1、马尔可夫数：A Markov number is an integer x , y or z that fits in the Diophantine equation x2+y2+z2=3xyz and gives a Lagrange number Lx= 94x2 (or y or z as the case may be).The solutions, (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89,
2、 233), etc., can be put in a binary graph tree. Thus arranged, the numbers on 1s branch are Fibonacci numbers with odd index, and the numbers on 2s branch are Pell numbers with odd index.Georg Frobenius proved that, with the exception of the smallest Markov triple, the numbers in a Markov triple are
3、 pairwise coprime. He also proved that an odd Markov number x 1mod4 (or y or z ) and an even Markov number x 2mod8 . Ying Zhang used this to prove that even Markov numbers satisfy the sharper congruence x 2mod32 , which he calls the best possible since the first two even Markov numbers are 2 and 34.
4、上述资料参考网站：http:/planetmath.org/encyclopedia/MarkovNumber.htmlhttp:/en.wikipedia.org/wiki/Markov_number下属资料参考网站：http:/ = (1,1,1)这组解。 方程可视为一个 x3 为未知数的一元二次方程。根据韦达定理，可知(x1,x2,3x1x2 x3) （留意）也是一个解。 这个方程有无限个解。事实上，用这个方法由(1,1,1)开始，可以找出这方程的所有正整数数组解。在此不定方程的解出现的正整数称为马尔可夫数（Markov number），它们由小到大是：1, 2, 5, 13, 29,
5、34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, . （OEIS:A002559） 它们组成的解是：(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) . 马尔可夫方程 - 马尔可夫数的特性马尔可夫方程的解马尔可夫数可以排成一棵二叉树（如图）。【图在末页】在二叉树上，和 1 的范围相邻的数（即 2, 5,
6、 13, 34, 89, .），都是相隔的斐波那契数（斐波那契数的定义为 F0 = 0,F1 = 1,Fn: = Fn 1 + Fn 2，即 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, 89.）。这是说(1,F2n 1,F2n + 1)都是此方程的解。和 2 的范围邻接的数（即 1, 5, 29, 169, .）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数（佩尔数的定义为 P0 = 0,P1 = 1,Pn: = 2Pn 1 + Pn 2，即 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169. ）。马尔可夫方程 - 猜想每个数只在树上出现一次（即没有正整数 z 使得(a,b,z
7、),(c,d,z)都是方程的解，其中 a,b,c,d 是两两相异的正整数，且 a b z,c d z）。马尔可夫方程 - 赫尔维茨方程马尔可夫-赫尔维茨方程（Markoff-Hurwitz equation），是指形式如的不定方程，其中 a,n 是正整数。赫尔维茨证明方程有(0,.,0)之外的解唯若。马尔可夫简介：安 德 烈 马 尔 可 夫 ， 1856 年 6 月 14 日 生 于 梁 赞 ， 1922 年 7 月 20 日 卒 于 圣 彼 得 堡 。 1874 年 入 圣彼 得 堡 大 学 ， 受 P.L.切 比 雪 夫 思 想 影 响 很 深 。 1878 年 毕 业 ， 并 以 用 连
8、 分 数 求 微 分 方 程 的 积 分 一文 获 金 质 奖 章 。 两 年 后 ， 取 得 硕 士 学 位 ， 并 任 圣 彼 得 堡 大 学 副 教 授 。 1884 年 取 得 物 理 -数 学 博 士 学 位 ， 1886 年 任 该 校 教 授 。 1896 年 被 选 为 圣 彼 得 堡 科 学 院 院 士 。 1905 年 被 授予 功 勋 教 授 称 号 。 马 尔 可 夫 是 彼 得 堡 数 学 学 派 的 代 表 人 物 。 以 数 论 和 概 率 论 方 面 的 工 作 著 称 。 他 的 主 要著 作 有 概 率 演 算 等 。 在 数 论 方 面 ， 他 研 究 了
9、 连 分 数 和 二 次 不 定 式 理 论 ， 解 决 了 许 多难 题 。 在 概 率 论 中 ， 他 发 展 了 矩 法 ， 扩 大 了 大 数 律 和 中 心 极 限 定 理 的 应 用 范 围 。 马 尔 可 夫最 重 要 的 工 作 是 在 1906 1912 年 间 ， 提 出 并 研 究 了 一 种 能 用 数 学 分 析 方 法 研 究 自 然 过 程的 一 般 图 式 马 尔 可 夫 链 。 同 时 开 创 了 对 一 种 无 后 效 性 的 随 机 过 程 马 尔 可 夫 过 程的 研 究 。 马 尔 可 夫 经 多 次 观 察 试 验 发 现 ， 一 个 系 统 的 状
10、 态 转 换 过 程 中 第 n 次 转 换 获 得 的状 态 常 决 定 于 前 一 次 （ 第 （ n-1） 次 ） 试 验 的 结 果 。 马 尔 可 夫 进 行 深 入 研 究 后 指 出 ： 对 于一 个 系 统 ， 由 一 个 状 态 转 至 另 一 个 状 态 的 转 换 过 程 中 ， 存 在 着 转 移 概 率 ， 并 且 这 种 转 移 概率 可 以 依 据 其 紧 接 的 前 一 种 状 态 推 算 出 来 ， 与 该 系 统 的 原 始 状 态 和 此 次 转 移 前 的 马 尔 可 夫过 程 无 关 。 目 前 ， 马 尔 可 夫 链 理 论 与 方 法 已 经 被 广 泛 应 用 于 自 然 科 学 、 工 程 技 术 和 公 用 事业 中 。
