1、第十三章函数及图象【例题精选】：例 1：（1）正方形的边长是 之间的函数关系如xcmycx， 面 积 与 边 长2何表示。（2）农机厂第一个月产量为 30 台，以后每月递增，第三个月的产量 （台）y与月平均增长率 之间的函数关系如何表示。x解：（1） y20()（2） x31也可以写作 。632小结：这两个函数解析式均为整式，这与一次函数有相同之处，但是 的最x高次项是 2 次，而不是 1。一般地，如果 （ ， 是yaxbc2a0bc、 、常数），那么， 叫做 的二次函数。yx例 2：篱笆墙长 30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积之间的函数关系式，并指出自ymx()()与 长变量的取值范
2、围。分析：这是一个实际问题，先要弄清楚它的意义是什么，可以画图帮助理解。解：设花坛长为 ，xm()则花坛的宽为 302面积 yx152自变量的取值范围为（ ）03和二次函数 （ 0）加以对照，会发现这里的 ，abc2aa12。bc150，例 3：画出函数 的图象。yx2分析：因为不知道二次函数图象的形状，所以仍然要用描点法，点取得越多越精确，在可能条件下，要尽可能地多取几个点。解：列表 x 3 2 1 0 1 2 3 y2 9 4 1 0 1 4 9 描点，连线。小结：由以上三步，我们得到了二次函数 的图象，它的形状如同物yx2体抛射时所经过的路线，我们称它为抛物线。从表中或图象上都可以发现是
3、关于 轴对称（ ， ） 与 （ ， ）yy的点，这条抛物线关于 轴对称， 轴就叫做抛物线 的对称轴，对称轴和x2抛物线的交点是抛物线的顶点，抛线物的顶点是坐标原点。yx2例 4：在同一坐标系内画出函数 的图象。yxyx1222， ，解：列三个表x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y12 8 92 0 2 98 x 2 31 0 11 32 y2 8 92 0 22 98 x 3 2 1 0 1 2 3 y2 9 4 1 0 1 4 9 分析：认真观察在同一坐标系下所画出的三个图象，会发现抛物线 对称轴都是yax2轴，顶点是原点，当 时，抛物线y0的开口向上，当 时，抛物线ax2的开口向下，
4、比较 和yx12会发现 越大，抛物线越靠近 轴，y2 y开口越小，而 越小，开口反而越大。a时抛物线从左右两边向上无限伸展。0时抛物线从左右两边向下无限伸展，因此画抛物线时不要直然而上，要用光滑曲线延伸下去。抛物线 的对称轴是 轴，对称轴方程为 ，顶点是坐标原点，坐yax2yx0标为（0，0），当 时在对称轴的左侧，抛物线的 值随 值的增大而减小，0y2在对称轴右侧， 值随 值的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，也就是当yx时，函数值 最小， ，同样地当 时，在对称轴左侧， 值随x00a0y值的增大而增大，在对称轴右侧， 值随 值的增大而减小，顶点是抛物线的yx最高点，当 时，函数值 最大，
5、。x例 5：在同一坐标系内画出函数 的图象y22， 与解：列表 x 3 2 1 0 1 2 3 y2 11 6 3 2 3 6 11 7 2 1 2 1 2 7 描点，连线分析：观察图象可发现， 与 的图象仍是抛物线。与yx2yx2的抛物线形状相同，只是位置不同，对称轴仍为 轴，而顶点改变了位yx2 y置， 的顶点坐标为（0，2）， 的顶点坐标为（0，2）。例 6：在同一坐标系下画出函数 的图象。yxyx121222()()与解：列表 x 3 2 1 0 1 2 3 y12() 2 0 22 9 92 0 2 描点，连线。分析：中间虚线为 的图象，观yx12察和比较这三条抛物线会发现,抛物线,
6、yx12()与抛物线 的形状相同，只是位置不同，抛物线yx12()yx12的开口向下（由 的正负决定），对称轴是过（ 1，0）点且平a行于 轴的一条直线，它的方程为 ，顶点为（1，0）抛物线 的开口向下，对称轴是直线 ，顶点为（1，0），yx12() x在对称轴左侧，抛物线 与 都是 值随 值的增大而增yx2()y2()yx大，而在对称轴右侧， 值随 值的增大而减小。（1，0）和（1，0）均为两条抛物线的最高点，即函数在此取得最大值。例 7：在同一坐标系内画出一函数的图象。yxyx1212122， ， ()解：列表： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y12 8 92 0 2 98 9
7、3 1 3 9 yx12() 123 1 23 9 72描点，连线分析：观察抛物线 ，yx12， ，它们的形状yx12()相同，只是位置不同，它们的开口都向上，对称轴和顶点如下表所示： 抛物线 对称轴 顶点坐标yx12x0（0，0）（0，1）yx12()x1（1，1）由于抛物线 ， ， 形状相同，位置不同，yx1212yx12()我们也可以认为抛物线 是由 向上移动一个单位再向左()平移一个单位而得到的，或者先向左平移一个单位再向上移动一个单位而得到。一般地，抛物线 形状相同，位置不同，抛物线yaxhkyax()22与有如下特征：yaxhk()2（1） 时，抛物线开口向上； 时，开口向下。00
8、（2）对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ）hk，（3）抛物线 是由抛物线 向右平移 个单位，yaxhk()2yax2h()0再向上平移 个单位而得到。k()（4）当 时，抛物线开口向上，在对称轴左侧 值随 值的增大而减小，0 x在对称轴右侧 值随 值的增大而增大，当 时，情况正好相反。0（5）当 时，顶点（ ）是抛物线的最低点，即当 时函数 有ahk， hy最小值，当 时，函数 则有最大值。y例 8：用配方法把函数 化为 的形式，x1235yaxk()2画出图象，并求出顶点坐标，对称轴。解： yx12356951232()()x 抛物线 的顶点坐标为（3，2），对称轴 ，yx2 x3图象如图所示。
9、列表 x 6 5 4 3 y1235 20 22 将对称轴左侧的点列出, 右侧根据对称性即可以描点。小结：一般地,对于二次函数通过配方，写成yaxbca20（ ）的形式，就可以了解和掌握hk()一般二次函数的特征和性质了。 yaxbcaaxbcabcaxa 222222224二次函数 配方得：ybc0（ ）有如下特征：a2421、当 时抛物线开口向上， 抛物线开口向下。a02、抛物线的对称轴是 的平行于 轴的一条直线，顶点坐标为xb2y。bac42，3、抛物线 由抛物线 向左移动 个单位yaxbac422yax2ba，向上平移 个单位而得到 。ba20240cb4、抛物线 轴的交点坐标为（0，
10、 ），与 轴交点坐标为yaxbcy2与 x二次方程 的两个实数根。25、当 时在对称轴左侧， 值随 值的增大而减小，在对称轴右侧，0x值随 值的增大而增大，当 时，情况正好相反。yx6、 时，当 = 时 有最小值，最小值为 = ，当 时axba2yy42acb0= ， 有最大值，最大值为 = 。xb2y42cba例 9：用两种方法求函数 图象的顶点坐标和对称轴。yx2解：配方法： yx241313()对称轴 ，顶点坐标（1，3）公式法：对称轴 ，xba2顶点坐标 。bac242，yxacbx22241441643， ， ，代 入 公 式 ：对 称 轴 为 ， 顶 点 坐 标 （ ， ）()例
11、10：求二次函数 的最大值或最小值。yx28解： ，抛物线开口向上，a0函数有最小值 x12472()当 时 ， 最 小xy抛物线的顶点在 时是最低点，所以这一点的函数值最小，因此a0也可以用顶点坐标公式去求最值。 xbyac28241846472最 小 ()小结：两种方法均应熟练掌握。例 11：已知函数 为何值时，函数值随自变量的值的yxx123当增大而减小。分析： ，抛物线开口向下，要回答 为何值时，函数值随自变量的a值的增大而减小，只要确定抛物线的对称轴即可。解： yx123691012352x对称轴是直线 x所以当 时， 值随 值的增大而减小。x3yx例 12：已知抛物线 122（1）
12、把它配方成 的形式；yaxhk()（2）写出抛物线的开口方向，顶点 的坐标、对称轴方程；M（3）求出与 轴交点坐标及与 轴的交点 的坐标。AB、（4）作出函数图象。（5）当 取何值时，函数值 y 随 增大而增大， 随 值的增大而减小；xxyx（6）观察图象，当 取何值时， ；x00， ，（7）求 的面积。AMB解：（1） y122124232xx()（2） 抛物线开口向下，顶点 （2，3），对称轴是直a10， M线 。x（3）令 抛物线与 轴交点坐标为（0，1）y， ， y令 ，解 之 得 ： ，抛 物 线 与 轴 的 交 点 坐 标 为 ：， ， ，xAB012626200（4）图象如图所示
13、：列表 x 1 0 1 2 y122 321 53 画抛物线的图象时，关键的点一定要画准确，如顶点，和 轴、 轴的交点，以及与xy它们对称的点等等。（5）当 的增大而增x2时 ， 函 数 值 随大，当 时，函数值 随 值的增大而减x小。（6） ,抛物线开口向下，和 轴有两个交点，a120x时， 。6xy0当 和 时 ，当 或 时 ， （7） SABMMy12626AB3【专项训练】：一、选择题：在下面每题所给出的四个选择中只有一个是正确的。1、函数 的图象经过点（ ）yx231A（1，1） B（1，0）C（ 0，1） D（1，2）2、抛物线 轴的交点坐标是（ ）yxx256与A（1，0）和（6
14、，0 ） B（2，0）和（3，0）C（1，0）和（6，0） D（2，0 ）和（3，0）3、在下列二次函数中，抛物线的开口向下的共有， （ ）yxyx122， yxyx422，A1 B2 C3 D44、函数 的最大值（或最小值）是（ ）yx43()A最大值是3 B最小值是3 C最大值是1D最小值是15、二次函数 图象的顶点坐标是（ ）yx()12A（1，1） B（1，1）C（1，1） D（1，0）6、二次函数 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）yx632A顶点（1，4）对称轴 1B顶点（1，4）对称轴 1xC顶点（1，4）对称轴 4D顶点（1，4）对称轴 47、要从 的图象，则必须把 的图象（yxy
15、x3132 2的 图 象 得 到 ()yx132）A向上平移 4 个单位 B向下平移 4 个单位C向右平移 4 个单位 D向左平移 4 个单位8、抛物线 ，则抛物线的顶点在（yaxbcabc200中 ， ，）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限9、二次函数 的图象不经过第二象限，则 的取值范围是yaxbc2 abc、 、（ ）A B00， ， a00， ，C D， ， ， ，10、抛物线 （ ）的顶点在 轴上方的条件是（ ）yaxbc2 xA Bb240bac240C D二、填空题：1、将抛物线 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，那么所得抛物yx2线是2、抛物线 用配方法
16、化为 的形式是yx12yaxhk()2，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ，当 x时 随 值的增大而增大，当 时， 有最 值，其值xy为 ，抛物线与 轴的交点坐标是 ，抛物线与 轴的交点坐标是x。3、若抛物线 经过原点，则 ，若其顶ym213()()m点在 轴上，则 。4、抛物线 轴的交点坐标为 ，与 轴yxx1242()与 y的交点坐标为 。5、二次函数 最小值是 0，则 =yxmx221() m。6、已知抛物线 经过点（2，0），则抛物线的顶点到原点的距离为a6。7、已知抛物线 的顶点坐标为（2，3），则yxbc2 b， 。c8、若二次函数 的值为 。dxd26的 顶 点 在 轴 上
17、， 则9、已知二次函数 有最小值 0，则 的关系为yxmnmn与。10、抛物线 的顶点是 它的图象不过289象限，此抛物线向右平移 1 个单位，向下平移 2 个单位，得到抛物线的解析式是 。三、解答题：已知抛物线 ，yx1235（1）用配方法化为 ；ahk()2（2）求它的顶点坐标和对称轴方程；（3）画出图象；（4）根据图象指出，当 取何值时， 随 值的增大而减小。xyx（5）当 取何值时， 有最大（小）值，值是多少；xy（6）求抛物线与 轴， 轴的交点坐标；（7）根据图象指出，当 取何值时， ？0【答案】：一、选择题：1、C 2、B 3、B 4、B 5、A6、B 7、C 8、C 9、D 10、A二、填空题：1、 yx2132()2、 x0202, ;(,);； ； ； 向 下 ； 大3、 m1；422075610785941021245、 ， ； ， ； ，、 ；、 、 ， ； 第 一 ， 第 二 象 限 ；bcdmnyx() .三、解答题：（1） yx232()（2）顶点（3，2），对称轴 x3（3）图略（4）当 值的增大而减小。xy时 ， 随（5） 2时 ， 最 大（6）与 轴交点坐标（5，0），（1，0）与 轴交点坐标（0， ）y5（7）当 0xy时 ， .
