1、举例分析数学教学中的逻辑及其关系摘要逻辑学是研究人类思维形式及其规律的科学，在历史发展的进程中，对各门其他具体科学的创立与发展都起了不可忽视的重要作用。在教育学的发展中也体现出了逻辑学的工具性和基础性，尤其是在和其同属于形式上高度抽象的科学的数学的教学中，以高中数学立体几何的教学过程为例，数学教师逻辑思维的清晰与否深刻影响着学生对数学知识的接受程度。数学教学活动之所以贯穿逻辑，更加根本的是离不开数学和逻辑二者之间密切关系。关键词数学教学 逻辑性 关系一、数学教学和逻辑 教育的现代化离不开逻辑，这是一个无可厚非的事实。逻辑以其强大的基础性和工具性溶入到各个学科，在教育和逻辑结合的现代，又有哪一个
2、学科能比数学与逻辑的结合更加紧密而完美呢？数学教育的很多方面都与逻辑密切相关，像教学目的、课程教材、教学方法、学生的思维发展与学习方法等等。在数学教学目的中，总是有意无意的包含着发展学生的逻辑思维，这是其他学科无可比拟的，尤其在中学的基础学科的教育中，没有哪一个学科能够象数学一样能够配养学生较强的用逻辑思维分析问题的能力，这同样要借鉴与数学和逻辑的共同之处，那就是严密性。而且从逻辑角度，对数学教学的概念、定理、公式进行系统化，更容易被学生掌握，这也是把逻辑溶入数学教学的一个很重要的现实意义。二、数学教学过程中的逻辑分析下面我们来举一个具体的例子，系统分析一下数学教学活动的各个环节所涉及的逻辑分
3、析能力。例题： 如图，四棱锥 中，底面 为矩形，SABCDAB底面 ， ， ，点 在SD22SM侧棱 上， 。 SC ABM=60（I）证明： 是侧棱 的中点；S求二面角 的大小。这是一道高中立体几何证明题，在这个数学教学活动中，具体的教学目的就是教会学生最终能够独立证明出题目要求的结论，并掌握其中所涉及的知识点，以便在求解相关的习题时，能够独立自主的完成题目，是“教学”活动最终达到“教”和“学”的目的。数学老师在备课时，首先要明确学生具备基本的立体几何的知识，比如：三维立体空间的概念、维平面的概念、点的概念、四棱锥的立体图形、四棱锥的组成，以及四棱锥所具有的性质，构成四棱锥的每一个平面三角形
4、所具有的性质。然后寻找帮助学生分析题目的入手点，从一个点带出的知识系统必须是环环紧扣的已知的知识点，并且确保知识点之间没有冲突和矛盾，在保证逻辑分析的同时，还要主要学生的回应，没讲授到一个环节要观察学生的表情，是否吸收了老师所传授的知识，逐步分析并最终得出答案。这里需要指出的是，这是一道高中立体几何题目，对于高中的学生有一定的数学知识功底，在解题之初，不易急于带了那个学生寻找切题点，应先给学生一定的独立分析时间，让学生根据自己已有的知识在脑海中对题目形成一个自己的解题思路，这样有助于培养学生的逻辑思维能力，形成良好的独立思考的习惯。接下来老师就可以带领学生解析题目，首先要明确找到考点，因为考点
5、就是解题过程中所要用到的主要知识点，如果找错了，很可能影响解题时间或者解错题。因此一定要慎重，而且对考点的表述要简单明了，这里就涉及到数学老师在教学过程中独特的教学语言，即数学老师的教学语言的逻辑性要求更强，数学解题过程本身就是一个逻辑思维连贯性要求较强和完全严密性的过程。【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。（I）作 交 于 N，作 交 于 E，MSDCEAB连 ME、NB，则 面 ， ,M2NEA设 ，则 ,xx在 中， 。RTB60E3x在 中由MN22MN2解得 ，从而 M 为侧棱 的中点 M. 1x1SDSC至此此题的（I）得到解答，老师可以给学生一段简单整理解题的过程
6、，此过程可以根据班上学生的梯度适当延长或者缩短时间。再完成一种方法的解题后，高中生由于其掌握的数学知识的深度已经有很多时候会产生自己的想法，这时候，老师就可以给学生自由发言的时间，就单个学生的想法，分析并指出正误，有助于纠正学生思维的正确性。并给出第二种解法（至少一种，视题目而定）解法二：过 作 的平行线。这里也需要说明的是，MCD老师要先统领分析，给出一种正确的简便的解题思路，因为我们知道每个人的头脑中都有一个先入为主的概念，这个时候不易让学生先讲解个人思路，因为有一些错误的解题思路很可能会影响全班学生的逻辑思维能力。接下来我们对（II）进行提纲挈领的分析和解答。分析一:利用三垂线定理求解。
7、过 作 交 于 ，作 交 于MJCDSJHAJ，作 交 于 ，则 ， 面HKAKMCD，面 面 ， 面 即为SBBSK所求二面角的补角。此时老师还需要注意，此方法虽然简便易行，但是在教材中三垂线定理弱化的趋势。因此还要给出利用二面角的定义。在等边三角形 中过点 作 交 于点 ，则点 为 AM 的中点，ABMFAMF取 SA 的中点 G，连 GF，易证 ，则 即为所求二面角。这样做事为了将GB教材中的每一个知识点都涉及到，做到“弱化不丢，防备袭考”的原则。除此之外老师还必须引入下面新的解题思路，并且是趋向于考点和考试方向的解题思路。即解法二、分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空
8、间直角坐标系 Dxyz，则。)2,0(),(),02(),02( SCBA（）设 ，则baM)2,(),(),( baM，由题得)2,0(SC，即MBA/1,cos SA B CD Mzx y解之个方程组得 即)2(1ba 1,ba),0(M所以 是侧棱 的中点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m MSC法 2：设 ，则 )12,(),12,0( B又 oABAB6,),0(故 ，即0cs|，解得 ，22)1()(141所以 是侧棱 的中点。MSC（）由（）得 ，又 ，),2(),0(A)2,0(AS，)0,2(AB设 分别是平面 、 的法向量，则),(),2211 zyxnzyxn MB
9、且 ，即 且01SM01AB011zxy022yzx分别令 得 ，即2x,21yz，)(),(1n 3620,cos1二面角 的大小 。SAMBarcos向量的解题方法使得几何题目划归为代数题目，降低了题目难度，同时也是近些年高考数学的热点。以上就是数学老师在讲解高中立体几何时所应该涉及到的各个环节的逻辑严密性，同时还要主要对学生发散思维的培养，这也是数学教学活动所要达到的教学目的。三、我们讲逻辑可以运用在数学教学中，是基于数学和逻辑本身的关系：我们首先要看到的是数学和逻辑的同一性。数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学史研究疏朗的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是
10、抽象结构；而且数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才称其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；同时二者都具有广泛的应用性。而且二者在作为两个并列学科的同时相互补充发展，体现在一下两个方面：1、数学对逻辑发展的补充，事实上，从逻辑和数学发展历史的角度看，数学在逻辑发展中的作用是具体而十分有效的，没有数学的支持，也就没有逻辑现在的发展。不管是从古典形式逻辑还是到现代数理逻辑，都得到了数学深入研究与发展的推动和支持。2、逻辑对数学的发展也有相当大的推动作用：逻辑是数学演绎证明与回顾性总结的主要工具；是统一数学客观性和主观性的主要方法；是探索
11、和发现书写新问题、新方法的手段之一，比如：模拟推理、归纳推理、假设演绎推理、以及数理逻辑的“四论”都在数学发展中具有重要作用。数学教育之所以能和逻辑结合的如此紧密，离不开数学和逻辑本身辩证发展的关系，从历史上二者就想不补充发展至今。我们今天的数学教学本身也就是一个无法与逻辑分割的教学活动，讲逻辑不仅仅是数学教学活动应该遵循的原则，也是在数学教学活动中所要达到的教学目的之一，即培养学生逻辑思维的能力，提高学生思维过程的严密性，使逻辑更好的发挥它的基础性和工具性，我想这也是逻辑之所以溶入于数学教学的重要性之一吧。参考文献1、何向东、刘邦凡，教育逻辑学引论M.成都：四川人民出版社， 2002 年版2、阎亚军，教师教学行为方式变革的实践逻辑J.教育学术月刊 2009.11，P3-P53、张存建，教育逻辑学研究对象的选择J.重庆工学院学报（社会科学）第 22 卷 2 期，P37-P394、何向东、刘邦凡，论教育逻辑学的性质、对象与研究方法J.西南师范大学学报，第 27 卷 6 期，P34-P39
