谱项之差决定：,（2）当m保持定值，n取大于m的正整数时，可给出同一光谱系的各条谱线的波数。,（3）改变m数
10、值，可给出不同的光谱线系。,以后将会看到，这三条规律对所有原子光谱都适用，所不同的只是各原子的光谱项的具体形式各有不同而已。,.2 玻尔模型,一、经典轨道和定态条件,氢原子中原子核带有一个单元的正电，外边有一个电子带一个单元的负电荷，原子核和电子之间有库仑力。因为氢原子核的质量比电子大1836倍，它们之间的相对运动可以近似看做只是电子绕原子核运动，原子核不动。,由牛顿第二定律：,1、电子在原子核的库仑场中的运动,电子和原子核体系的相互作用势能为：,其中K是,时的势能，如果取,时势能为K= 0,则：,电子绕原子核做圆周运动的动能为：,电子轨道运动的频率：,则原子的能量为：,大，,有公式有：1）,
11、大。,2）体系的能量出现负值是由于把,时势能为K= 0的结果。,3）公式只表示体系的能量E和电子运动的轨道半径r的关系， 对两者没有任何限制。,2、经典理论的困难,按照经典电动力学我们知，当带电粒子有加速度时，就会产生电磁辐射，发射的电磁辐射的频率等于辐射体运动的频率。原子中电子的轨道运动具有向心加速度，它就应连续辐射，由此推出：,1）如果原子连续辐射，体系的能量就逐渐降低,由于体系的能量逐渐降低，电子运动的轨道半径就连续地减少，这样继续下去，电子轨道将缩小到原子核为止。这样可推出：原有原子都会变成原子核那么大，即半径为10-15m数量级，才成为稳定不变的。,实验测得：原子的半径都是10-10
12、m数量级,所以，由经典理论推出的结论与实验不符合。,2）由电动力学有，原子所发光的频率等于原子中电子运动的频率，由于电子绕核作圆周运动具有向心加速度，产生电磁辐射，体系的能量将不断减少，电子运动的轨道半径将连续减少，因而轨道运动的频率连续增大，则所发光的频率连续增大。,实验表明：原子光谱的谱线是分立的，代表一些分隔而有有一定数值的频率。,由此可见：利用经典物理的理论无法解释原子光谱的规律。,3、玻尔氢原子理论的提出,从各种实验已证实原子的半径是10-10m的数量级，所以电子轨道的半径不会缩小到原子核那么大，电子一定在具有10-10m的数量级的半径那样的稳定轨道上运动。,玻尔根据当时公认正确的量
13、子论：即光能量总是一个单元的整数倍，而每一个单元是hv, 这里v是光的频率，h是普朗克常数。,根据氢原子光谱的经验公式：,m, n是整数,公式两边同乘以hc则有：,式中:,每次发射光的能量,原子在辐射前后的能量之差,如果原子在辐射前的能量是E2, 经辐射后能量变为E1,E1E2,则放出的能量为:,如果原子的能量仍取负值,则有:,二、频率条件, 能量只与一个整数n 有关 能量只能取一定的分立值 在某一状态 上，无论电子有无加速度，其能量都是一定的 定态,再进一步 能量量子化 轨道半径r是量子化的 分立的值rn 角动量,是量子化的。,根据原子体系的能量公式：,则有电子运动的半径：,对于氢原子：Z=
14、1，则有,式中：n是整数，其余均为常数。,由此可见：与能量联系的电子轨道也是分隔的，它的半径有一定的数值，不能连续变化。,在玻尔引入原子辐射的光的能量是量子化后，得到： 1）、氢原子中的电子只能在一定大小的、彼此分隔的一系列轨道上运动；电子在每一个这样的轨道上运动时，原子具有一定能量。 2）、如果氢原子中的电子从一个大的轨道运动跳到小轨道上运动，原子的能量就从大到小，多余的能量就放出成为一个光子的能量。,上述分别表达了存在于氢原子中的电子轨道的大小和相应的能量的数值，它们都与实验值R相联系，只是半经验公式，需要进一步推究到与原子内部运动相关的物理量的关系。,玻尔根据上述实验事实，提出原子中电子
15、运动轨道必须如下量子化条件：,式中：,电子运动的动量,电子运动的角动量,如果取:,则有:,三、角动量量子化,玻尔的这几个假设是否正确？只有通过实验检验。,四、氢原子的能级、半径,电子的轨道半径只能是a1,4a1,9a1等玻尔半径的整数倍，即轨道半径是量子化的. 玻尔理论的一个成功之处,处于定态时原子所允许的能量值。能量是量子化的,实验测得，氢原子的电离电势为13.6V. 实际上， 理论和实验符合, 这是玻尔理论的又一成功之处。,由氢原子的能量可以求得波数,对于氢原子: Z=1, 则有里德伯常数:,取:,则有:,实验值为:,说明: 1)、里德伯常数的实验值和理论值很好地符合2）、波数的理论公式和
16、前面总结的经验公式一致，理论圆满解释了实验事实，它对原子内部结构情况的揭示取得了成功。3）、里德伯常数的实验值和理论值存在微小差别，这种差别不是实验误差所致，还需进一步的理论解释。,氢原子的轨道和能级,即轨道半径是量子化的,能量是量子化的.,说明: 1). 二图中每一个能级和轨道的对应关系以同一量子数n表示出来。,2）邻近轨道的间隔随n的增加而增加，而邻近能级的间距随n的增加而减少，最后趋近于0。,3） 图中所划的轨道是可能的轨道，能级是可能的能级。,4）在任何一个时刻，一个原子中实现的只是一个轨道的电子运动，这个原子只具有与这个运动对应的一个数值的能量，即只是一个能级。 5）电子从某一个轨道
17、跳到另一个轨道称为跃迁，也可以说原子从前一个状态跃迁到后一个状态。,6）在进行实验时，实际观策的是大量原子，各种轨道的电子运动可以在不同的原子中分别实现，相应的各种能级在不同的原子上同时存在，各种轨道间的跃迁，可以在不同的原子中发生。,7）跃迁的间隔大，所发光的波长就短，但随跃迁间隔的增加，每次的能量增加量逐渐减少，趋于零。所以在每一谱线系中谱线的间隔，向短波方向递减。,五、非量子化的状态与连续谱,在前面的讨论中，我们把,时的势能定作0，则量子化的能级是,负的，最大的量子化能量是0。那么有没有能量是正的情况？,实验发现在Balmer系的系限之外接着有一个连续带，这是一些具有正的能量的原子产生的
18、。,当有些电子离原子核很远时，其动能为：,这时相互作用势能：,则体系的总能量为：,当这电子向原子核接近时，它走的路径按力学是一个双曲线的一支，轨道不是闭合的。在轨道上任何一点的能量等于电子离原子核很远时的能量（运动过程中能量守恒）,这时能量不是量子化的，可以是任何正值。,电子从这个非量子化轨道跃迁到另一个量子化的轨道，原子发射一个光子，其能量是：,公式中：第一项可以是大于0的任何正值第二项相当于一个谱系限的能量所以发光的频率是连续变化的，它的数值从谱系限起向上增加，则这连续带从谱系限起向短波方向延伸。,六、玻尔理论中的普遍规律,玻尔理论是建立在物理学三方面的进展的基础上：1）光谱的实验资料和经
19、验公式2） 原子的核式结构模型3）量子论,玻尔理论不仅成功解释了氢原子的光谱规律，且具有普遍的意义。,1）原子只能较长久地停留在一些稳定状态（定态），原子在这些状态时，不发出或吸收能量，各个定态有一定的能量，其数值彼此分隔。原子的能量不论通过什么方式发生改变，只能使原子从一个定态跃迁到另一个定态。,2）原子从一个定态跃迁到另一个定态而发射或吸收辐射时，辐射的频率一定。辐射的频率决定于下式：,第一条是原子的量子化的定态的陈述，第二条是辐射的频率法则。,.3 实验验证之一,一、氢原子光谱,玻尔的氢原子理论成功的给出了里德伯常数的表达式和数值，这是玻尔理论的成功之三。而里德伯公式能成功地解释氢光谱，
20、也就是说玻尔理论在处理氢原子问题上是成功的，这是玻尔理论的成功之四。里德伯常数的理论和实验存在微小差别，这种差别不是实验误差所致，还须进一步的理论解释。,（理论）,（实验）,玻尔理论的最主要成功之处是：,（1）它从理论上满意地解释了氢光谱的经验规律里德伯公式。 （2）它用已知的物理量计算出了里德伯常数，而且和实验值符合得较好。 （3）它较成功地给出了氢原子半径的数据。 （4）它定量地给出了氢原子的电离能。,二、类氢离子的光谱,1、类氢离子,原子核外边只有一个电子，而原子核带有大于一个单元的正电荷的体系。 如：一次电离的氦离子He+ 二次电离的锂离子Li+三次电离的铍离子Be+,2、类氢离子光谱
21、的具体例子,1）毕克林系,1897年天文学家毕克林（Pickering）在船艣座星的光谱中发现了一个很象Balmer的谱线。规律如下：,（1）、Pickering系中每隔一个谱线和Balmer系的谱线差不多重合，但另有一些谱线位于Balmer系两临近线之间。 （2）、Bickering系与Balmer系差不多重合的那些谱线显然稍有波长的差别。 （3）、里德伯指出Bickering系的表示公式为：,n=2.5, 3, 3.5, ,2)、Bickering系的产生原因,Bickering系从地上的氢是观测不到的，早期人们认为这是由星体上一种特殊的氢所发出的。后来人们发现它是氦的离子He+所发出的。
22、,毕克林线系,He+是一个电子和一个氦原子核构成的体系，按照玻尔理论有：,设n1=4, n2=n=5, 6, 7, ,n=5, 6, 7, ,k=n/2=5/2, 6/2, 7/2, ,3)、He+的其它线系,（1）4686系,1914年福勒发现此线系,n=4, 5, 6, 7, ,(2) 其它系,1916年Layman在远紫外区发现另外二个系：,n=3, 4, 5, ,n=2, 3, 4, ,4) 、其他类氢离子的谱线,Li+离子的谱线系：,n1=1, 2, 3, ; n2= n1+1, n1+2, n1+3, ,Be+离子的谱线系：,n1=1, 2, 3, ; n2= n1+1, n1+2
23、, n1+3, ,三、里德伯常数的变化,1、背景,1）在类氢离子光谱中（如Bickering系）我们知道那些与氢原子谱线重合的线稍有波长的差别； 2）从氢光谱的波数,以及其他类氢离子光谱的波数的比较可见，假设量子数n1和n2的取值合适，不同光谱中的有些谱线好象应该能够完全重合。,实验表明：情况并不是这样。产生的原因只有由于各种原子或离子的里德伯常数的数值不同。,2、里德伯常数的变化,在氢原子玻尔理论的推倒过程中，由于电子的质量远小于原子核的质量，从而只考虑电子相对于原子核的运动，而没有考虑原子核的运动，这样一个原子体系运动图象似乎有些简单。,实际情况是：原子核的质量虽然很大，但并不是无限大，它
24、仍是运动的，不是电子绕原子核作园周运动，而是电子和原子核绕二者的质心运动。,设：原子核的质量为M，距质心的距离为r1, 运动速度为V,电子的质量为m，距质心的距离为r2, 运动速度为v,由此有：,则电子和原子核所受的向心力为：,设: 电子和原子核运动的角速度为, 则有:,由此可得:,取:,为电子和原子核的折合质量,则有:,由体系的量子化条件有:,消去则有:,和前面给出的原子的半径公式比较, r的形式相同, 只是用折合质量取代电子的质量m。,原子体系的能量为：,由此可得：,公式和前面给出的公式的形式完全一致，但上式中的r已非原来的数值，把上面给出的r带入则有：,由此可得光谱系公式：,同样除代替m
25、外，其余与前面公式完全相同，由此则有里德伯常数：,当M=时，上式变为：,说明: 1) 在上节所讨论的R的理论值, 是相当于原子核质量无限大的R值。这完全与假设原子核不动，即原子核的质量和电子的质量相比无限大的结论相符合。,2）各种原子的里德伯常数为：,m是电子的质量，m=constant 则：原子的里德伯常数随原子核的质量M而变化,3）如果实验精确测定出原子的RA值，则可求出：,较近期的测定为：,则有：,这个结果与上节理论计算所得的R值完全符合,3、里德伯常数测定的应用,氘原子的发现,2.4、夫兰克-赫兹实验与原子的能级,一、激发电势的测定,1实验描述,原子内部能量的量子化，也就是原子的间隔能
26、级的存在，除由光谱的研究可以推得外，还有别的方法可以证明。,1914年，J.Frank, G. Hertz用电子碰撞原子的方法使后者从低能级激发到高能级，从而证明了能级的存在。,玻璃容器中充以要测量的气体，最初进行研究的是汞汽。电子由热阴极K发出，在K与栅极G之间加电场使电子加速。在G与接收极A之间有一0.5V的反电压，当电子通过KG空间，进入GA空间时，如果仍有较大能量，就能冲过反电场而达到电极A，成为通过电流计的电流。,如果电子在KG空间与原子碰撞，把自己一部分能量给了原子，使后者被激发，电子剩下的能量就可能很小，以致过栅极G后不足以克服反电势而到达A，因而不流过电流计。,把玻璃容器内的空
27、气抽出，注入少量的汞，维持适当的温度，可以得到气压合适的汞汽。逐渐增加KG间的电压，观测电流计的电流变化。,2、实验结果,1）、当KG间的电压由0逐渐增加时，A极电流起初逐渐上升，当电压达到4.1V时，电流突然下降，不久又上升。 2）、当电压达到9.0V时，电流突然下降，然后又上升。 3）、当电压达到13.9V时，电流突然下降，然后又上升。,规律：三个电流突然下降时的电压相差都是4.9V, 但第一个和0相差却是4.1V。这可能由于仪器上的接触电势的存在，伏特计上的读数减低了一些，使整个读数偏低 0.8V。考虑这个情况后我们得出：,当KG间电压在4.9V的倍数时，电流突然下降。,3、实验结果解释
28、,1）、当KG间电压低于4.9V时，电子在KG空间被加速而取得的能量较低，此时如果与汞原子碰撞，还不足以影响汞原子的内部能量，所以不被汞原子吸收，这时随电压的增加到达栅极G且能够克服反电势的电子数增加。,2）、当KG间的电压达到4.9V时，电子如果与汞原子在栅极G处碰撞，有可能把获得的全部能量传递给汞原子，使后者从基态被激发到最近的一个能量较高的状态。这些电子因为把全部能量交给了汞原子，经过G后就不能克服反电势到达A极，所以A极电流下降。,3）、当KG间电压大于4.9V时，随电压的增加，电子原子碰撞后除使汞原子由基态被激发到最近的一个能量较高态后，还留有足够的能量可以克服反电势而达到A极，且留
29、有的能量随V的增加而增加，所以电流又开始上升。,4）、当KG间的电压是4.9V的二倍时，电子在KG间可能经过二次碰撞而失去能量，因而又造成电流的下降。同理，当KG间的电压是4.9V的三倍时，电子在KG间可能经过三次碰撞而失去能量，因而又造成电流的下降。,4、汞的第一激发电势,电子在KG间电压V作用下加速获得的能量,焦耳,汞的第一激发电势为：4.9eV,汞的第一激发电势的验证： 如果汞原子从第一激发态又跃迁到最低能级，则应有4.9eV的能量放出。放出光的波长为：,实验上确实观测到波长为2537埃的光谱 。,5、改进夫兰克-赫兹实验（较高激发电势的测定）,1）、实验描述,1920年J.Frank,
30、 G.Hertz把原有仪器稍作改进，又能测得较高的激发电势，这相当于把原子激发到更高的能级。,和原来仪器相比，在靠近阴极K处加了一个栅极G1，原来靠近A的栅极标记为G2，G1和G2是同电位的，电场强度为0。,实验发现当KG1间的电压为4.68，4.9，5.29，5.78，6.73V等值时，电流计电流出现下降。,在原有仪器中，电子的加速和与原子的碰撞都在同一区域KG间进行，它的能量达到4.9eV后，就可能经碰撞而损失，不易提高。在改进的仪器中，加速和碰撞分在两个区域进行。电子在KG1间加速，但KG1间的距离近，小于电子在汞汽中的平均自由程，与汞汽原子碰撞的机会很小，然后在较大的区域G1G2间进行
31、碰撞。,2）、实验结果,3）、实验结果解释,（1）当KG1间的电压为4.9V时，电流出现下降，这是汞的第一激发电势。 （2）当KG1间的电压为6.73V时，电流出现下降，表明汞原子的第二激发能级为6.73eV，实验上也观测到相应的由此激发态向基态跃迁时产生的光谱，波长为1849。 （3）对于其他激发电势，无相应的光谱产生，表明这些状态相应于汞原子的一些亚稳态，汞原子处于亚稳态时很难自发跃迁产生辐射。,（4）、原子吸收不同的能量后，被激发到不同的状态。这些能量的数值是不连续的，表明原子内部的能量是量子化的，也证实原子能级的存在。,二、电离电势的测定,1、基本概念,1）、电离,使原子中的电子离去的
32、过程,2）、电离电势,电子在电场中加速，使它与原子碰撞刚足以使原子电离，则电子加速时跨过的电势差称为电离电势。,2、实验描述,G.Hertz用来测量原子电离电势的仪器如下：,K：发射电子的热阴极 G：圆柱形金属网 A：圆柱形阳极,G与A接在同一电位上，G与K之间维持一定的电压；G的上下各有一个底，下底中央开一个孔，孔上盖一个金属网G1。,K1是另一个发射电子的热阴极。容器中的空气抽出后，充入所研究的气体，达到合适的气压。,3、实验步骤及结果,1）、KG间维持一固定的电压，逐渐增加阴极K的电流，由电流计观测KG间的电流。,起初KG间的电流逐渐上升，后来停止增加。,原因：由于K周围空间电荷的作用，
33、当K的电子发射量较大时，它周围有大量的电子拥挤着，不能很快向A极疏散，这就限制了K上电子的发射，使发射量不再增加，所以KG间电流也不再增加。,2)、在K1G1间加压，由小到大逐渐增加，阴极K1所发出的电子被加速射过G1网而进入G1G包围的空间中。,起初电流计所示的KG电流不受影响，但一旦K1G1间电压达到某一数值时，KG电流突然开始上升。,4、实验结果解释,当K1G1间的电压达到气体的电离电势时，电子射过G1，在G1附近的空间与气体原子碰撞而使后者电离，这样就有正离子和电子产生。在G1G网内的空间中，G1极对阴极K为正，所以电子向G1，而正离子移向阴极K，这些正离子在K附近中和了一部分空间电荷
34、，就减轻了空间电荷对K极上电子发射的限制，因而发射电子数增加，KG电流也就增加。,所以：KG电流的突然增加表示有电离的发生，也就是K1G1间电压达到气体的电离电势。,2.5、 量子化通则,玻尔在氢原子理论中，假定电子的轨道运动必须满足量子化条件：,n=1, 2, 3, ,式中：ps=mv, 是电子运动的动量q=2r, 圆周的周长p=mvr, 电子运动的角动量,1、量子化通则,在玻尔提出量子化条件不久，W.Wilson(1913)、石原（1915）A.Sommerfeld (1916)各自提出量子化通则：,n=1, 2, 3, ,这里： dq是位移或角移， p是与q对应的动量,讨论：1）对于作圆
35、周运动的电子,If: p是动量，则p=ps=Constant,If: p是角动量，则p=p=Constant,2）对于辐射源的线振子，其能量为：,n=1, 2, 3, .,是振子运动的频率， T是振子运动的周期,对于线振子的运动：,这里q是位移；是运动的角频率,则运动的速度为：,因为线振子的总能量En为：,所以：,由此可见：量子化通则既符合圆周运动量子化的事实，又可以从量子论直接推出，具有普遍的意义。它是量子化条件的一般表达式。,2.6 电子的椭园轨道运动与氢原子能量的相对论效应,电子在原子核的库仑场中运动正如行星绕太阳运动，是受着与距离的平方成反比的力。这样的运动，按力学规律，一般应该是椭园
36、轨道的运动。原子核如果假定不动，它处于椭园的一个焦点上，圆形轨道运动只是椭园轨道运动的特殊情况。在玻尔理论发表不久，1916年，A.Sommerfeld提出了椭园轨道理论。,一、量子条件的引用与椭园轨道的特性,1、Sommerfeld量子化条件,电子绕原子核在一个平面上作椭园运动是二自由度的运动。,采用极坐标系： 电子与核的距离为r, 极角为。则电子在椭园轨道上运动时， r, 都随时间变化。,动量：,角动量：,其中：,电子的角速度,垂直于r方向的速度分量,r方向的速度分量,则根据量子化通则有：,n=1, 2, 3, 角量子数,nr=0, 1, 2, 3, 径向量子数,因为：,不随变化，则有：,
37、所以：量子化条件为：,2、椭园轨道的特征,电子和原子核组成的体系的总能量：,电子在库仑场中的椭园轨道方程为：,a是椭园的长半轴，b是短半轴，c是焦距，是偏心率,电子在中心场中运动，角动量守恒，则有：,则有：,对椭园轨道方程两边求导：,所以：,利用积分公式：,取：,其中：,为主量子数,又因为：,所以：,因为电子在运动过程中能量守恒,所以：,又因为：,所以：,其中：,是氢原子中电子最小轨道半径,因为：,所以：,讨论：,1）、电子做椭园轨道运动的能量仅与n有关，与n 无关；半长轴a只取决于n, 与n 无关, 所以n相同的轨道，能量相同，半长轴相同。,2）、椭园轨道的半短轴b决定于n和n ，对于同一n
38、值，如果n 不同，则半短轴不同。,因为n和n 都是整数，对同一n值，有几个n 值，就有几个不同半短轴的椭园轨道，它们的半长轴是相同的，却具有相同的能量。,3）、因为,否则没有角运动,无径向运动，轨道为园型,对一个n值，有n对nr和n值，其中有一对是n=n, nr=0, 对应于一个圆形轨道，其余均为椭园，能级是n重简并的。,4）、对于n=1, 2, 3时电子的轨道运动如右图所示：,二、相对论效应对电子运动的影响,1、相对论效应,由相对论原理，物体的质量随它的运动速度而改变,m0物体静止时的质量；v物体运动的速度 c光速,物体运动的动能为：,当vc时，,2、对电子运动的影响,电子在椭园轨道中运动时
39、，速度是变化的。为了保持角动量守恒，电子在接近原子核时运动的快，在远离原子核时运动的慢。,所以电子的质量在椭园轨道运动中是一直在改变的，电子的轨道就不再是闭合的，好象椭园轨道有一个连续进动。,n相同n不同的那些轨道，速度的变化也不同，因而质量的变化和进动情况不完全相同，这些轨道运动的能量也略有差别， n级简并解除。,在相对论情况下，氢原子的能量为：,其中：,则光谱项为：,式中：1）、a的高次项a4, a6,略去不计；2）、第一项是Bohr理论的结果；3）、第二项是相对论效应的修正，对同一n, 不同n，其值不同，则对应 不同的轨道运动和能量，能级简并消除；4）、第二项的数值远小于第一项的数值，所
40、以相对论修正很小。,2.7、史特恩-盖拉赫实验与原子空间取向的量子化,通过前面的讨论我们知道原子中电子绕核运动的轨道的大小、形状、电子运动的角动量以及原子的内部能量都是量子化的。本节我们将讨论在磁场或电场中原子的电子轨道运动只能取一定的几个方向，不能任意取向。一般讲，在磁场或电场中，原子的角动量的取向也是量子化的，这种现象称为空间量子化。,一、电子轨道运动的磁矩,1、经典磁矩,由电磁学有，一个载流线圈具有磁矩,其中：A线圈所围的面积i流过线圈的电流强度,与电流 i的环流方向成右手螺旋方向上的单位矢量,2、电子轨道运动的磁矩,原子中电子绕原子核旋转，相当于一个微型环型电流，也会产生磁矩，称为电子
41、的轨道运动磁矩。,如果电子绕原子核旋转的周期为，则电流强度为：,其中：负号表示电流方向与电子饶行方向相反。 电子绕原子核作椭圆轨道一周所包围的面积为：,其中：,是电子绕原子核运动的角动量，由于电子在有心力场中,运动，角动量守恒。,所以：,则电子运动的轨道磁矩为：,由于,的方向与角动量方向一致,所以：,电子的轨道运动磁矩与电子的轨道角动量方向相反。,又因为：,所以电子轨道运动磁矩的大小为,=1， 2， 3， ,其中：,称为玻尔磁子，是原子磁矩的基本单位，其单位为：安培.米2（J .T-1）,二、轨道取向的量子化理论,在Sommerfeld的原子模型中，电子在原子核的中心力场中作椭圆轨道运动，需要
42、二个量子化条件来确定稳定的椭圆轨道，原子体系能量和角动量的量子化特性。其中主量子数n决定原子的能量，角量子数n决定轨道的形状和角动量的大小。,如果原子处在磁场中，那么由于磁场的作用，电子的轨道运动不在是平面运动，而是三维空间的曲线运动，原来同一平面内n不同的椭圆轨道将彼此分开。若外磁场很弱，几乎趋近于0，它对电子的轨道运动的影响甚微，那么运动可以近似看作仍然是一个平面上的运动，但轨道平面是绕着磁场方向做缓慢旋进的，轨道实际是一个空间曲线。这样的三维运动就必须满足三个量子化条件。,设想原子先处在磁场中，然后磁场强度逐渐减到0，则原子相对于原磁场方向的取向保持，但旋进和相应的附加能量不在出现，可暂
43、不考虑。这样如果把电子运动仍做三维运动处理，实际是考虑在磁场下电子轨道的取向问题。,采用球坐标系r , , 来描述电子的三维运动，极轴在磁场方向上，原子核处在极点上。电子做椭圆轨道运动的轨道角动量为,，方向垂直于轨道平面。,在磁场,方向的分量为, 电子所处位置的矢径与极轴的夹角为。,电子做轨道运动满足的量子化条件是：,电子在椭圆轨道上运动的量子化条件是,=1, 2, 3, ,在磁场方向上的投影为：,也是一个守恒量，不随而变化,则：,因为：,都是整数，且,所以有：,由此可见：,只能取几个整数值，对一个,值，只有,个,值，即,有,个值，有,轨道取向。,三、史特恩盖拉赫实验,1、实验描述,被测样品银
44、放在电炉O内被蒸发，银原子通过狭缝S1和S2后，形成细束。经过一个不均匀的磁场区域，在磁场的垂直方向上进行。最后撞在相片P上。银原子通过的区域是抽成真空的。,2、实验结果,银原子经过不均匀的磁场作用后分成两束，相片上看见两条黑斑。,3、实验结果解释,原子具有磁矩，在磁场中的行为象一个磁偶极子。如果磁场为匀强磁场，则原子只能受力偶矩,作用使磁偶极子转向沿磁场方向。,如果把原子放入不均匀的磁场中，则原子除受力矩作用而转动外，还受到沿磁场方向合力的作用而平动。,假设磁场沿Z轴方向的变化率为 ，,则具有磁矩的原子受到沿Z方向的力为：,式中： 原子磁矩在磁场方向上的分量；沿磁场方向的磁感应强度变化的梯度
45、磁矩与磁场方向的夹角,讨论：1）、如果,0，当,时，则,力的方向沿磁场方向。,2）、如果,，当,时，则,力的方向和磁场方向相反。,所以：磁场作用于磁矩上的力的大小和方向与有关。本实验的主要目的是要观测原子的磁矩在磁场中的取向情况，用不均匀的磁场是要把不同 值的原子分出来。,由于原子在磁场中运动时受到磁场的作用力垂直于原子的进行方向，原子的路径就发生偏转。原子在磁场作用下在垂直于运动方向获得的加速度为：,m原子的质量,假设原子沿垂直于磁场方向运动的水平初速度为v, 原子通过不均匀磁场时的纵向距离L，则原子经过不均匀磁场的时间为：,因为夹缝S2与相片分别靠近不均匀磁场的前后边界 所以L近似为S2到
46、 p的距离 则原子到达相片p时在平行于磁场方向偏离的距离为：,讨论：1）、如果原子磁矩=0, 则S=0， 原子射线穿过磁场时不受力的作用，准直地落在底片的中央O处，形成一条中央条纹。,实验表明：S0，则原子具有磁矩。,2）、如果原子磁矩仅仅大小是量子化的（ ），而方向不受限制，,则原子的磁矩和磁场方向可以有任意的夹角，则,就不是量子化的，实验,测得的S值也不应该是量子化的，由于射线束中存在大量原子，,几乎连续,分布，在相片上应出现相对于中央对称分布的带状分布。,3）、实验结果是底片上得到二条分立的条纹，而且是对称分布在准直位置O的上下两边。所以 只能取大小相等符号相反的二个值。 取值的量子化表
47、明原子磁矩在磁场中的取向或者与磁场平行，或者与磁场相反，没有中间的取向。这就充分证明了原子磁矩的空间取向是量子化的。,4）、由于原子的磁矩的大小与原子的核外电子运动的轨道角动量的大小成正比，方向相反，所以原子磁矩的空间取向的量子化是电子轨道运动角动量的量子化，也是原子核外电子运动取向的空间量子化。,5）、相片的两条黑斑是略有宽度的，不是很细的线条。说明银原子具有一个速度分布，所以S有小范围的连续变化。,6）、由电子轨道运动空间取向量子化理论预言，银原子在磁场中磁矩的取向的可能值为 ， 为1， 2， 3，所以银原子电子轨道运动的磁矩在空间取向最少应为3，但实验却观测到2。所以目前为止我们对原子的
48、描述是不完全的。,一、对应原理,2.8、对应原理和玻尔理论的地位,在量子数极大而且改变又很小的极限情况下，量子体系的行为将逐渐地趋近经典力学体系的行为；或者说，量子理论所得的结果应该与经典理论所得的结果一致，即量子力学必须有一个“经典极限”的概念。,1、能量对应关系,按玻尔原子量子理论，原子的能量是量子化的,当原子从一个能级En跃迁到另一个能级Em时，原子能量的变化为：,则原子的能量的变化是不连续的。,当原子在n 很大的相邻能级之间跃迁时，有：,由此可见，当 时，,所以，在量子数很大而且改变又很小的极限情况下，原子能级几乎是连续分布的，能量量子化的特征消失了。此时如果发生逐级跃迁，原子能量的变
49、化是连续的。这与经典电动力学预言的电子作加速运动应连续向外发射电磁波，原子能量连续减少的结论完全一致。,2、辐射频率的对应关系,按照经典力学的观点，绕核运动的电子会连续向外辐射电磁波，电磁波的频率与电子绕核运动的频率相同。,如果电子绕核作圆形轨道运动，则频率为：,由玻尔理论有：,这是电子轨道运动的频率，因而也是经典理论中的频率。,玻尔理论中同实际观测一致的辐射频率是：,上式给出的频率和经典的电子轨道运动频率不同。,当n很大，,时，,说明：1）、当n很大时，辐射的频率等于发射体周期运动的频率及其高次谐频，这同经典理论一致。,2）、当n不大时，量子频率，也就是实际测得的辐射频率，同经典理论的频率不符合，但它们之间有一一对应关系。,3、周期运动体的经典频率和它的辐射的量子频率的相关性,1）、量子频率,设一个具有一个自由度的体系，辐射的量子频率为：,
