1、1试题及其详细解答一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、 函数 的定义域为_.xyln1解： ，应填写 0lxe),(),1e2、 _.1limxx解： li2xx 3211lim()li2xxxe3、当 时， 与 相比较是_无穷小01cos2解：等价4、 则 _.5(),xfe()f解： 4 15e5、 在点 的微分是_.cos()yx2x解： ，sin()cos()sin()xx，应填写 或2cs()1xy,d,6、曲线 在 处的切线方程为_.tyttcs,i1解： ，(cos)ininodyxtttt时， ， ，t,1dyx切线方程为 (),1y7、设 满足条件 ，且 存在， ，
2、则 =_.)(xf0f0()limxf(0)1f0()limxf解： 00()limlixxff8、函数 的极大值为_.34()8f2解： ，驻点232()41()fxxx0,2x,0;(0,);f,();f0 不是极值点，2 是极大点，极大值为 3424809、函数 的单调增加区间为_.1)(xef解： ，令 ，得 ，应填写x()0xfex,)10、 =_， .)(sin1( )d解： ，()i)2nxl+Cxdx二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、若函数 在点 处连续，则 =_0,1si)(xkf xk(A) 1 (B) 0 (C) (D) 不存在解：由 ，得 ，选(C)li
3、msn()xf1k2、曲线 在区间（2，4）上_718623xy(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有最小值 (D) 没有最小值)3(f解： ，22()61yxxx驻点 ，1,3,10;y(,0;y(,)0;y应选(C)3、函数 的凹区间为_23)(xf(A) (B) (C) (D) 1,),()4,1(),(解： ，226()(3)(3)xxf2224 4618()()()xfx令 ，得 ，0fx1,3应选(B) (,1)(0;fx1,)(0;fx1,)(0;fx4、当 时， 是比 _2(A) 高阶的无穷小 (B) 低阶的无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小解： ，
4、应选(D)211limlixx5、设 为 的极大值点，则_(B)_0)(f(A) 必有 =0 (B) =0 或不存在 )(0xf(C) 为 在定义域内的最大值 (D) 必有)(0xff 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）1、 ， 0tanlimsx0lni(1)xxe解：2220000tsctanlililimli1noxxxx00001l 1imlililin()xxx xxxee ee2、 设 ，求 的值.21lixab,a解：因 ，故 ，即 ，2li()0x21lim()0xb20ab由 ，得 ，2114limlixxaba3、 ，求ysec)(dy解：用对数求导法求导数：两边取
5、对数， ，2sec2ln(1)ln(1)xyx两边取导数， ，221sectanl(1)secyxx，2sec22()tl()xy 42sec22(1)tanl(1)sec1x xdyxd 4、 设函数 由方程 确定，求(fye解：先求 ：方程两边求导得 ，得 ，y xyex2 2()()()(1)yyyexe2yex5、 已知点（0，1）是曲线 的拐点，求 的值baxy23 ,ab解： ， ，因点（0，1）是拐点，29yxa8所以 ，即 ，且 。0x()y四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1、 设 ，证明 （ ）11x证明：令 ，则 ，()fx11()()fxx因 ， ，故 ，故
6、，01x0故 在 上单调减少，故 时， ，()fx1,)()1fx故 （ ）x2、 设 在1，2上有二阶导数，且 ，又 ，证明)(f 0)2(f )(1()2xfxF在（1，2）内至少有一点 使)(F证明：因 且 在1，2 上满足罗尔定理条件，故()0,(2),Fx（1，2）内至少有一点 ，使 ，又11()02()21)()(xfxfx 显然 ，且 在 上满足罗尔定理条件，故 内()()x,至少有一点 使 .F五、应用题（10 分）5将边长为 的一块正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做a成一个无盖的方盒，截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解：设截去的小正方形边长为 ，容积为 ，则xy， （ ） 。223()4yxa02ax因 ，有唯一驻点 ， （ 舍去） ，则它是最81()6a6x2a大值点，故截去的小正方形边长为 时，所得方盒的容积最大.a
