1、知识梳理5.1 一元一次方程概念：方程的两边都是整式（分母中不含未知数） ，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式： 0(xa,a0).axbb 其 中 是 未 知 数 ， 是 已 知 数 ， 并 且归纳等式的两个性质等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，所得结果仍是等式，即如果 .cb等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式，即如果 a,ac.a,0.bbbcc那 么 如 果 那 么等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的
2、解解方程：求方程解的过程叫做解方程。二、规律方法总结1、方程思想：（1）方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。（2）求未知数的值（例如在填空题和简单应用类题目中） ，一般都通过构建方程来求解。2、数形结合思想：数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结合起来，分析问题的思想方法。本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问题。5.2 一元一次方程解法移项的法则：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。（移项的根据是等式的基本
3、性质 1）注意移项必须改变符号后从等式的一边移到另一边。解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 根 据 注 意 事 项去分母 在方程的两边同乘个分母 的最小公倍数 等式基本性质 2 不漏乘不含分母的项；注意给分子添括号。去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律、去括号 法则不漏乘括号里的项；括号前是“”号，要变号。移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程的另一边移项法则（等式的基本性质 1） 移项要变号合并同类项把方程化为axb(0)的 形 式合并同类项法则 系数相加，不漏项系数化为 1 两边同除以未知数的系数 等式基本性质 2 乘以系数的倒数a,得到方程的解 xb
4、aaxb方 程 的 形 式 的 解 的 讨 论 拓 展 点00ba0b 当 时 ， 方 程 有 唯 一 解 ， 当 ， 时 ， 方 程 有 无 数 个 解 ， 当 ， 时 方 程 无 解 。5. 3 一元一次方程与应用问题及实际问题一、本章几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题基本量及关系：路程=速度时间 时间= 时 间路 程速 度 速 度路 程典型问题相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离追及问题中的相等关系：追及者的行程被追者的行程=相距的路程航程问题 顺速=V 静 风（水）速 逆速=V 静 风（水）速2、销售问题基 本 量：成本（进价） 、售价（实售价） 、利
5、润（亏损额） 、利润率（亏损率）基本关系：利润=售价成本、亏损额=成本售价、利润=成本利润率 亏损额=成本亏损率3工程问题 基本量及关系:工作总量=工作效率工作时间常见相等关系：（1）各阶段工作量之和=工作总量（2）各参与者工作 量之和=工作总量4、分配型问题：此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等 关系。5、调配型问题：通常画框图帮助分析（包括数字问题）相等关系：通常是调动后存在的数量关系6、方案选择型问题解决的关键：求出相等的时刻；再在大于和小于的值中各选择一个特值计算比较，也可结合实际进行判断7、其他类型：如图表信息题，配套问题，等积变化问题，球赛积分问题等等，结合
6、实际具体分析，或者画图分析。总之，找相等关系是关键。二、列方程解应用题的一般步骤（1）审：弄清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，找到一个包含题目全部数量关系的相等关系。（2）设：设未知数（可设直接和间接未知数）（3）列：列方程（使用题中原始数据或已经计算出的数据）（4）解：解方程（5）验：检验是否原方程的解，检验是否符合题意；（6）答：回答全面，注意单位。工 作 时 间工 作 总 量工 作 效 率 工 作 效 率工 作 总 量工 作 时 间 成 本利 润利 润 率 成 本亏 损 额亏 损 率说明：（1）书写出来的是：设、列、解、答（2） “审”是关键， “验”是保证。思路启迪：1、时针与分针
7、的速度可用（数字，格子，度数， ）3 钟方法表示，因此钟表上的“追及”问题可用 3 种方法求解数字（1）时针时针 1 小时走 1 个数字（2）分针分针 1 小时走 12 个数字 格子（1）时针 1 小时走 5 小格(2)分针 1 小时走 60 小格度数：（1）时针时针 1 小时走 03(2) 分针 1 小时走 360方程的解的应用例 1 关于 x 的方程 2x43m 和 x2m 有相同的解，则 m 的值是( )A10 B8 C10 D8解析：解方程 2x4=3m ，得 x= 解方程 x 2m ，得 xm2由两方程解4相同，得 m2，解得 m83答案：B例 2 已知 y3 是 6 (my)2y
8、的解，那么关于 x 的方程 2m(x1) (m1)14(3x 4)的解是多少?分析：把 y3 代入第一个方程，使这个方程转化为关于 m 的方程，解出 m 的值，再代入第二个方程，求出 x 的值解：y3 代入方程 6 (my )2y ，得 6 (m3) 6解得 m31414将 m3 代入 2m(x1)(m1)(3 x4) ，得23(x 1)(31)(3x4)解得 x .53方法先利用第一个方程求出字母 m 的值，再把 m 值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力应用题汇编 例题一 通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60 千米，就早到 12 分钟；若每小时走 5
9、0 千米，则要迟到 7 分钟，求路程分析：如果设规定时间为 x 小时，当每小时走 60 千米时，则路程为 60 千米；1260x当每小时走 50 千米时，则路程为 50 千米这时可用路程相等列出方程760x解：设规定时间为 x 小时，根据题意，得 60 =50 12x760x解得 所以路程为 6 =60 95 千米1076x12076答：路程为 95 千米例二 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠” 乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠” ，若全票价为 240 元，(1)设学生数为 x，甲旅行社收费为 y 甲
10、，乙旅行社收费为 y 乙 ，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?分析：(1)问分别用含 x 的式子表示 y 甲 、y 乙 . (2)问是当 y 甲 =y 乙 时求 x.解：(1)因为全票价为 240 元，所以半票价为 120 元，这样甲旅行社收费为 y 甲 120x240又因为全票价为 240 元，所以全票价的 60为 240 =144(元) ，601这样乙旅行社收费为 y 乙 144x144(2)因为甲旅行社收费为 y 甲 ，乙旅行社收费为 y 乙 ，所以当两家旅行社收费一样时，即有方程 120x240144x144解这个方程，得 x4答：当
11、学生数为 4 时，两家旅行社收费一样巩固 某商场将彩电先按原价提高 40，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠” ，结果 每台彩电比原价多赚了 270 元，那么每台彩电原价是多少元?分析：假 设 每 台 彩 电 原 价 是 x 元 ， 则 提 高 40 后 为 (1 40 ) x 元 ， 八 折 为 (1 40 ) x80 元 ， 也就是现售价为(1 40) x80元解：设每台彩电原价是 x 元，根据售价与原价之差等于 270，列方程得x (140)80x 270，解得 x2 250答：每台彩电原价是 2 250 元提高 某中学租用两辆汽车(设速度相同) 同时送 1 名带队老师及 7 名九年级的
12、学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐 4 人(不包括司机) 其中一辆小汽车在距离考场 15 千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有 42 分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是 60 千米时，人步行的速度是 5 千米时( 上、下车时间忽略不计)(1)若小汽车送 4 人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论解：(1) 3= (时)=45
13、(分)156034因为 4542，所以不能在限定时间内到达考场 (2)方案：先将 4 人用车送到考场，另外 4 人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外 4 人的相遇处再载他们到考场 先将 4 人用车送到考场所需时间为 (时)15(分)1560时另外 4 人步行了 125 千米，1此时他们与考场的距离为 151251375(千米)设汽车返回 t(时)后与步行的 4 人相遇，则有 5t60t=1375，解得 t= 2.7513汽车由相遇点再去考场所需时间也是 小时2.73所以用这一方案送这 8 人到考场共需 152 60404( 分)42(分) .1所以这 8 个人能在截止进考场的时间前赶到
14、图表类应用题例 1 (1)七年级(1) 班 43 人参加运土劳动，共有 30 根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有 人挑土，填写下表：x挑土 抬土人数人扁担根即可知两个等量关系：挑土人数抬土人数43 人，挑土用扁担数抬土用扁担数30 根根据等量关系，列方程 ，解得 x ，因此挑土人数为 ，抬土人数为 你能用其他方法计算这道题吗?(2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为 20 根可以吗 ?为什么?分析：有 x 人挑土，则用扁担 x 根，剩余的(43x)人抬土，需用扁担数为 (43x)根，12可列方程为 x (43x) 30，解得 x17，即有挑土人数为 17，抬
15、土人数为124317=26还可以利用“挑土人数抬土人数43 人”列方程解：(1)列表如下：挑土 抬土人数人 x 43x扁担根 x (43x )12x (43x)=30；17；17；2612能设挑土用 x 根扁担，则抬土用(30x)根扁担，挑土用 x 人，抬土用 2(30 x)人根据题意，得 x 2(30 x)43解得 x =17因此，挑土人数为 17，抬土人数为 2(3017) 26(2)不可以，因为若 20 根扁担用于挑土，则需 20 人43 人；若 20 根扁担用于抬土，则需 40 人43 人，因此，人员有剩余所以参加劳动的人数不变，扁担数为 20 根不可以点拨此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程由生活常识可知，挑土 1 人用 l 根扁担，抬土 2 人用 l 根扁担巩固 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请 你求出这台电脑的进价甲商场商品进货单供货单位 乙单位品名 P4200商品代码 DN63DT电脑商品所属 电脑专柜标价 5 850 元折扣 八折利润 210 元分析：本题应先读懂图表所提供的信息，明确题目的条件和所求，此题等量关系为：售价进价=利润解：设这台电脑的进价为 x 元根据题意，得 5 85008x210解得 x4 470答：这台电脑的进价为 4 470 元注意商品打八折后的售价等于标价08
