1、知识点五：函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件 f(g(x)F (x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式(如例(1)；(2)待定系数法：若已知函数的类型( 如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3)；(3)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2)；(4)方程思想：已知关于 f(x)与 f 或 f(x) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一(1x)个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)(如 A 级 T6)例 6 （1）已知 f x 2 ，求 f(x)的解析式；(x
2、 1x) 1x2(2)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，求 f(x)变式(1)已知 f( 1)x2 ，求 f(x)的解析式；x x(2)设 yf(x) 是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等实根，且 f(x )2x2，求 f(x)的解析式例 7 已知 2f（ 1/x） +f（ x） =x(x 0) 。 求 f（ x）变式 已知 f（ 1/x） +af（ x） =ax(x 0， a 1) 。 求 f（ x）1.3.1 函数单调性与最大（小）值知识点一 增函数、减函数、单调性、单调区间的概念：一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间如果对于 内的任意两个自变量
3、的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间 上是减函数.如果函数 f(x)在区间 D 上是增函数或者减函数，那么函数 f(x)在这一区间上具有严格的单调性，区间 D 叫做函数的单调区间。知识点二：常见函数的单调性（1）一次函数的单调性：对函数 yaxb(0)当 时，函数 单调增加；0a)(xf当 时，函数 单调减小.（2）反比例函数单调性：对函数 (k0)yx函数的性质 定义 图像 描述当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D 上是减函数自左向右看图象是下降的当 时，函数 单调减小；0k)(xf当 时，函数 单调增加 .（3 ）二次函数的单调性：对函数 ，cbxa
4、xf2)()0(a当 时函数 在对称轴 的左侧单调减小，右侧单调增加；0a)(xf当 时函数 在对称轴 的左侧单调增加，右侧单调减小a2知识点三：单调性的证明1）定义法(1)取值.设 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；(2) 变形. 作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3) 定号. 判断差的正负或商与 1 的大小关系；(4) 得出结论 .2）.图象法：借助图象直观判断3）.复合函数单调性判断方法：设 ,yfugxabumn若内外两函数的单调性相同，则 在 x 的区间 D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则 yf在 x 的区间 D 内单调递减（同增异减）知
5、识点四：最大（小）值前提设函数 yf(x) 的定义域为I，如果存在实数 M 满足：设函数 yf(x) 的定义域为I，如果存在实数 m 满足：条件(1)对于任意的的 xI，都有f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M.(1)对于任意的 xI，都有f(x)m；(2)存在 x0I，使得 f(x0)m.结论 M 为最大值 m 为最小值.【典型例题】考点 1.根据图像判定函数单调性【例 1】右图是定义在闭区间5, 5上的函数 yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， yf(x)是增函数还是减函数【变式 1】如图是定义在闭区间 -5，6上的函数 yf(x)的图象
6、，根据图象说出函数 yf(x) 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数 yf(x)是增函数还是减函数. 考点二.判断函数的单调性【例 2】写出下列函数的单调区间（1） ,bkxy （2） ； （3） ； （4） 42xy |2)(xxf|)(2f【例 3】下列函数中，在区间 上递增的是（ ）)2,0(A B C Dxy1xy1xy 12xy【变式 1】 函数 yx 26x 10 在区间(2,4) 上是 （ ）A递减函数 B递增函数 C先递减再递增 D先递增再递减【变式 2】讨论函数 与 f(x)x (a0)的单调性2()1fxax考点 3 用定义法证明函数的单调性【例 4】 （1）证明函数 在
7、 上是减函数；2()+1fx-（ ， 0）（2）求证：函数 在区间 上是单调增函数。1)(xf )0,(【变式 1】证明函数 y=2x+5 的单调性【变式 2】判断函数 f（x ） x1在（1,2）上的增减情况考点四 利用单调性求最值【例 5】已知函数 （ ） ，求函数的最大值和最小值 .2()fx,6x【变式 1】求函数 f(x) 在区间1,2内的最大值和最小值.2xx 1考点四 单调性的运用【例 6】函数 2()(1)fxmx在 (,4上是减函数,则求 m 的取值范围 【例 7】函数 f（x ）是 R 上的减函数,求 f（a 2a1）与 f（ ）的大小关系 34【变式 1】已知函数 2()
8、,5,fxax上是单调函数， a的取值范围是 【变式 2】已知 y=f(x)是定义在（ -2，2）上的增函数，若 f(m-1)f(1-2m)，则 m 的取值范围是 1已知映射 f:AB，在 f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A A 中每个元素必有象，但 B 中元素不一定有原象 B B 中元素可以有两个原象C A 中的任何元素有且只能有唯一的象 D A 与 B 必须是非空的数集4函数 的图象与直线 的公共点数目是( )A B C 或 D 或5已知集合 ，且 ，使 中元素和 中的元素 对应，则 的值分别为( )A B C D 6已知 ，若 ，则 的值是( )A B 或 C ， 或 D7为了
9、得到函数 的图象，可以把函数 的图象适当平移，这个平移是( )A沿 轴向右平移 个单位 B沿 轴向右平移 个单位C 沿 轴向左平移 个单位 D沿 轴向左平移 个单位8. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ).）（ 2,0A B C D 9函数 的增区间是（ ）A B C D 10 在 上是减函数，则 a 的取值范围是（ ）A B C D 12当 时，函数 的值有正也有负，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D 12.若函数 )(xf在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数 )(xf 在区间（a，c）上（ ）A. 必是增函数 B. 必是减函数 C. 是增函数或是
10、减函数 D. 无法确定增减性13.函数 ()fx在区间 0,)单调递增、在区间 上单调递减，则满足 (21)fx0,13的 x 取值范围是（ ）A （ ， 2） B （ ， 23） C （ 1， 23） D ,314已知 ，则 的解析式为( )A B C D1函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,2x则 f(1)=_2.函数 f(x) = x24(a1)x 3 在2，上递减，则 a 的取值范围是_ 3 设函数 则实数 的取值范围是_ 4若二次函数 的图象与 x 轴交于 ，且函数的最大值为 ，则这个二次函数的表达式是_1根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)=4x-1，求 f(x)；(2)已知 f(x)是二次函数，且 f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3 ，求 f(x)；(3)已知 f(x-3)=x2+2x+1，求 f(x+3)；(4)已知 ；(5)已知 f(x)的定义域为 R，且 2f(x)+f(-x)=3x+1，求 f(x).
