1、放缩法知识点拨数的估算时常用方法（1）放缩法：为求出某数的整数部分， 设法放大或缩小使 结 果介于某两个接近数之间，从而估算结果（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式数的估算(放缩法)【例 1】 求数 的整数部分10a102 10【考点】数的估算 【难度】2 星 【题型】填空这道题显然不宜对分母中的 11 个分数进行通分求和要求 a 的整数部分，只要知道 a 在哪两个连续整数之间因为 a 中的 11 个分数都不大于 ，不小于 ，1010所以 11 11102 即 1.1由此可知 a 的整数部分是 1【答案】1【 已知 ，则 A 的整数部分是_1245678A【考点】数的估算 【难
2、度】2 星 【题型】填空【关键词】2009 年，希望杯，第七届，五年级，一 试；1111422345678488所以 的整141()23255A A数部分是 2。【答案】 2【例 2】 求数 的整数部分是几？1029【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】第三届，华杯赛，复赛11100290 ，即 1原式1.9，所以原式的整数部分是 1.11.9100299 【答案】【 求数 的整数部分12342【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空，11.2110 又 ，1105234213677 所以 ，1.70即 ，所以其整数部分是 11.21.3142【答案】1【 已知：S ,
3、则 S 的整数部分是 . 1.1980198206【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2006 年，清华附中，入学测试如果全是 ，那么 结果是 ，如果全是 ，那么结果是 ，所以 S ，不198072068742138742能确定 S 的整数部分.我们不妨采用分段估值，有： 1110.269898则 107 7.98011206102大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！下面先让我们来看看两个例子：1119809823984239821011980
4、498498那么也就有： 15234982（2）119809809811332982那么也就有： 111()24980982398聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！27 7.1931061则 ，由此可以确定整数部分是 739801732.98982 【答案】 73【 已知 ，则与 最接近的整数是_1956208A A【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】仁华学校由于 ，11956208所以 ，41144956208208所以 ，14A即 ，7142.513.54那么与 最接近的整数是 143小结：由于只需要求与 最接近的整数，而不是求
5、 的整数部分，所以进行上述放缩已经足够但AA是如果要求 的整数部分，又 该如何进行呢？将分母中的 14 个分数两两分为一组： ， ， (分组的标准195208196207120在于每组中两个分数的分母之和相等，此处有偶数项，恰好可以两两分组；如果有奇数项，则将中间的一项单独分为一组)，根据“两数之和一定，差越小积越大”，可知 ，1952081962071所以 ，02可得 ，所以195208196271，14702020所以 ，即 ，所以 的整数部分为 142431A.543A【答案】142【 的整数部分是_301249【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空由于 ，所以 ，80 1134
6、983940，即 ，7973041394 所以 ，1110242所以 ，11230249又 ，所以 ，03113230249所以 的整数部分是 1130249【答案】 1【 的整数部分是 1120762054203【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空对分母进行放缩令 ，17652043s则 ，112032033s又 ，根据两个数和一定则差越小积越大，764所以 ，052则 ，可得11，所以 ，120732064205120541s即 ，所以 的整数部分为 400415ss【答案】400【例 3】 已知 ，求 的整数部分111192409Nk N【考点】数的估算 【难度】4 星 【题型
7、】填空题中已经指明，式子中每一 项的分母都可以表示成 ，对于 不好直接进行处k1k理，很容易联想到 及 ，所以可以进行放缩k1k由于 ，所以 ，那么1k11k，11234510234020N ，即1 19 9 ，那么 的整数部分 为 1小结：从式子中也可以直接看出 ，所以 对于这一点也可以不 进行放缩N【答案】1【例 4】 A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A 的整数部分是_.【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】第六届，小数报，决赛方法一：A 8.8 5 44 ，A 9 5 45 ，所以 A 的整数部分是 44 .方法二：将原式变形后再估算A
8、8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998(9 0.2 (9 0.02) (9 0.002) (9 0.0002) (9 0.00002) 45 0.22222所以 A 的整数部分是 44 .【答案】44【 =10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998， 的整数部分是 。a a【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222所以 的整数部分是 54。【答案】54【 已知 x 0.9 0.99 0.999 0.9999999999求 x 的整数部
9、分【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空方法一：要求 x 的整数部分，必须找到 x 介于哪两个 连续整数之间即 a x a 1，x 的整数部分和n 相等可以先将原算式放大，把每个加数都看成 1 这样结果是 1 10 10；然后将原算式缩小，把每个加数都看成 0.9，结果是 0.9 10 9可见原算式的结果介于 10 和 9 之间即 9 x 10，所以 x 的整数部分是 9方法二：将原式变型后再估算x 0.9 0.99 0.999 0.9999999999(1 0.1) (1 0.01) (1 0.001) (1 0.0000000001) 10 (0.1 001 0.001 0.000
10、0000001) 10 0.1111111111 所以 x 的整数部分是 9【答案】9【例 5】 计算 8.01 1.24 8.02 1.23 8.03 1.22 整数部分.【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】第五届，华杯赛 方法一：在 8.01 1.24 8.02 1.23 8.03 1.22 中，各式的两个因数之和都相等.根据两个数和一定时，这两个数越接近 则乘积越大，所以 8.01 1.24 8.02 1.23 8.03 1.22；则有 1.22 8.00 3 1.22 8.03 3 原式 1.24 8.01 3 1.25 8.00 3 ，即 29.28 原式 30
11、，所以原式的整数部分是 29 .方法二：为了使计算简便，可以把 8.01、8.02、8.03 分成整数和小数两部分计算，小数部分可以进行估算8 1.24 8 1.23 8 1.22 8 (1.24 1.23 1.22) 8 3.66 29.280.01 1.24 0.02 1.23 0.03 1.220.01 1 0.02 1 0.03 1 0.06因为 0.06 不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是 29【答案】29【例 6】 老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位） 小明计算出的答数是 14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了 ”那么，正确的得
12、数应是_ _.【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空法 1：因为 14.7 这三个数字正确， 14.77102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，等，当和为 103 时，平均数 为 103714.71，当和为 104 时，平均数为10471486，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是 103，平均是 14.71法 2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70平均数14.79，所以这 7 个数的和介于 102.90 和 103.53之间，又由于 7 个自然数的和必然是整数，所以是 103。则正确的平均数是 103714.71 .【答案】14.71【 有 13 个自然数，
13、它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是 26.9那么，精确到小数点后两位数是多少？【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空利用放缩法，13 个自然数之和必然是整数，又有 26.85 平均数 26.95，则这 13 个自然数的和介于 13 26.85 和 13 26.95 之间即在 349.05 和 350.35 之间 ，所以只能是 350所以350 13 26.923，则精确到小数点后两位数是 26.92 .【答案】26.92【例 7】 已知除法算式：12345678910111213 31211101987654321它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是 .【考点】数的估算
14、【难度】3 星 【题型】填空各取被除数、除数前两位，有：原式 12 32 0.375，原式 13 31 0.4194 ；在 0.3750.4194 之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大 .再各取被除数、除数前三位，有：原式 123 313 0.3930，原式 124 312 0.3974，仍无法确定 ；又各取被除数、除数前四位，有：原式 1234 3122 0.3953，原式 1235 3121 0.3957.说明原式的结果在 0.39530.3957 之间，因此，小数点后前三位数分别是 3，9，5.【答案】3，9，5.【例 8】 求 的整数部分是多少?145167819【考点
15、】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空分段放缩. 原式 ，即 1 原式 ，所以原式整数部分 为 194623【答案】1【 A=1 的整数部分是多少 ? 123415781【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大 为 ，则 A8 ；全部缩小为 ，则 A1 ，这样212656无法确定 A 的整数是多少，于是我 们来用一种分段放大和 缩小的办法1 234 （ ）（ ）（ ），通过计算得1241818866个1 3，1 1 （ + ）+（ 362342314148 + ）+ ，即 A3 ，因为 3A3 ，所以 A 的整数部分是 3818888【答案】3【例
16、 9】 的整数部分是 。111024680968 【考点】数的估算 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】2007 年，第五届，走美杯，初赛，六年 级原式必然小于 ，大于 ，容易 计算出原式的值在11026811024686.08 至 7.08 之间，故其整数部分为 7.【答案】7【例 10】 有一列数，第一个数是 133，第二个数是 57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第 16 个数的整数部分是_ 【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空由已知：第三个数(13357)2 95， 第四个数(5795)2 75，第五个数(7695)2 85.5第六个数(85.576
17、)2 80.75，第七个数(80.7585.5)283.125，第八个数(83.12580.75)281.9375，第九个数(81.937583.125)282.53125第十个数(81.937582.53125)282.234375，从第十一个数开始，以后任何一个数都 82.53125 与 82.234375 之间，所以，这些数的整数部分都是 82，那么第 16 个数的整数部分也 82【答案】82【例 11】 试求 误差小于 的近似值2221100 0.6【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空222 11111230 0300，.1.9又 222111090290 91，.0.1.由
18、于 ，(0.)25所以 (误差小于 )2 210. (0.1.9)20.6【答案】 .5【例 12】 在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立： 189_20【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2007 年，希望杯，第五届，六年级，一 试一共有 10 项，这个 值大于 10= ，小于 ，所以 应该分别填入 9 和 10.1091092【答案】 ；910【例 13】 记 A ，那么比 A 小的最大自然数是 。371502324864【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2008 年，第十三届，华杯赛，决赛9【答案】【例 14】 六个分数 ， ， ， ，
19、， 的和在哪两个连续自然数之间？1235713【考点】数的估算 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】2009 年，第 14 届，华杯赛，决赛在 1 和 2 之间。112357357。154263因为 2，14616又因为 1，15426353所以六个分数 ， ， ， ， ， 的和在 1 和 2 之间。17【答案】1 和 2【例 15】 已知： ，那么 1980870921A A【考点】数的估算 【难度】5 星 【题型】填空2198890 11982 6214178012198890 9 所以119382632 ，即 ，3A67A6【答案】 96【例 16】 计算： ；（四舍五入保留至小数点后第三位，注：91025823973）104【考点】数的估算 【难度】5 星 【题型】填空设 ，则910258263973A 102582693973910 89117A 6237121611 73361.504A【答案】 1.750
