1、 e 弹 性 应 变 ep 虎 克 定 律 求 解 p 塑 性 应 变 塑 性 理 论 求 解 流 动 法 则 破坏 准 则 和 屈 服 准 则 硬 化 规 律 建 立 塑 性 变 形 关 系 的 条 件 e p 同济大学 李镜培 1/22 1.破坏准则 1.1 一般破坏准则 *( ) ij fk f () ij f fk () ij f fk () ij f f k 不 可 能 超 过 试验确定的 常数 破 坏 函 数 ， 应 力 分 量 的 某 种 函 数 破坏 不破坏 评判 几 何 空 间 意 义 ： 破坏面 应 力 空 间 内 达 到 破 坏 的 一 系 列 点 的 轨 迹 。 (a)
2、开口型 （b）帽子型 2/22 1.2 常用破坏准则 （1 ） 屈 雷 斯 卡(Tresca)准则 1 3 2 1 3 1 1 2 2 3 ( )( )( ) ( )( ) 0 2 2 2 2 2 f f f f f k k k k k 破 坏 面 ： 在 主 应 力 空 间 内 以 空 间 主 对 角 线 （ 即 的 线 ） 为 中 心 轴 的 正 六 角 柱 面 。 特点： 破 坏 与 体 积 应 力 无 关 。 适 应 性 ： 适 应 于 饱 和 粘 土 不 排 水 条 件 下 的 强 度 特 征 13 u 2 c 13 2 f k 假 定 最 大 剪 应 力 达 到 某 一 数 值 时
3、 破 坏 ， 即 三 向 应 力 条 件 下 ， 由 下 式 表 示 ： 3/22 广义屈雷斯卡(Tresca) 准则 破坏面： 在主 应力 空间 内为 正 六 角锥 面 。 考虑体积 应力 对 强 度 影响 时 13 1 2 f Ik 第一应力 不变量 破坏常数与c 、 有关 。 4/22 1.2 常用破坏准则 （2 ） 米 塞 斯(Mises)准则 破 坏 面 ： 在 主 应 力 空 间 为圆柱面 。 特点： 破 坏 与 体 积 应 力 无 关 。 假定 偏 应 力q 达到 一 定 值 时 破 坏 ，即 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 f qk 5/22
4、 广义米塞斯(Mises)准则 破坏面： 在主 应力 空间 内为 圆 锥面 。 同样，考虑 体积 应 力 对强 度 影 响时 将K f 用I 1 的函数代替 其他表示形式： q Mp ( r q M p p ） 剑 桥 模 型 中 破 坏 准 则 邓 肯 等 人 将 其 推 广 到 有 粘 聚 力 的 情 况 6/22 1.2 常用破坏准则 （3 ） 莫 尔 一 库 仑 （Mohr - Coulomb）准则 破 坏 面 ： 主 应 力 空 间 破 坏 面 是 与 2 轴 平 行 的 面 ， 且 投 影到 1 轴与 3 轴 构 成 的 平 面 内 ， 是 一 直 线 。 特点： 破坏与 2 无
5、关 ， 三 轴 压 缩 和 伸 长 具 有 相 同 强 度 。 某 一 面 上 的 抗 剪 强 度 转 换 为 达 到 破 坏 时 单 元 体 主 应 力 之 间 的 关 系 ，即 1 3 1 3 sin cos 22 c 2 13 tan (45 ) 2c tan(45 ) 22 oo 试验表明， 3 相 同 情 况 下 ， 伸 长 试 验 所 得 的 强 度 常 高 于 压 缩 试 验 测 得 的 强 度 。 或 若 各 主 应 力 的 大 小 不 确 定 ， 则 为6 个面,它们 在 主 应 力 空 间 构 成 不 等 角 的 六 角 锥 面 。 7/22 1.2 常用破坏准则 （4 ）
6、 拉 德 一 邓 肯 （Lade - Duncan ） 准 则 破坏面： 曲边 三角 形为 底 边的 锥 面 。 根 据 砂 土 真 三 轴 试 验 提 出 3 1 3 f I k I 3 1 2 3 I 8/22 2.屈服准则 （1 ） 屈 服 函 数 判 定 是 否 发 生 塑 性 变 形 的 准 则 () ij fk 与坐 标方 向 无 关 的 应 力 不 变 量 的 函 数 与 应 力 历 史 有 关 的 常数 9/22 1 ） 对 某 个k 值 ， 屈 服 函 数 在 应 力 空 间 对 应 一 确 定 的 曲 面 ， 称 为 屈 服 面 当k 值 变 化 时 ， 对应一系的屈服面
7、2 ） 理 想 弹 塑 性 体 k 为 不 变 的 常 数 ， 屈 服 面 为 固 定 的 曲 面 即 破 坏 面 土体 按加荷 屈服 发展 破 坏 的 模 式 进行， 屈 服 和 破 坏 是 不 同 的 阶 段 。 k值变化, 屈 服 面 无 数, 破 坏 面 一 个 3 ）k 值 与 应 力 历 史 有 关 ， 加 载 、 卸 载 将 使k 值 改 变 。 这 种 改 变 即 是 土 体 的 硬 化 或 软 化 由 硬 化 规 律 描 述 屈服 形成 规 律 ： 10/22 2.屈服准则 （2 ）屈 服状 态及 其 发 展 1 ）df0 ， 加 载 ， 应 力 增 量 的 方 向 指 向
8、屈 服 面 外 部 ，k 值 增 大 ， 产 生 新 的 塑 性 变 形 。 3 ）df=0 ， 中 性 变 载 ， 应 力 增 量 的 方 向 与 屈 服 面 相 切 ， 处 于 同 一 屈 服 面 ， 不 产 生 新 的 塑 性 变 形 。 11/22 2.屈服准则 （3）屈服轨迹 金属材料： 屈 服 仅 与 塑 性 剪 应 变 有 关 屈 服 面 与 破 坏 面 相 似 ， 破 坏 面 是 最 外 层 屈 服 面 开 口 型 ” 锥 面 ，p-q平面为向上 斜 线 ， 除 原 点 外 不 与p轴相交 土体材料： 屈服与p、q 均 有 关 屈服面与p轴相交，形成 帽盖型” 开 口 型 ”
9、屈 服 面 主 要 反 映 塑 性 剪 切 变 形， 帽盖型 ” 屈 服 面 主 要 反 映 塑 性 体 积 变 形 ， 两 者 结 合 可 形 成 双 屈 服 面 模 型 。 12/22 3.硬化规律 当 材 料 达 到 屈 服 后 ， 屈 服 的 标 准 将 发 生 改 变 ， 即k 值 发 生 变 化 。 k 值 随 何 种 因 素 而 变 ， 如 何 变 化 ， 即 为 硬 化 规 律 。 () k F H H 为 硬 化 参 数 ， 包 括 塑 性 变 形 或 塑 性 功 屈 服 准 则 ： ( ) ( ) ij f k F H ( , ) 0 ij fH 或： 硬化型 软化型 理
10、想 塑 性 13/22 硬 化 规 律 有 如 下 两 种 假 定 ： （1） 假 定 屈 服 面 的 中 心 不 变 ， 形 状 不 变 ， 其 大 小 随 硬 化 参 数 而 变 化 。 对 于 硬 化 材 料 ， 屈 服 面 不 断 扩 大 ； 而 软 化 材 料 ， 屈 服 面 可 缩 小 。 称 为 等 向 硬 化 ， 相 当 于 作 了 塑 性 变 形 各 向 同 性 的 假 定 。 （2 ）假 定屈 服 面 大小和形状都不变，硬化只是改变其位置，称为运动硬 化 ， 或 叫 随 动 硬 化 。 这 种 硬 化 是 材 料 在 反 复 的 周 期 荷 载 作 用 下 出 现 的 硬
11、化 现 象 ， 在 动 力 问 题 中 需 采 用 这 种 假 定 。 主 要 硬 化 参 数 ： (1) 塑性功W p pp ij ij Wd 在p-q坐 标 系 可 表 示 为 vs p p p W pd qd (2) 塑 性 体 积 应 变 p v 以 塑 性 体 积 应 变 为 硬 化 参 数 相 应 的 屈 服 面 总 是 “ 帽 子 ” 形 的 ， 能 较 好 地 反 映 土 体 的 体 积 变 形 特 征 。 14/22 (3) 塑性偏应变 p s 3 p ij pp ij ij ij d de d 2 3 p p p p s s ij ij d de de 1 0 ij ij
12、ij (4) 塑性全应变 p pppp ij ij d d d (5) 、 的组合 p v p s 15/22 4.流动法则 屈 服 函 数 和 硬 化 规 律 判 别 屈 服 的 标 准 以 及 屈 服 后 这 个 标 准 如 何 发 展 流 动 规 则 ： 达 到 屈 服 以 后 应 变 增 量 各 分 量 之 间 按 什 么 比 例 变 化 用 于 确 定 塑 性 应 变 增 量 方 向 的 假 定 。 塑性势：塑 性 变 形 即 塑 性 流 动 ， 与 其 他 性 质 的 流 动 一 样 ， 可 以 看 成 是 由 于 某 种 势 的 不 平 衡 所 引 起 的 ， 这 种 势 称 为
13、 塑 性 势 。 p ij ij g dd 米塞斯(Mises)类比弹性应变增量可以用弹性位势函数对应力微分来表示的概 念， 提出 了 塑 性 势 理 论 ： 塑性势面： 在 应 力 空 间 内 把 塑 性 势 相 等 的 点 连 接 起 来 ， 形 成 许 多 等 势 面 ， 称 为 塑性势面 v p p s g dd p g dd q 在p-q平 面 内 可 表 示 出 塑 性 势 线 ： 几 个 概 念 16/22 二 种 流 动 规 则 假 定 ： 1. 相 关 联 的 流 动 规 则 假 定 塑 性 势 函 数g 与屈服函数f 一致， 屈 服 面 就 是 塑 性 势 面 。 ij i
14、j gf ij ij fg 。 2. 不 相 关 联 的 流 动 法 则 （non associated flow rule ） 德 洛 克 公 设 不 适 用 ， 荷 载 增 量 做 了 负 功 。 “ 软 化 型 ” 不 符 合 德 洛 克 公 设 。 应 力 达 到 峰 值 后 ， 应 力 降 低 ， d 0，故d ij d ij p 0)，在加荷与卸荷循环中，外荷作功非负值， 对 于 弹 性 情 况 为 零 ， 对 塑 性 变 形 为 正 值 。 采用 德洛 克 公 设 ， 则 塑 性 势 面 必 须 与 屈 服 面 一 致 ， 流 动 规 则 是 相 关 联 的 。 17/22 5.
15、弹塑性模型 剑 桥 模 型 罗 斯 科 （Roscoe ）模型 适 用 于 正 常 固 结 或 弱 超 固 结 粘 土 的 模 型 固结不 排水剪 排水剪 初始等 向压缩 初始等 向压缩 破坏状 态边界 1） 屈服只与p 和q两个应力分 量有关， 与 第 三 应 力 不 变 量 无 关。 模 型 基 本 假 定 ： 2） 塑 性 变 形 符 合 相 关 联 的 流 动法则，即 gf 18/22 屈 服 轨 迹 数 学 方 程 的 建 立 p v f dd p p s f dd q ( ) 0 df p v p s d dq d dp p p p ss dW q d Mp d p p p vs
16、dW pd qd p v p s d q M dp 根据定义 在 屈 服 轨 迹 上 ， 有 0 ff df dp dq pq 于是 pp vs 0 dp dq 假 定 塑 性 功 为 而 塑 性 功 的 一 般 形 式 为 p p p s v s Mp d pd qd （1 ） (2) 19/22 0 dq q M dp p 0 ln ln q pp Mp 将（2 ） 式 代 入 （1 ）式，得 解上 述微 分 方 差 ， 并 设q=0 时p=p 0 ，得 剑桥模型 屈服方程 若 修 正 塑 性 功 的 假 定 ， 即 22 pp vs p dW p d Md 2 0 22 1 q pp M
17、p 则 得 到 修 正 剑 桥 模 型 修 正 剑 桥 模 型 屈服方程 20/22 屈服轨迹为 椭圆曲线 修 正 剑 桥 模 型 是 一 种 “ 帽 子 ” 形 模 型 ， 能 反 映 剪 缩 ， 但 不 能 反 映 剪 胀 ， 在 许 多 情 况 下 能 较 好 地 反 映 土 的 变 形 特 性 ， 对 正 常 固 结 或 弱 超 固 结 粘 土 比 较 适 合 。 21/22 00 ln ln aa e e e p p e 00 ln ln a e e e p p pe 0 ln ln a e e e p p v 1 a Ve Ve p p v0 ln ln 11 a aa e pp ee p v 1 0 a e a p p e H p v 1 2 22 1 a e a q p p e Mp p 0 与 体 积 应 变 有 关 ， 可 表 示 成 的函数。 p v 孔 隙 比 变 化 量 其 中 弹 性 部 分 变 化 量 塑 性 部 分 变 化 量 根据 (1 ) s s V e V V e V 得到 于是 最 终 屈 服 方 程 硬化参数 22/22
