1、- 1 -大 连 民 族 学 院随机信号与处理期末论文题目：随机信号及其自相关函数和功率谱密度的 MATLAB 实现专业： 信息与通信工程 班级： 电子 114 班 姓名： 麦米提敏 学号： 2011083213 日期： 2013.9-2013.12 - 2 -目 录一 引言3二 内容及要求 4 三 原理 5 四 方案.7 五 设计思想.11六 设计过程中遇到的麻烦及解决方法 12 七 结论 12 八 心得与建议.12九 老师评语13- 3 -一，引言通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具体
2、出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测,则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机信号。通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随机干扰和随机噪声。尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数）是时间函数，所有实现（样函数）构成的集合称作随机过程的样函数空间（） ，所有样函数及其统计特性即构成了随机
3、过程，我们以大写字母 ，等表示随机过程，以对应的小写字母， 等表示随机过程的实现（样函数） 。现代通信中，跳频扩谱通信或是 ASK 调制中，想传递的信息都是用若干频率的正弦波的有无来代表，发送的序列属于随机序列。在传输的过程中由于受到强烈的加性白噪声干扰- 4 -使原信号被噪声淹没，日常生活中，人们密切相关的手机通讯就是这样一个容易受到环境天气等影响，信道同样也存在这样一些噪声干扰。我们从时域波形已经完全不能区分哪些是信号哪些是噪声了。这个时候一般的幅度检测已经失效了。试想我们是否可以利用相关函数从噪声中提取有用信号呢？针对这样的疑问我们接下来会做一些详细的的分析。学习用 rand 和 ran
4、dn 函数产生白噪声序列；学习用 MATLAB 语言产生随机信号；学习用 MATLAB语言估计随机信号的自相关函数和功率谱密度。利用 xcorr,xcov以及 pwelchMATLAB 函数估计随机信号的自相关函数、自协方差以及功率谱密度。二，内容及要求编制 MATLAB 通用程序，估计一任意指定截止频率的高斯带通白噪声的自相关函数、自协方差函数以及功率谱密度。要求将图形窗口分割成 4 块，分别显示带通白噪声的时域信号以及自相关函数、协方差函数和功率谱密度函数曲线，并将所有图像添加栅格线和标题。任务程序如下：a=randn(2000,1);wc=0.45,0.65;N=79;window=bl
5、ackman(N+1);h=fir1(N,wc,window);x=filter(h,1,a);subplot(2,2,1),plot(x),title(时域信号 ),grid onc,n=xcorr(x,10,coeff);subplot(2,2,2),stem(n,c,filled),title(自相关函数 ),grid onb,m=xcov(x,10,coeff);- 5 -subplot(2,2,3),stem(m,b,filled),title(协方差函数 ),grid onsubplot(2,2,4),pwelch(x,33,32,500),title(概率密度函数),grid o
6、n三，实验原理随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。对功率谱密度的估计又称功率谱估计。 1.线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。包括自相关估计、自协方差法、周期图法。 2.非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率2.随机信号 X(t)是一个随时间变化的随机变量，将 X（t）离散化，即以 Ts 对 X（t）进行等间隔抽样，得到随机序列X(nTs),简化为 X(n)。在实际工作中，对随机信号的描述主要是使用一、二阶的数字特征。如果 X
7、（n）的均值与时间 n 无关，其自相关函数 Rx(n1,n2)与 n1,n2 的选取无关，而是依赖于 n1,n2之差，即：xmnXE1221,R即称 X（n）为宽平稳随机序列。宽平稳随机信号是一类重要的随- 6 -机信号，实际中的大部分随机信号都可以认为是宽平稳的。对一平稳序列 X(n),如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一、二阶特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称 X(n)为各态历经序列。对于各态历经序列，可像确定性的功率信号那样定义一、二数字特征。设 X(n)是各台历经序列 X(n)的一个函数，对 X(n)数字特征可重新定义如下：均值： NnxNx mnXEm)(12li)(
8、自相关函数： Nnxx RxnR )()(12li)()(自协方差函数： 2xxxx mmXnEmC具有各态历经的随机信号，由于能够使用单一的样本函数做时间平均，以求得均值和自相关函数，所以在分析和处理信号时比较方便。在实际工作中，往往先假定信号是平稳的，假定它是各态历经的。在此，我们不加说明地认为所讨论的信号都是平稳的和各态历经的，并将随机序列 X（n）改为 x(n)。随机序列的功率谱密度定义为： mxjwmxx RDTFeRS)(功率谱密度反映了信号的功率随频率的分布，在信号处理中占有重- 7 -要的地位。然而，实际中由该定义式几乎不可能得到信号的真是功率谱密度，因此只能用所得到的有限长数
9、据予以估计。四，方案（1）.周期图法：fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;N=256;%傅里叶变换的采样点数 256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,10*log10(Pxx),%转成 DB 单位xlabel(频率/HZ),ylabel(功率谱/db),title(周期
10、图法);- 8 -波形如图：（2）.相关函数法：subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%绘制离散图，分布点从-100+100set(hndl,Marker,.)set(hndl,MarkerSize,2);ylabel(自相关函数 R(m)%利用间接法计算功率谱k=0:1000;%取 1000 个点w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-j*pi/500).(m*k);%对 R 求傅里叶变换magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX);xlabel(功率谱的改进直接法估计)- 9 -（3）.自协方差法：
11、pmax=max(xpsd);xpsd=xpsd/pmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001);subplot(2,1,2)plot(f,xpsd)title(基于协方差的功率谱估计)ylabel(功率谱估计（ db）)xlabel(频率（ HZ）)grid on;ymin=min(xpsd)-2;ymax=max(xpsd)+2;axis(0 fs/2 ymin ymax)- 10 -（4）.最大熵法fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;sub
12、plot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;%分段长度 256Pxx,f=pmem(xn,14,Nfft,fs);%调用最大熵函数 pmem，滤波器阶数 14subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx),- 11 -title( 最大熵法，滤波器 14),xlabel(频率 HZ),ylabel(功率谱 db);总结上图有如下波形图：- 12 -五.设计思想随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。对功率谱密度的估计又称功率谱估计。平稳随机信号 x(t)的（自）功率谱 Sxx()定义
13、为 (1)式中 rxx()为平稳随机信号的自相关函数。 对于离散情况，功率谱表示为 (2)式中 T 为离散随机信号的抽样间隔时间。 当利用随机信号的 N 个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为 (3)可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。 线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。- 13 -周期图法是为了得到功率谱估值，先取信号序列的离散傅里叶
14、变换，然后取其幅频特性的平方并除以序列长度 N。由于序列 x(n)的离散傅里叶变换 X(k)具有周期性，因而这种功率谱也具有周期性，常称为周期图。周期图是信号功率谱的一个有偏估值；而且，当信号序列的长度增大到无穷时，估值的方差不趋于零。因此，随着所取的信号序列长度的不同，所得到的周期图也不同，这种现象称为随机起伏。由于随机起伏大，使用周期图不能得到比较稳定的估值。自相关函数是描述随机信号 X(t)在任意两个不同时刻 t1，t2 的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，
15、对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。维纳-辛钦定理：随机信号的相关函数与其功率谱是一傅立叶变换对,即相关函数的傅立叶变换为功率谱,而功率谱的逆傅立叶变换为相关函数。最大似然法原理是让信号通过一个滤波器，选择滤波器的参数使所关心的频率的正弦波信号能够不失真地通过，同时，使所有其他频率的正弦波通过这个滤波器后输出的均方值最小。在这个条件下，信号经过这个滤波器后输出的均方值就作为其最大似然法功率谱估值。可以证明,如果信号 x 是由一个确定性信号 S 加上一个高斯白噪声 n 所组成，则上述滤波器的输出是信号 S 的最大似然估值。如果 n 不是高斯噪声，则上述滤波器的输出是信号 S 的最小方差的
16、线性的无偏估值。最大熵法主要思想是，在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。因为在这种情况下，符合已知知识的概率分布可能不止一个。熵定义的实际上是一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，说明随机变量最不确定，也就是随机变量最随机，对其行为做准确预测最困难。从这个意义上讲，最大熵原理的实质就是，在已知部分知识的前提下，关于未知分布最合理的推断就是符合已知知识最不确定或最随机的推断，这是我们可以作出的唯一不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设。 六.设计过程中遇到的问题及解决（1）由于采样间隔 Ts=1/fs 太小，故所产生信号波形难于观
17、察，所以采用fs=1024;%设 采 样 频 率 为 1024。 这 样 产 生 的 波 形 便 易 于 观 察 。（ 2） 首 次 实 验 时 ， 设 置 的 fs 太高，可能由于电脑配置的问题无法运行，降低了频率后，问题得以解决。（3）对于 matlab 中的函数使用不熟练，不了解其中的含义及其功能。起初将floor(x)函数的功能与四舍五入混淆在一起，导致程序无法运行。但经过查阅资料了解到其功能是“ 下取整 ”，或者说“向下舍入”，即取不大于 x 的最大整数。（4）起初不知道调用最大熵函数是 pmem，使得程序无法继续编写，找到函数库后，解决了问题。（5）自相关函数是描述随机信号 X(t
18、)在任意两个不同时刻 t1，t2 的取值之间的相关程度.设原函数是 f(t)，则自相关函数定义为 R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积。自相关函数是信号间隔的函数，间隔有正负间隔，所以 n 个长度的信号，有 2n-1 个自相关函数值，分别描述的是不同信号间隔的相似程度。使用规则：C=XCORR(A,flag) 该函数返回长度为(2N-1)的自相关序列；- 14 -如果“flag”为“none ”时，则计算序列的非归一化行相关；如果“flag”为“biased”时，则计算自相关函数有偏估计；如果“flag”为“unbiased”时，则计算自相关函数无偏估计；如果“flag”为“coef
19、f ”时，则计算序列归一化行处理，使得对零滞后的样本其自相关序列恒为 1。七结论比较：周期图法与序列的频谱有对应的关系，能采用 FFT 算法快速实现。但在直接法功率谱估计中，要对无限长的序列加以矩形窗，这也意味着对自相关函数加窗，因此会产生频谱泄漏，容易使弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成频谱模糊和失真，使周期图功率谱的分辨率较低。而最大熵法最大限度第保留了数据阶段后窗口以外的信息，使估计谱的熵最大。最大似然估计的分辨率相对比较高。自相关法中 X(n)的功率谱估计为 P(k)=R(m)W.(m*K)。当 M 较小时，计算量不算很大。八. 心得与建议心得：随机信号的功率谱密度估计和相关函数这
20、个实验主要是了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。对功率谱密度的估计又称功率谱估计。最初看到随机实验选题的时候，对于实验的目的，实验的步骤在脑中没有概念。对于线性估计法和非线性估计法的差异没有明确的区分。通过查阅书籍，了解了五种估计方法的基本思想。但对于用 matlab 进行仿真估计，也十分不熟悉。于是，我们小组成员找出课本复习了 matlab 中的一些重点。通过我们不屑的努力，不断的修改程序，调试程序，终于得出了正确的仿真图形。通过这次试验，对功率谱
21、密度有了更深刻更全面的认识，并且对 matlab 一些功能的使用也熟悉了许多。实践了理论，对理论有了更具体的认识。但仍看到了一些不足，理论基础不够扎实，对于 matlab 运用不够熟练。并且希望可以更深入的研究如何可以更加精确的描述功率谱密度的方法。建议：通过完成随机信号分析实验这样在时间和内容上都很自由的开放性实验，锻炼了我们自己设计实验，完成实验的动手能力，同样也培养了我们合作的团队精神。但由于形式上的开放，也使我们在实验中遇到了许许多多的困难，起初在面对困难时觉得无从下手，但经过成员的商量，讨论，最终达成共识。当我们克服重重困难之后，发现这样形式的实验，使我们对于理论有了更加深刻的认识，从而能够将理论熟练的运用到实践中去。希望这样的实验能够多方面的开展，以便于我们进一步提高动手能力以及通过实验提高理论联系实际的能力，从而更深刻的了解理论的概念。九，老师评语：
