1、习题 351 求函数的极值 (1) y2x36x218x7 (2) yxln(1x) (3) yx42x2 (4) 1(5) 2543xy(6) 12(7) yex cos x (8) (9) 31)(2xy(10) yxtan x 解 (1)函数的定义为( ) y6x212x186(x22x3)6(x3)(x1) 驻点为 x11 x23 列表x ( 1) 1 (1 3) 3 (3 )y 0 0 y 17 极大值 47 极小值 可见函数在 x1 处取得极大值 17 在 x3 处取得极小值47 (2)函数的定义为(1 ) 驻点为 x0 因为当1x0 时 y0 当 x0y1时 y0 所以函数在 x
2、0 处取得极小值 极小值为 y(0)0 (3)函数的定义为( ) y4x34x4x(x21) y12x24令 y0 得 x10 x21 x31 因为 y(0)40 y(1)80 y(1)80 所以 y(0)0 是函数的极小值 y(1)1 和 y(1)1 是函数的极大值 (4)函数的定义域为( 1 )12(14321 xxy令 y0 得驻点 43因为当 时 y 0 当 时 y0 当 xe 时 y0 所以函数 f(x)无极值 2 试证明 如果函数 yax3bx2cx d 满足条件 b2 3ac0 当 x1 时 y0 所以函数在 x1 处取得极大值 又因为函数在(0 )内只有一个驻点 所以此极大值也
3、是函数的最大值 即函数在 x1 处取得最大值 最大值为 f (1) 218 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋 现有存砖只够砌 20cm 长的墙壁 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设宽为 x 长为 y 则 2xy20 y202x 于是面积为S xyx(202x)20x2x2 S 204x4(10x) S 4 令 S 0 得唯一驻点 x10 因为 S (10)40 所以 x10 为极大值点 从而也是最大值点 当宽为 5 米 长为 10 米时这间小屋面积最大 9 要造一圆柱形油罐 体积为 V 问底半径 r 和高 h 等于多少时 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解 由 Vr
4、2h 得 hV1r2 于是油罐表面积为S2r22rh (0x) 24rVS令 S 0 得驻点 3因为 所以 S 在驻点 处取得极小值 也就是最小值 这时相应的43rV32Vr高为 底直径与高的比为 2r h1 1 rh2 010 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图) 截面的面积为 5m2 问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省？ 解 设矩形高为 h 截面的周长 S 则 5)2(1xhxh8于是( ) xxS10424 10x令 S 0 得唯一驻点 4因为 所以 为极小值点 同时也是最小值点 23x0x因此底宽为 时所用的材料最省 411 设有重量为 5kg
5、的物体 置于水平面上 受力 F 的作用而开始移动(如图) 设摩擦系数 025 问力 F 与水平线的交角为多少时 才可使力 F 的大小为最小？解 由 F cos (mFsin ) 得( ) sinco2 )i(c驻点为 arctan 因为 F 的最小值一定在 内取得 而 F 在 内只有一个驻点 arctan )2,0()2 ,0(所以 arctan 一定也是 F 的最小值点 从而当 arctan02514时 力 F 最小 12 有一杠杆 支点在它的一端 在距支点 01m 处挂一重量为 49kg 的物体 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图) 如果杠杆的线密度为 5kg/m 求最省力的杆长?解
6、设杆长为 x (m) 加于杠杆一端的力为 F 则有 即 1.04952xF)0(9.425xF .驻点为 x14 由问题的实际意义知 F 的最小值一定在(0 )内取得 而 F 在(0 )内只有一个驻点 x14 所以 F 一定在 x14m 处取得最小值 即最省力的杆长为 14m 13 从一块半径为 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗 (如图) R问留下的扇形的中心角 取多大时 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长 l、底半径 r、高 h 分别为lR 2r 224h漏斗的容积为(02) 22341rV，驻点为 2)8(4R36由问题的实际意义 V 一定在(0 2)内取得最大值 而 V 在(0 2)
7、内只有一个驻点 所以该驻点一定也是最大值点 因此当 时 漏斗的容积最大 3614 某吊车的车身高为 15m 吊臂长 15m 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架 水平地吊到 6m 高的柱子上去(如图) 问能否吊得上去？解 设吊臂对地面的倾角为 时 屋架能够吊到的最大高度为 h 在直角三角形EDG 中15sin (h1 5)23tan 故 tan3si5 2co令 h0 得唯一驻点 541ars3因为 所以 54为极大值点 同时这也是最大值点 0coin6si15当 54时 m 5.721ta3ih所以把此屋最高能水平地吊至 7 5m 高 现只要求水平地吊到 6m 处 当然能吊上去 15 一房地产公司有 50 套公寓要出租 当月租金定为 1000 元时 公寓会全部租出去 当月租金每增加 50 元时 就会多一套公寓租不出去 而租出去的公寓每月需花费 100 元的维修费 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为 x 元 纯收入为 R 元 当 x1000 时 R50x 5010050x5000 且当 x1000 时 得最大纯收入 45000 元 当 x1000 时702510)1(50)1(50 x 72xR令 R0 得 (1000 )内唯一驻点 x1800 因为 所以 1800 为极大值点 同时0251R也是最大值点 最大值为 R57800 因此 房租定为 1800 元可获最大收入
