1、计算方法 答案 2006-12-24 考查 成绩学院 姓名 学号 1、（4 分） ，则近似值： 有 6 位有82.71e 718235.x效数字， 有 7 位有效数字；5x2、（4 分）设 （ 均为实数），则差商： = 12 43)(axf ,1f， = 2 ；3,10f3、（4 分）具有 个节点的插值型数值积分公式 的代nbaniiixfAdxf0)()(数精度至少是 n 阶，至多是 2n+1 阶；4、（4 分）已知函数 是单峰函数，在 1，2 区间有极小点，利用 0.618)(xf法进行一维优化：函数值： ，则删6192.)8.1(,4095.)382.1( ff去部分区间后保留区间： ，
2、下次计算函数值的点是： 1.764 ；,5、（4 分）按数值积分的复化 Simpson 公式计算得：，由此可估计误差： 476.0,7.08SS 8)(SfI；01.1515626、（6 分）三阶 矩阵 及其逆矩阵如下，则 的 范数意义下的条Hilbert3 3H件数： 748 ；又，解方程组 ，)(3Cond)48*6( )6047,123(x若残量 的范数 ，则可估计解的误差 4.08 ；r01. 51432H1803092631H7、（8 分）函数 有形式 ，测试数据如下表：)(xf xBAxfcossin)(64)(xf-1.06 -0.567 1.43 1.77请给出用最小二乘法确定
3、系数 的法方程（取 3 位有效数字计算）：BA, 50.2.170.86.70.5GGTT25.13.49.748)14361( yy得： xxfcos50sin2)(50.2yBATT8、（10 分）用 Gauss 消去法解以下方程组，并将其系数矩阵 分解为A形式（ 单位下三角、 对角、 单位上三角矩阵）：LDUDU；537122482xx答： 3201453401043121432A 1x主元： 530427352404721438573219、（10 分）方程组： 5642215321xx考察用 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代解方程组的收敛性；解： 方法（ 1） 将
4、原方程第 3 行两边除 2，便为对称：正定，016,45,0245 AA正定，032,16425,0321452 AAD因此，Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代收敛；完方法（ 2） 若对方程不作改变，Jacobi 迭代矩阵：0)2915(2314250312501103 JIJ记 ，51)()9)(3 又由 及,02,02561(,0)(, ，因此，方程 在 ，及 4256)1( )()(中各有一解，因此 ，因此 Jacobi 迭代收敛；),1(, 1JGauss-Seidel 迭代的迭代矩阵 ：GS154)(1574032)( 021615401645)( 111 FEDF
5、ED或：迭代矩阵 谱半径 是以下特征多项式的根：GS)(S0)15(8642( 2FE)解得： ，所以)6.(3)(105).1(3,0,21 GSGauss-Seidel 迭代收敛； 完10、（10 分）已知方程 在区间 中有唯一解 ，给025)(xf )1,(x出包含此解的长度不超过 0.5 的区间，及一个简单迭代，使之在此前定的区间中任取初值，迭代收敛于 ；解： 75.0,73245.0x由 可知025.)(1)(,)( fff 1,5.0x令 ，迭代 ，x 1,01xkk因 ，而 ，)(025ln)( x .)2(5).(，,5.,.18.0又 由 )()(ln)2xxx，1)(012
6、5ln,5.( qxq因此，由定理可知，迭代 收敛。,5.,),(kxk11、（12 分）试给出计算以下积分的两点求积公式，使之具有尽可能高的代数精度，并请给出此时公式的误差：)()()1( 212xBfAfdxf 令 ，1, gfg解：1、确定公式 正交多项式： ,52)(,)(1)(,0)(: 211 xxxxk 0)1(),(,56)3(2)(),( 820121 100 dxxdx所以，节点 ，5,21x 345)121dlA342)()(112 xxdlB公式： )5()(3412ffxf 或 待定系数法：,0)(156381)( 32312 BxAxff 利用对称区间性质：令 52
7、342 xBA由此可得与上相同的公式。为得到误差，考察代数精度：令 ：4)(f2*52)(345)75()1(124 fxdx因此，代数精度为 3。2、误差：由于代数精度为 3，故 )()(4rfQfI令 25*971!*753162*54)()(44 rxQIxf),()(09.)(1725*971 4)( fffE若用广义 Peano 定理：取： 22)5()(52,)( xxfxR)1,()(157247516271!4)( )52)(!4)( )52()1,52 ,)1( )(1()()(34() 4346)(1 212 fxxf df xx dxf xfx xRRdQIf12、（12
8、 分）解常微分方程初值问题 的算法：0),(yatfy(111 nnnfhy1）确定系数 ，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差；,2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估-修正-校正”公式：；)(83),(),23165(2 41 nnnnnn yhtEfffhy 解：1）数值积分方法： 11 )(,)(1 nn ttn dtyfydtyt 11111111,)(, nnnnnn nnttttftt fftttyf令 ，有：shtn1110 11 582 )(2)()(,1 nnn nntnffhy dsfsfssdtyfyn141041,)(2)(!3)(,1 nt ni tfh
9、dsshf dtttttEn 或 待定系数法： )(!32)(!)(!435)4(321 5)4(21 5)(1 hOyChyChChfBBAAAfyty hOyynnnnn nnnnn nnnnnn 12,8,1312BAA得： 111 58 nnnffhy)(24)()625(!4 5)()4( hOyOE nn2）取 ,31(1 nnnn fffhyp由 及 )83)(4(nty )(241)(1 nyhyt 得 ，因此有)(512)(2410 14(1 nn pyfhfhpy ),(5812)(09365111121 nnnnnnn mtffhyyppmfff13、（12 分）设 ，函
10、数xx0 ,0)()(,)(,)(,)( 20210 xffCfBfAf求区间 上满足以上插值条件的分段三次插值多项式（自然样条）；,2x解：设 令 ，故有,)(1MS 0)()(20xS)(, 22101 xhMxshxs 由此： ，由插值条件：)()()(6)( 1013cxc6)( 21010210 hBcBhcMBxs AA得： )()(6)(6 1230 xxxh同理： ，由插值条件：)() 21222 ccxs616)( 222121 hMBcBhcMBxs CC得： )()()( 2132 xxxh利用 在 处连续：由)(xS1hABhscs 61)()( 21102；hBAMx
11、s312)()(2)( 212122 MCxschs hBCMxs3)(1得： )2(33 CBAhBAM所求三次样条为：； 21213232 101001 )(6(4)()(4)( )xxCBAhxhCxhBAxs x若按公式：nixhxMy hxMyxs iiii iiiiiiii ,21,)()6( )(6()() 112 2331 .,111yiiiii 有： )2(3,2,0200 CBAhxf ,)(6()(6)( 1001301 011 xxMhBxhMAxs ,)(6()(6)( 2121321 1212 xCxhCxhhxs 得： )( 0011 AAx)()( 2212 xhxxhC 1003031 03031 )(465)(42 )()(4)42)( xAxhCBAxhCBA hBxs 212323 123232 )(456)(4 )()4()(4)( xCxhBAxhCBAhxxxhxs
