1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测（九）考点 9圆锥曲线 对椭圆相关知识的考查 对双曲线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 对轨迹问题的考查 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线 轨迹问题 圆锥曲线中的定值与最值问题经典易错题会诊命题角度 1对椭圆相关知识的考查 1 (典型例题) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F lPF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )1.2.21 DCBA考场错解 A专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把 |21PF当作离心率
2、对症下药 D 设椭圆的方程为 2byax=l (a，b 0) 由题意可设|PF 2|=|F1F2|=k，|PF 1|=2k，则 e= 122kac2 (典型例题)设双曲线以椭圆 952yx=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )A2 B 34 C 21 D 43考场错解 D 由题意得 a=5，b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆 925yx=1 长轴的两个端点为焦点，则 a=c =4，b=3 k= 43ab专家把脉 没有很好理解 a、b、c 的实际意义对症下药 C 设双曲线方程为 2yx=1，则由题意知 c=5， ca2=4 则 a2=20 b2=5，#*
3、而 a=2 5 b= 双曲线渐近线斜率为 ab= 21 3 (典型例题)从集合1，2，3 ，11 中任选两个元素作为椭圆方程 2nymx=1 中的 m 和n，则能组成落在矩形区域 B=(x，y)x|3 12+32=12 应用结论时也易混淆对症下药 (1)解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3，代入 3x2+y2=，整理得(k 2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0 设 A(x1，y 1)、B(x 2、y 2)，则 x1，x 2 是方程的两个不同的根，=4(k 2+3)-3(k-3)20，且 x1+x2= 3(k，由 N(1，3)是线段 AB 的中点，得 1
4、2x，A(k-3)=k 2+3解得 k=-1，代入得，12，即 的取值范围是(12，+ ) 于是，直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0解法 2：设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有213x(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依题意，x 1x 2，k AB=- 21)(3yxN(1，3)是 AB 的中点， x 1+x2=2，y l+y2=6，从而 kAB=-1又由 N(1， 3)在椭圆内，31 2+32=12， 的取值范围是(12 ，)直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0 ()解法 1：CD 垂直平分 A
5、B，直线 CD 的方程为 y-3 =x-1，即 x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4又设 C(x3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为 M(x0，y 0)，则 x3， x4 是方程的两根，x 3+x4=-1，且 x0= (x3+x4)=- 21，y 0=x0+2= 23，即 M(- 21， )于是由弦长公式可得|CD|=.)(|)1(432k#*将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程得 4x2-8x+ 16-=0 同理可得|AB|= .)1(2|.12xk 当 12 时， )3( ,|AB|12，使得 A、B、C、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，
6、点 M 为圆心点 M到直线 AB 的距离为 d= .23|421|4|0yx 于是，由、式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+ .|2|3219| CDAB故当 12 时，A、B、C 、D 四点均在以 M 为圆心， |CD为半径的圆上 (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B 、C、D 共圆 ACD 为直角三角形，A 为直角 |AN|2 =|CN|DN|，即 )2|)(|()2( d. 由式知，式左边= 1,由和知，式右边= ,21)9232)3()32( 式成立，即 A、B 、C、D 四点共圆解法 2：由( )解法 1 及 12 ， CD 垂直平分 AB，直线 CD 方
7、程为 y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-=0将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2 = .231,243x不妨设 A(1+ )23,1(),(,13,1 DC)213,213(,CA计算可得 0A,A 在以 CD 为直径的圆上又 B 为 A 关于 CD 的对称点，A、B、C、D 四点共圆 (注：也可用勾股定理证明 ACAD)专家会诊 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆#*位置关系时忽略了斜率不存在的情形
8、3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点， A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2 分别为左右准线，l 1 与 x 轴交于 O，P、Q 两点在椭圆上，且 PMl 1 于 M,PNl 2 于 N，QF AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( )|5(;|)4(;|)3(;|)2;|) BFABNFPM A.1 个 B2 个 C.4 个 D5 个 答案：
9、C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于 caBOA2|=e，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|= ,2ab|BF|= ca2, eBFQ|故 ,故(5) 正确；(2)显然不对，所选 C2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 20，焦距为 2c，静放在点 A 的小球 (小球的半径不计 )，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 ( )A4a B2(a-c)C.2(a+c) D以上答案均有可能答案： D 解析： (1
10、)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 2(d-c)，则选 B；(2)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 2(a+c)，则选 C；(3)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 4a，则选 A.于是三种情况均有可能，故选 D.3 已知椭圆 2ax+y2=1(a1)，直线 l 过点 A(-a，0)和点 B(a，ta)(tt0) 交椭圆于 M直线 MO交
11、椭圆于 N(1)用 a，t 表示AMN 的面积 S；(2)若 t1，2，a 为定值，求 S 的最大值 答案：易得 l 的方程为了 y= 2t(x+a)1 分由#*,1)(2yaxt得(a 2t2+4)y2-4aty=0解得了 y=0 或 y= 42ta即点 M 的纵坐标 yM= 42taS=SAMN =2SAOM =|OA|yM= 42ta (2)由(1)得， S= t= t2 (t0)令 V= t4+a2t，V=- 24t+a2由 V=O at2当时 t a时，V0；当 02，则 00，b0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF 的面积为 2(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为
12、 ( )A30 B45 C60 D90 考场错解 B#*专家把脉 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角对症下药 D 由题意得 A( cab,2)sOAF = 21c baba21，则两条渐近线为了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 903 (典型例题) 双曲线 2byax=1(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线 l 的距离与点(-1，0)到直线 l 的距离之和 s 54c，求双曲线的离心率 e 的取值范围考场错解 直线 l 的方程为 byax=1 即 bx+ay-ab=0 点(-1，0)到直线 l 的距离：2)1(ba，点(1，0
13、)到直线 l 的距离: 2)1( 2)1(ba+ 2)(a=c54得 5a 2ca于是得 5 2e即 4e4-25e2+250 解不等式得 45e 25，所以 e 的取值范围是 .5,2,5专家把脉 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e1对症下药 解法：直线 J 的方程为 byax=1，即 bx+ay-ab=0由点到直线的距离公式，且 a1，得到点(1 ，0)到直线 l 的距离 d1= .)(2ba同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离 d2= .)1(2bas=d1+d2= .2cab由 0254.215.25,4,54 eeccs 即于 是 得即得解不等式，得 .,01.2 e
14、e的 取 值 范 围 是所 以由 于专家会诊 1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调 e1，必须明确焦点与准线的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3掌握参数 a、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用考场思维训练 1 已知 F1， F2 为双曲线 2byax=1(a0,b0)的两个焦点，过 F2 作垂直 x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为 P，且pF1F2=30 ，则双 曲线的渐近线方程为 ( )#*xyDyCBxA2.3. 3.2. 答案： D 解析：由已知有 21|FP=tan30
15、= acb2，所以 2a2=b2渐近线方程为 y= x2,所以选取 D2 若 Fl、F 2 双曲线 2byax=1 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足 |,11FMP (1)求此双曲线的离心率； 答案：由 PDF1知四边形 PF1OM 为平行四边形，又由|1 OPMOFP知 OP 平分F 1OM, PF 1OM 菱形，设半焦距为 c，由 |1 OF=c知 eacc PMPFPMPF |,2|,| 1121 又，即 c+ eca1e2-e-2=0, e=2(e=-1 舍去)(2)若此双曲线过点 N(2， 3)，求双曲线方程： 答案：e=2= ,acc=2a,
16、 双曲线方程为 )3,2(,132将 点ayx代入，有 3,14322a 即所求双曲线方程为 9=1.(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1，B 2(B1 在 y 轴正半轴上 )，求 B2 作直线 AB 与双曲线交于 A、B 两点，求 AB1时，直线 AB 的方程 答案：依题意得 B1（0，3） ， B2（0，-3 ）,设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)则由 193 .186)(22yxkxk双曲线的渐近线为 y= x3,当 k= 3时，AB 与双曲线只有一个交点，#*即 k 3.x 1+x2= .318,3621kxky1+y2=k(x1+x2)-6=
17、 8,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+9=9又 AB1（x 1，y 1 -3）, B1=(x2,y2 -3), AB1 B1,09)(322189318kk,即 k2=5, k= 5.故所求直线 AB 的方程为 y= 5x-3 或 y=- x-3.3 设双曲线 42x-y2=1 的右顶点为 A、P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点(1)证明：无论 P 点在什么位置，总有 |2AO；答案：设 OP：y=kx 与 AR：y= 联 立)2(1x解得 ),21,(kOR 同理可得 ,Q 所以| OQ R
18、| ,|412k设| OP|2=（m,n）,则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2= ,41,2kn所以| |2=m2+n2= |41ORQk(点在双曲线上， 1-4k20);(2)设动点 C 满足条件： )(2AC，求点 C 的轨迹方程答案： ),(2 RAQA点 C 为 QR 的中心，设 C（x,y）,则有 241kyx，消去 k,可得所求轨迹方程为 x2-x2-4y2=0(x0).命题角度 3对抛物线相关知识的考查。 1 (典型例题)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 ( )A.有且仅只有一条 B有且仅有两条#*
19、C.有无穷多条 D不存在考场错解 D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 24=8 54，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不求的方法求出 k 有两个值，即直线有且仅有两条 2 (典型例题 1)设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)两点在抛物线 y=2x2 上，l 是 AB 的垂直平分线(1)当且仅当 x1+x2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论；()当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围考场错解 ()，设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 y=2x+b，过点 A、B
20、 的直线方程可写为 y= ,mx与 y=2x2 联立得2x2+ 1x-m=0得 x1+ x2=- 41；设 AB 的中点 N 的坐标为(x 0，y 0)则 x0= 21(x1+x2)=- 8,y0=-x0+m= 6+m由 Nl,得 1+m=- 4+b，于是 b= 165m即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ,.专家把脉 没有借助“0 ”来求出 m 321，无法进一步求出 b 的范围，只好胡乱地把 m 当作大于或等于 0对症下药 (1)Fl |FA|=|FB| A、B 两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的准线是 x 轴的平行线，y 10，y 20，依题意 y1、y 2 不同时为 0， 上述
21、条件等价于 yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0；x 1x 2，上述条件等价于 x1+x2=0即当且仅当 x1+x2=0 时，l 经过抛物线的焦点 F。()设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 y=2x+b 过点 A、B 的直线方程可写为y=- x+m，所以 x1、x 2 满足方程 2x2+ x-m=0，得 x1+x2=- 4；A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式+8m0，即 m 321设 AB 的中点 N 的坐标为(x 0，y 0)，则x0= 21(x1+x2)=- 8，y 0=- x0+m= 16+m#*由 Nl，得 16+m=-
22、 4+b，于是 b= 165+m 3291即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为( 329，+ )3 (典型例题)如图，过抛物线 y2=2px(p0)上一定点 p(x0，y 0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于 A (x1，y 1)，B(x 2，y 2) (1)求该抛物线上纵坐标为 P的点到其焦点 F 的距离； ()当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 021y的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数考场错解 (1)当 y= 2p时，x= 8又抛物线的准线方程为 x=-P，由抛物线定义得，所求距离为 .89)(pp()设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB
23、由 y21=2px1,y20=2px0相减得(y l-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA= 012yP(x1x 0)同理可得 kpB= 012yP(x2x 0)由 kPA=-kPB 得 y0=-2 (yl+y2)故 .2101y设直线 AB 的斜率为 kAB。由 y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故 kAB= ).()(22112xypxy将 y1+y2=- y0(y00)代入得 kAB=- 04故 kAB 是非零常数专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确对症下药 (1)当 y= 2p时，x= 8，又抛物线
24、y2= 2px 的准线方程为 x= 2p，由抛物线定义得，所求距离为 -(- p)= .5 ()设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB由 y12=2px1，y 20=2px0相减得(y 1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故 kPA= ypx(x1x 0)同理可得 kPB= 012(x2x 0)由 PA、PB 倾斜角互补知 kPA=-kPB，#*即 012yp=- 02，所以 yl+y2=-2y0，故 =-2. 设直线 AB 的斜率为 kAB由 y22=2px2，y 21=2pxl相减得(y 2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以 .(xypxkAB
25、将 yl+y2=-2y0(y00)代入得,1ypkAB所以 kAB 是非零常数 4 (典型例题)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点A、B 满足 AO BO(如图所示 )(1)求AOB 的重心 C(即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程；() AOB 的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由OAOB考场错解 （）设AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则)1(32yxOA 0OBA x1x2+yly2=0(2)又点 A、B 在抛物线上，有 y1=x12，y 2=x22 代入(2)化简得 xlx2=0 或-
26、1y=3)(3122xy（x 1+x2） 2-2x1x2=3x2+ 3或 3x2，故重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2 或 y=3x2+ .专家把脉 没有考虑到 x1x2=0 时，AOB 不存在对症下药 （）设AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则)1(32yx)2(0,12yxkOBABA即又点 A、B 在抛物线上，有 y1=x12，y 2=x22 代入(2)化简得 xlx2=-1y= 3)(3122xy（x 1+x2） 2-2x1x2= 32)(=3x2+#*所以重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2+ 3()S AOB = 21211)(|21 yxyxyxOB
27、A 由(1)得 SAOB = )(226661 x当且仅当 x16=x26 即 x1=-x2=-1 时，等号成立。所以AOB 的面积存在最小值，最小值为 1。专家会诊1. 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。2. 凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。考场思维调练1 已知抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于 M 点，过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 D(x0，0)(1)求 x0 的取值范围1 答案
28、：由题意易得 M（-1，0）设过点 M 的直线方程为 y=k(x+1)(k0)代入 y2=4x 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0 (1)再设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 1,42xkx kxky 42)()()1(21 AB 的中点坐标为 ).,(那么线段 AB 的垂直平分线方程为 得令 0),2(1ykxky.21022kkxkx即又方程（1）中 =（2k 2-4）2-4k 40，0k 2 1， .3,20xk(2)ABD 能否是正三角形 ?若能求出 x0 的值，若不能，说明理由 答案：若 ABD 是正三角形，则有点 D 到 AB 的距离等于 .|23ABAB| 2=(1
29、+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2= .)1(64k#*点以 AB 的距离 d= kkk22211| 据 d2 4)(63)(4:|43kAB得4k 4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0, k 2= 3,满足 00)(2)若直线 l 的斜率 k2，且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为 51，试确定 m 的取值范围答案： 515|243|2mkkd 861|8|6| 22 kk m3 2186048,2602 kkkk00),),()2,8( PTyxy得 8x-2y2=0即 y2=4x(x0)故点 P 的轨迹是（ 0，0）为顶点，以（2，0
30、）为焦距的抛物线.( 除去原点)(2)若动直线 l 经过点 D(4，0)，交曲线 C 与 A、B 两点，求是否存在垂直于 x 轴直线 l被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值? 若存在，求出 l的方程，若不存在，请说明理由答案：设 AD 中点为 H，垂直于 x 轴的直线 l的方程为 x=a.以 AD 为直径的圆交 l于 E、F 两点。EF 的中点为 G因为|EH|= 21|AD| 21)4(y（其中（x1,y1）为坐标） ，|HG|= |24|1ax所以|EG|2=|EH|2= （x 1-4） 2+yx2- 4(x1-2a)2+4= 41(x1-4)2+4x1- 4(x1-2a)2+8(x1
31、-2a)+16= 4ax1-12x1-4a2+16a=（a+3）x 1-a2+4a所以当 a=3 时，以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值，l的方程 x=3.命题角度4对直线与圆锥曲线的关系的考查 1 (典型例题) 设双曲线C： 12yax(a0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A 、B，(1)求双曲线 C的离心率e的取值范围；()设直线l与y轴的交点为P，且 PBA125，求a的值考场错解 (1)由C点与l相交于两个不同的点，故知方程组 12yxa有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x2+2a2x-2a2=0故4a4+8a2(1-a2) 0#*解得：00对症下药 (1)
32、由C与l相交于两个不同的点，故知方程组 1,2yxa有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a 2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 0)1(8422aa解得 0 26且e ，即离心率e的取值范围为( 6)( ) ()设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，1) PBA125 (x 1,y1-1)= 5(x2,y2-1)由此得x 1= 5x2，由于x 1，x 2都是方程的根，且1-a 20，所以27x2=- ,aa，消x 2，得- 6089a，由a0，所以a= 1372 (典型例题) 给定抛物线C：y 2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A 、B两点(1)设
33、l 的斜率为1，求 OA与 B夹角的大小；()设 FB，若4，9 ，求l在y 轴上截距的变化范围考场错解 (1)设 A与 B夹角为；由题意l 的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y 2=4x得x 2-6x+1=0设A(x 1， y1)B(x2，y 2)则有x 1+x2=6，x 1x2=1易得 OA B=x1x2+y1y2=-3，#*41| 221yxyxOBAcos= 413|OBA=-arccos()由题意知 AFBF，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A、B |FB|=|BB|，|AF|=|AA| |BB|=|AA|，4 ， 9设l的方程为y=k(x-1) 由 xyk4)1(2得k 2
34、x2-(2k2 +4)x+k2=0 x= 21k |AA|= 21k+l= 2)(k|BB|= 22 1)1(kk43,)0(912)(4)(1| 22 kkkAB专家把脉 ()没有理解反余弦的意义() 思路不清晰对症下药 (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以 l的方程为了y=x-1将y=x-1代入方程y 2=4x，并整理得x 2-6x+1=0设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 xl+x2=6，x 1x2=1 OBA=(x1，y 1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3所以 与 夹角的大小为-arc cos 413 ()由题
35、设 AFB得 (x2-1，y 2)=(1-x 1，-y 1)，即 12),(yxx 由得y 22= 2y21y 21=4x1， y22=4x2，x 2= 2x1 联立、解得x 2=，依题意有0 ，B( ，2 )或B (，-2 )，又9(1，0)，得直线l方程为(-1)y= (x-1)或( -1)y=2 (x-1)当4 ，9 时，l在 y轴上的截距为 12或-#*由 12= 12，可知： 12在4 ，9上是递减的， 43 34，- - - 43直线l在y轴上截距的变化范围为- ，- 43， 3 (典型例题)已知椭圆C： 12byax(ab0)的左、右焦点为Fl、F2，离心率为e直线l:y=ex+
36、a与x轴、y轴分别交于点 A、B，M是直线l 与椭圆C的一个公共点，P是点Fl关于直线l的对称点为P，设 .(1)证明： =1-e2；()确定的值，使得PF 1F2是等腰三角形考场错解 ()要使PF 1F2为等腰三角形必有三种情况： (1)当|PF 1|=|F1F2|时设点p的坐标是(x 0，y 0)则 acxeycx2100解得 1)(230eaycex由|PF 1|=|F1F2| 得 c1)(2+ 24c两边同时除以4a 2，化简得 2)(e 从而e 2= 3于是 .321e(2)当|PF 1|=|F1F2|时，同理可得 2)(13 cc解得e 2=3于是=1-3=-2 (3)当|PF 2
37、|=|F1F2|时，同理可得 22)()(cece=4c2 解得e 2=1 于是=1-1=0综上所述，当= 3或-2或0时PF 1F2，F 2为等腰三角形专家把脉 (1)没有注意到因为PF 1l，所以PF 1F2=90+BAF 1为钝角，要使PF 1F2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围对症下药 (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- 0,ea)(0,a).由 .,1222 bacbyxbaxy 这 里得#*所以点M的坐标是 (-c, ab2)，由 ABM得(-c+ abe2,)=( e，a
38、)即 221eabec解 得证法二：因为A、B 分别是直线 l:y=ex+a与x 轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- ea，0) ，(0，a)，设M的坐标是(x 0，y 0)，由 M 得( aex,0)，所以 .)1(0ayex因为点 M在椭圆上，所以 2bya=1，即 .1)1(,)()( 2222 eebae 所 以e4-2(1-)e 2+(1-) 2=0，解得e 2=1- 即=1-e 2()解法一：因为PF 1l ，所以 PF 1F2=90+BAF 1为钝角，要使PF 1F2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F2|,即 |PF1|=c.设点F 1到l的距离为d ，由 2|PF
39、1|=d，= ceaec21|0)(| ,得 21=e 所以e 2= 3，于是=1-e 2= 3.即当= 3时， PF 1F2为等腰三角形解法二：因为PF 1l，所以，PF 1F2=90+BAF 1为钝角，要使PF 1F2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x 0，y 0)，则 acxey20解得 .1)(2,30eayex由|PF 1|=|FlF2|得 21)3(c=4c2，两边同时除以4a 2，化简得 )(2e=e2从而e 2= 3于是=l-e 2= 3即当= 3时，PF 1F2为等腰三角形 #*4 (典型例题)抛物线C的方程为y=ax 2(an0)的离心率分别为
40、e 1、e 2、e 3，则 ( )Ae 1e2e3 Be 1e2c=2, a 2=8b 2=a2-c2=8-4=4,所求椭圆方程为 .1482yx(3)与E 点轨迹相切的直线l 交椭圆于P、Q两点，求 |PQ|的最大值及此时l的方程答案：由（1）可知点 E 的轨迹是圆 12yx设是圆上的任点，则过(x 0,y0)点的切线方程是 x0x+y0y=1当 y00 时， 1yx代入椭圆方程得：2020412120 2240202012012020 20)1(56)8()( |181()()413,)( 1,4xxyxy PQxxxxxyxyx 又令 31t则 ,21562)16(|2 tttPQ15t
41、0)与直线l 2:y=-kx之间的阴影区域 (不含边界) 记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2 (1)分别用不等式组表示 W1和W 2； ()若区域中的动点p(x,y)到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求P点的轨迹C的方程；()设不过原点O的直线l与( )中的曲线C相交于M l，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点，求证OM 1M2的重心与OM 3M3的重心重合考场错解 (1)W1=(x,y)|ykx x0|()直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0由题意得|2kyx |2kbx=d2即 1|2kyx=d2k 2x2-y2(k2+1)d2=0故
42、动点P的轨迹C的方程为k 2x2-y2(k2+1)d2=0()略专家把脉 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成对症下药 解：(I)W 1=(x， y)|kx0，()直线l 1:kx-y=0 直线l 2:kx+y=0，由题意得#*1|2kyx |2kbx=d2，即 12kyx=d2，由P(x，y)W，知k 2x2-y20，所以 12yx=d2，即k 2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点P的轨迹 C的方程为k 2x2-y2-(k2+1)d2=0； ()当直线J与，轴垂直时，可设直线J 的方程为，x=a (a0)由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l 1与l 2关于x
43、轴对称，于是 M1M2，M 3M4的中点坐标都为(a，0) ，所以OM1M2，OM 3M4的重心坐标都为( a，0)，即它们的重心重合，当直线l 1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n 0)由 nmydkk0)(22, 得(k 2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k 2-m20且=(2mn) 2+4(k2-m2)x(n2+k2d2+d2)0设M 1、M 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x2= mkn，y 1+y2=m(x1+x2)+2n，设M 3、M 4的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4,y4)
44、，由 nmxyk及 nxyk 得x 3= mk,x4= n从而x 3+x4= 2k=x1+x2，所以y 3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，于是OM 1M2的重心与OM 3M4的重心也重合 4 (典型例题)已知椭圆 2byax=1(ab0)的左、右焦点分别是 F1(-c，0)、F 2(c，0) ，Q是椭圆外的动点，满足 |1QF=2a，点P是线段F 1Q与该椭圆的交点，点T在线段F 2Q上，并且满足 PT 2=0，| 2T|0 (1)设x为点P的横坐标，证明| PF1|=a+ xac； () 求点T的轨迹C 的方程；() 试问：在点T 的轨迹C上，是否存在点M，使F 1MF2的面积S=b 2，若存在，求F 1MF2的正切值；若不存在，请说明理由考场错解 (1)证明：由焦半径公式得 PF1=a+ ex=a+ xac ()设点T的坐标为(x、y)由 |2FP=0 得 222| TQTFP又 ，#*在QF 1F2中 aQOT|1故有 x2+b2= a2(x=a) ()C上存在M(x 0，y 0)使s=b 2的充要条件是 ：)2(|210bcayx又 1MF=(-C-x0-y0)， F=(c-x0,y0)由 2=x02-c2+y20=a2-c2=b2即 |1FcosF 1MF2=b2又s= |12MFsinF lMF2得tan F lMF
