1、-_第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设 x0,x 的相对误差为 ,求 lnx的误差.2. 设 x 的相对误差为 2,求 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *12345.0,.1,85.6,.30,71.xxx4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: 241324(),(),()/,ixii其中 124,均为第 3 题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?6. 设 08,Y按递推公式 17830nY( n=1,2,)计算到 10.若取 7327.9
2、82(五位有效数字),试问计算 10Y将有多大误差?7. 求方程 256x的两个根,使它至少具有四位有效数字( 78327.982).8. 当 N 充分大时,怎样求 21Ndx?9. 正方形的边长大约为 100,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2?10. 设21Sgt假定 g 是准确的,而对 t 的测量有0.1 秒的误差,证明当 t 增加时 S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列 ny满足递推关系 10ny(n=1,2,),若 021.4y(三位有效数字),计算到 10时误差有多大 ?这个计算过程稳定吗?12. 计算 6(2)f,取 .4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最
3、好? 36 3(2),972.1(2)13. 2()ln)fxx,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 22ln()ln(1)xx计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组10102;.xx假定只用三位数计算,问结果是否可靠?-_15. 已知三角形面积1sin,2abc其中 c 为弧度,02c,且测量 a ,b ,c 的误差分别为,.abc证明面积的误差 满足 .absc第二章 插值法 1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 200011112(),)nnnnnnxxVxx 证明 ()n是 n 次多项式 ,它的根是 0, ,且1101
4、()()()nnnxxx .2. 当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式.3. 给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.2231444. 给出 cos x,0 x 90的函数表,步长 h =1=(1/60), 若函数表具有 5 位有效数字,研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.5. 设 0kh,k=0,1,2,3,求 032ma()xl.6
5、. 设 j为互异节点( j=0,1,n),求证:i) 0)(,1);nkkjxlii)(,2.kjjj7. 设 2),fxCab且 ()0fb,求证21()().8axmaxb bf f8. 在 4上给出 xe的等距节点函数表,若用二次插值求 e的近似值,要使截断误差不超过 610,问使用函数表的步长 h应取多少?9. 若 2ny,求4ny及 .10. 如果 ()fx是 m次多项式 ,记 ()(fxfx,证明 ()f的 k阶差分)k是 k次多项式,并且 0mll为正整数).11. 证明 1kfgfgf.12. 证明1010 .n nnkk f-_13. 证明1200.njnjyy14. 若11
6、()nnfxaax有 个不同实根 12,nx ,证明10,;.1()nkjkajjf15. 证明 n阶均差有下列性质:i) 若 ()Fxcf,则 001,nnFxcfx ;ii) 若 ()g,则 1 01,nxgx .16. 74()3f,求072f及0182f.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)211)()/4!,(,)kkkRxfxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 P,使它满足 0P并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 ()x,以便使它能够满足以下边界条件(0)P, (1
7、), (2)1.20. 设 fxCab,把 分为 n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n并证明当 n时, ()x在 ab上一致收敛到 ()fx.21. 设 21/)f,在 5上取 10,按等距节点求分段线性插值函数 ()hIx,计算各节点间中点处的 hI与 f的值,并估计误差.22. 求 2()fx在 ,ab上的分段线性插值函数 ()hIx,并估计误差.23. 求 4在 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:jx0.25 0.30 0.39 0.45 0.53jy0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280试求三次样条插值 ()Sx并满足条
8、件i) (0.25)1.,0.53.68;ii) 25. 若 ,fxCab, ()是三次样条函数,证明i) 222() ()()()b b ba a adSxdfxSdxSfxSd;ii) 若 (0,1)iif n ,式中 i为插值节点,且 01nb ,则()()()()baSxff.26. 编出计算三次样条函数 )Sx系数及其在插值节点中点的值的程序框图( (Sx可用(8.7)式的表达式). -_第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为 ,ab的伯恩斯坦多项式 .(b)对 ()sinfx在 0,/2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做
9、比较.2. 求证:(a)当 ()mfM时, (,)nBfx. (b)当 ()fx时, (,)nBfx.3. 在次数不超过 6 的多项式中,求 si4在 0,2的最佳一致逼近多项式.4. 假设 ()fx在 ab上连续,求 ()f的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数 ,使301x达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求 ()sinf在 ,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求 xe在 上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取 r,使 2()pr在 1,上与零偏差最小? r是否唯一?9. 设 43()f,在 0上求三次最佳逼近多项式.10. 令 1)nTxx,求*0123(),(),Txx
10、T.11. 试证 *(是在 ,上带权的正交多项式.12. 在 ,上利用插值极小化求 1 1()fxtg的三次近似最佳逼近多项式.13. 设 ()xfe在 ,上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 ()nLx,若 nf有界,证明对任何 1n,存在常数 n、 ,使 1()()()1.nnTfxLT 14. 设在 ,上2345156880xx,试将 ()x降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在 1,上利用幂级数项数求 ()sinfx的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16. ()fx是 a上的连续奇( 偶)函数,证明不管 是奇数或偶数, ()fx的最佳逼近多项式*nnFH也是奇( 偶)函
11、数.17. 求 、 b使 220sinxdx为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()fx、 1,gCab,定义,)();(),()();baffgfgfxdfag 问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计610xd的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.-_20. 选择 a,使下列积分取得最小值:1122(),xadxad.21. 设空间 021,spnxspn,分别在 1、 上求出一个元素,使得其为 20,xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f在 上,求在241,ax上的最佳平方逼近 .23.2sin()arcosn
12、 xu是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 112nnnuxu.24. 将1()sifx在 ,上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把 ()arcof在 上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如 2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合 ,并求均方误差.ix19 25 31 38 44iy19.0 32.3 49.0 73.3 97.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间 t(秒 ) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0距离 s(米) 0 10 30 50 80 110求运动方程.28. 在某化学反应
13、里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘拟合求 ()yft.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30. 编出改进 FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录 4,3210,kx,试用改进 FFT 算法求出序列 kx的离散频谱 kC(0,17).第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1) 1
14、01()()()()hfxdAfhfAfh;(2)2h;(3) 1 12()()2()3)/fxffxf;-_(4) 20()(0)/1(0)hfxdfhaffh.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84nx; (2)1210(),0xedn;(3)91,d; (4)26si,6.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xed并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()ba ffxdaba;(2)f;(3)3()()(24ba ffxdaba.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当 n时收敛到积
15、分 ()bafxd.7. 用复化梯形公式求积分 ()bafxd,问要将积分区间 ,分成多少等分,才能保证误差不超过 (设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分102xe,要求误差不超过 510.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22()sincSad,这里 a是椭圆的半长轴, c是地球中心与轨道中心( 椭圆中心)的距离,记 h为近地点距离, H为远地点距离, 6371R公里为地球半径,则 (2)/()/aRH.我国第一颗人造卫星近地点距离 49h公里,远地点距离 384公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin!n试依据 sin(/)3,612)的值,用外推算法求
16、 的近似值.11. 用下列方法计算积分31dy并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求 21()fx在 x1.0,1.1 和 1.2 处的导数值,并估计误差. ()fx的值由下表给出:1.0 1.1 1.2 1.3 1.4f0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736-_第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题 0)(,ybax分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解21相比较。2. 用改进的尤拉方法解初值问题 ,1)0(;yx取步长 h=0.1
17、 计算，并与准确解 e2相比较。3. 用改进的尤拉方法解 ,0)(;yyx取步长 h=0.1 计算 )5.0(y，并与准确解 12e相比较。4. 用梯形方法解初值问题 ,1)0(;y证明其近似解为 ,2nnh并证明当 0h时，它原初值问题的准确解 xey。5. 利用尤拉方法计算积分 dtx02在点 2,5.1x的近似值。6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：1） ,)0(;yx2） .;1),1/37. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的： ).1(,)(;,);(213213hKtytxfKhfynnn8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的：-_1） );
18、32,(,);();3431211hKyxfKyxfhnnnn2） ).43,(;2,);(493121 321hKyxfKyxfnnnn9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题： ,0(,1取 ,8.0,.01yh计算 ).y并与准确解 xey1相比较。10. 证明解 )(xf的下列差分公式 )34(21111 nnnnh是二阶的，并求出截断误差的首项。11. 导出具有下列形式的三阶方法： ).(2102101 nnnnn ybybayay12. 将下列方程化为一阶方程组：1） ;)(,)0(,232） ;0,.y3）,)()( 233 yxrytrxt .)0(
19、,4.013. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题 .681)(,(;y14. 对方程 ),(yxf可建立差分公式 ),2211 nnn yxfh试用这一公式求解初值问题 ,0)(;y验证计算解恒等于准确解 .2x-_15. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题 .2)1(,0)( ;3612yyxx第六章 方程求根1. 用二分法求方程 012x的正根，要求误差0.05。2. 用比例求根法求 sin)(f在区间0,1内的一个根，直到近似根 kx满足精度05.|)(|kxf时终止计算。3. 为求方程 23在 5.0附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。1） /，迭代
20、公式21/kkxx；2） 23x，迭代公式 3；3） ，迭代公式 /1kk。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。4. 比较求 021xe的根到三位小数所需的计算量；1）在区间0,1内用二分法；2) 用迭代法 /)(xkke，取初值 0x。5. 给定函数 f，设对一切 )(,f存在且 Mxfm)(，证明对于范围内M/20的任意定数 ，迭代过程 1kk均收敛于 f的根 x。6. 已知 )(x在区间a,b内只有一根，而当 axb 时，|)(|x，试问如何将 化为适于迭代的形式？将 tg化为适于迭代的形式，并求 x=4.5（弧度）附近的根。7. 用下列方法求 013
21、)(f在 2x附近的根。根的准确值x1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。1) 用牛顿法；2）用弦截法，取 9.1,0x；3）用抛物线法，取 2,3。8. 用二分法和牛顿法求 tg的最小正根。9. 研究求 a的牛顿公式 ,0),(21xaxkk证明对一切 ak,21 且序列 1是递减的。10. 对于 0)(xf的牛顿公式 )(/1kkkff，证明 21)(xxR收敛到 )(/xff，这里 为 0f的根。11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：-_1) ;0,)(xxf2) .,)(32f12. 应用牛顿法于方程 0ax，导出求立方根 3a的迭代公式，并讨论其收敛性。1
22、3. 应用牛顿法于方程01)(2xf，导出求 的迭代公式，并用此公式求15的值。14. 应用牛顿法于方程 )(axfn和)(nxaf，分别导出求 na的迭代公式，并求 ./lim21knkkx15. 证明迭代公式 akk213)(是计算 a的三阶方法。假定初值 0x充分靠近根 x，求 .)/()(li 31kkk第七章 解线性方程组的直接方法1. 考虑方程组： ;257.0397.02786.40.178.0 419365 ;152. 33321 xx(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算） ，(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2. (a) 设 A 是对称阵且 1
23、a，经过高斯消去法一步后， A 约化为210aT证明 A2 是对称矩阵。(b)用高斯消去法解对称方程组： .862102147.4759.086. ;3.313862. xx4. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵且有分解式 A=LU，其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵，求证 A 的所有顺序主子式均不为零。5. 由高斯消去法说明当 ),1(nii 时，则 A=LU，其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。-_6. 设 A 为 n 阶矩阵，如果),2,1(|1nianijji 称 A 为对角优势阵。证明：若 A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式 210T。7. 设 A 是对称正
24、定矩阵，经过高斯消去法一步后， A 约化为21aT，其中 ;)(,)(12nijnija证明 （1）A 的对角元素 );,(0ni（2）A 2 是对称正定矩阵；（3） );,(,)(ian（4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上；（5） |max|,2)(,2ijnjiijnji （6）从（2） ， （3） ， （5）推出，如果 1|ija，则对所有 k.)(kij8. 设 kL为指标为 k 的初等下三角阵，即 11,nkkkm（除第 k 列对角元下元素外，和单位阵 I 相同）求证当 ji,时， ijkijIL也是一个指标为 k 的初等下三角阵，其中 ij为初等排列阵。9. 试推导矩阵 A 的
25、 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。10. 设 dUx，其中 U 为三角矩阵。(a) 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。(b) 计算解三角形方程组 dx的乘除法次数。(c) 设 U 为非奇异阵，试推导求 1的计算公式。11. 证明（a）如果 A 是对称正定阵，则 A也是正定阵；（b）如果 A 是对称正定阵，则 A 可唯一写成 LT,其中 L 是具有正对角元的下三角阵。12. 用高斯约当方法求 A 的逆阵： 51024732-_13. 用追赶法解三对角方程组 bAx，其中 01,210210b14. 用改进的平方根法解方程组
26、.65413232x15. 下述矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ .46152,32,76412 CBA16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 3212401x.17. 如果方阵 A 有 )|(|tjiaij，则称 A 为带宽 2t+1 的带状矩阵，设 A 满足三角分解条件，试推导 LU的计算公式，对 .,nr1）1),max(rtikkrii ulu),mi(,1,(tri ；2）rrtikkirirll /(),1a(,in,ti .18. 设 3.0156A，计算 A 的行范数，列范数， 2-范数及 F
27、-范数。19. 求证(a) |1xnx，(b) FFAc|2。20. 设 nRP且非奇异，又设 |为 nR上一向量范数，定义 |Pxp。试证明 px|是 n上的一种向量范数。21. 设 A为对称正定阵，定义 2/1),(|A，试证明 |为 nR上向量的一种范数。-_22. 设TnnxxR),(,21，求证 |max|(li11/nipiy。23. 证明：当且尽当 x 和 y 线性相关且 0yT时，才有 22|x。24. 分别描述 2R中（画图） ),1(,1|vRSvv。25. 令 是 n（或 nC）上的任意一种范数，而 P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数 |Px，证明 |A。26. 设
28、 tsA,为 nR上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数 0,21c，使对一切nR满足 stsAcc|2127. 设 ，求证 T与 T特征值相等，即求证 )()(TTA。28. 设 A 为非奇异矩阵，求证 |min|01yA。29. 设 A 为非奇异矩阵，且 ，求证 1)(A存在且有估计 .|)(|)(|1cond30. 矩阵第一行乘以一数，成为 12A。证明当 32时， )(cond有最小值。31. 设 A 为对称正定矩阵，且其分解为 WLDT，其中 TLD2/1，求证(a) ;)(22cond(b) .)()(2cT32. 设 9810A计算 A 的条件数。 ),2()vcond33. 证明
29、：如果 A 是正交阵，则 。34. 设 nRB,且 为上矩阵的算子范数，证明 )()(BcondABc。第八章 解方程组的迭代法-_1. 设方程组 310224521xx(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当 4)()1( 0| kkx时迭代终止2. 设02A, 证明:即使 1|1A级数 kAI2也收敛3. 证明对于任意选择的 A, 序列 ,!43,2,I收敛于零. 设方程组 ;2211bxa);0,(12a迭代公式为);(11(22)( )()( kkkkxabx).,2(求证: 由上述迭代公式产生的向量
30、序列 (收敛的充要条件是 .21ar5. 设方程组(a) 38.04.2121xx(b) 1231xx试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。6. 求证 Aklim的充要条件是对任何向量 x，都有 .limAk7. 设 bx，其中 A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题 5(a)方程组。8. 设方程组-_.2141;2141;423324xxx(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵 0B的谱半径；(b) 求解此方程组的高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯塞德尔迭代法的收敛性。9. 用 SOR 方法解方
31、程组（分别取松弛因子 1.,3.1）.4;321x精确解,)21,(Tx要求当 6)(105|k时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数。10. 用 SOR 方法解方程组（取 0.9）.3102;24521xx要求当 4)()1( 0|kkx时迭代终止。11. 设有方程组 bA，其中 A 为对称正定阵，迭代公式 ),()()1( kkkb),21试证明当 20时上述迭代法收敛（其中 (0A） 。12. 用高斯塞德尔方法解 x，用)1(ki记 )1(kx的第 i 个分量，且nijkijjiiki abr )(1)()1(。(a) 证明 ikiki ax)()()1(；(b) 如果 )()(，其中
32、x是方程组的精确解，求证： ikiki ar)1()()1(其中 nijkijkjikir)(1)()( 。(c) 设 A 是对称的，二次型 ),()()(kkAQ-_证明 njjkkk arQ12)()()1(。(d) 由此推出，如果 A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯塞德尔方法对任意初始向量 )0(x是收敛的，则 A 是正定阵。13. 设 A 与 B 为 n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组 ,2121 bAzBbz其中 Rdz21,。(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 );0(,)12)1(2)(1)( mzzzmm(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 )()()()(1
33、BbABbA比较两个方法的收敛速度。14. 证明矩阵 1a对于12a是正定的，而雅可比迭代只对 2是收敛的。15. 设70345A，试说明 A 为可约矩阵。16. 给定迭代过程， gCxkk)()1(，其中 ),210(kRn，试证明：如果 C 的特征值 ,2)(ii，则迭代过程最多迭代 n 次收敛于方程组的解。17. 画出 SOR 迭代法的框图。18. 设 A 为不可约弱对角优势阵且 10，求证：解 bAx的 SOR 方法收敛。19. 设 bx，其中 A 为非奇异阵。(a) 求证 T为对称正定阵；(b) 求证 22)()(condcond。第九章 矩阵的特征值与特征向量计算1. 用幂法计算下
34、列矩阵的主特征值及对应的特征向量：(a) 312471A, (b) 13642A,当特征值有 3 位小数稳定时迭代终止。2. 方阵 T 分块形式为-_ nnTT 2211,其中 ),21(niT为方阵，T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过 2，则称 T 为准三角形形式，用 )(记矩阵 T 的特征值集合，证明 .)(1nii3. 利用反幂法求矩阵 1326的最接近于 6 的特征值及对应的特征向量。4. 求矩阵 3104与特征值 4 对应的特征向量。5. 用雅可比方法计算 0.25.01A的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例 3 的关于 p 的最优值。6. (a)设 A 是对称矩阵
35、， 和 )|(2x是 A 的一个特征值及相应的特征向量，又设 P为一个正交阵，使 TeP)0,1(证明 TPB的第一行和第一列除了 外其余元素均为零。(b)对于矩阵 18250A,=9 是其特征值，Tx3,12是相应于 9 的特征向量，试求一初等反射阵 P，使1ePx，并计算 PAB。7. 利用初等反射阵将 1243正交相似约化为对称三对角阵。-_8. 设 nRA，且 1,jia不全为零， ijP为使 0)2(1ja的平面旋转阵，试推导计算 APij第i行，第 j 行元素公式及TijA第 i 列，第 j 列元素的计算公式。9. 设 1n是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设 y 是 1nA的一个特
36、征向量。(a)证明矩阵 A 对应的特征向量是 x21 ；(b)对于给出的 y 应如何计算 x？10. 用带位移的 QR 方法计算(a) 3102, (b) 103B全部特征值。11. 试用初等反射阵 A 分解为 QR，其中 Q 为正交阵，R 为上三角阵，5421。数值分析习题答案第一章 绪论习题参考答案-_1 （lnx）*()rx。21*()()()0.2nnnr xnx。3*1有 5 位有效数字， 2有 2 位有效数字， *3x有 4 位有效数字， *4x有 5 位有效数字， *有 2 位有效数字。4* 33314124()()(0.51.0.1.0xx*2323323()7982xx* 6
37、44()()()8.xx。5333211()/ ()0.363rr rVVR V。6 10()0Y。7 128735.982x，17830.17865.922x。8arcNdtgN912()()0.5xS。10 ()().1gtt，2()0.2()1rgttS，故 t 增加时 S 的绝对误差增加，相对误差减小。11108()()02yy，计算过程不稳定 。12 62.5f，如果令 21.4，则 61(2)0.49f，23(1)，3()08f，430.f， 59721， 4f的结果最好。13 ()4962，开平方时用六位函数表计算所得的误差为12，分别代入等价公式 )1x(ln)x(f,1x(l
38、n)f 221 中计算可得 432 16002-_，472221()ln1)08.316fxx 。14 方程组的真解为 1 209., .09x，而无论用方程一还是方程二代入消元均解得 1，结果十分可靠。15sinsicostannbcabaabcc第二章 插值法习题参考答案1. 1010)()()(nijjniixxxV；11,ijjnn.2. )12(4)2()3(2)(10)(2 xxxxL73652.3. 线性插值：取 5086.,6917.0,10 yyx ，则2)54.()4.(.0ln01xyL；二次插值：取 510826.,693147.0,916.,.,5.,. 21210
39、yyxx，则)(l )(4()(5.4.0(4.0. 12022101210 xxxxyy 0.616707 .4. )()()( 1011 fxLfxR，其中 ,10.所以总误差界 |)(|max|sco|a2| 1010 xx 822 6.864)( .5. )()() 3212022 xxxl 当 hx3740时，取得最大值 27|)(|max230l.6. i) 对 ),1(,)(nkxf在 nx,1 处进行 n 次拉格朗日插值，则有-_)(xRPxnnk)()(!10)(0 nnikjj xxfl 由于 )(1nf，故有knijjxl0.ii) 构造函数 ,)(ktxg在 nx,10
40、 处进行 n 次拉格朗日插值，有ijkjnltL)(.插值余项为 njjnk xgxtx0)1(!)(，由于 ).,2,0)1(gn故有 .)(0nijkjk xltxLtx令 ,xt即得 nijkjl0).7. 以 a, b 两点为插值节点作 (xf的一次插值多项式 )()()1 axbfaL，据余项定理， ,2() bfxf ，由于 ,0()baf故 .|)(|max)(81|)(|max|)(|a1|)|(| 21 fffLx bbbx 8. 截断误差 .4,6( 2102eR其中 ,1210hxx 则 hx3时取得最大值 3204 9|)()(|max .由题意， ,1096|6342
41、 eR所以， .h9. ,1nny ,2)()2(12 nnnny 则可得.4y2/12/1nn， 11 nnn，则可得.)(224y10. 数学归纳法证当 k时， )()xfhfxf为 m1 次多项式；假设 0(k是 m-k 次多项式，设为 )(xg，则-_)()1xghxfk为 m-(k+1)次多项式，得证。11. 右 )11kkk f kkgf1左12. ,1120010 nnnk gff .2111kk fffgffg13. 02njjy )()()()()()( 11123012 nnyyy01ynn .14. 由于 x,2 是 f的 n 个互异的零点，所以 )()()(210 nx
42、xa ,10 jiiiia对 )(xf求导得 nji njiiji xxxaxf01)()()()(，则 njiijf1)()(， .)()(110nj njjiikjjk xaxf记 ,)(kkxg则 .,)!(,2)1( nkgn由以上两式得 ,1)()( 20110 nknj njjiijkjk xgaxaf .1,)!(100 nkngk15. i) j njjjjjjn xxxFxF 11010 )()(, ,)()()( 100 110 nnj njjjjjj fcxxfc .-_ii) 证明同上。16. ;1!7)(2,710 ff .0,)8(ff17. 0)()(3jjj x
43、pfxR .1,)(3 kjxpfxRjjj即 1,k均为 3的二重零点。因而有形式： .()(2123 kkK作辅助函数 )()( xttxtft则 .0,0,0) 11 kkkkx由罗尔定理，存在 (12使得 .),)2类似再用三次罗尔定理，存在 ,(1kx使得,0)(4又 ,!4()()4Ktft可得 xK即 ).,(.,!4) 1212)4(3 kkk xxfR18. 采用牛顿插值，作均差表： ix)(if一阶均差 二阶均差01201110 -1/2 ,)(,)()( 210100 xfxxfxpx )(21BA/BA又由 ,1)(,)0(p 得 ,4,3所以 .3422x19. 记 .,khanbhk则 .,)()( 111 iiiiii xxfxfx因为 ,)(bCf，所以 在 ,b上一致连续。当 Nn时， nah，此时有 |)(|mx|)(|max10 xfxf nnib ii -_ iiiiixni xfxffii 1110 )()()ma1 iiiiixni ffii 1110 1 .a110 iiiixni xii由定义知当 时， )(n在 ,ba上一致收敛于 )(xf。2
