1、 上教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网高二数学 二项式定理【 教 学 目 标 】使 学 生 掌 握 二 项 式 定 理 及 其 证 明 (数 学 归 纳 法 )， 培 养 学 生 发 现 和 揭 示 事 物 内 在 客观 规 律 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 。 通 过 介 绍 “杨 辉 三 角 ”， 对 学 生 进 行 爱 国 主 义 教 育 。【 教 学 重 、 难 点 】重 点 ： 二 项 式 定 理 的 推 导 及 证 明难 点 ： 二 项 式 定 理 的 证 明【 教 学 过 程 】(一 )新 课 引 入 ：(提 问 )： 若 今 天 是 星 期 一 ， 再 过
2、 810 天 后 的 那 一 天 是 星 期 几 ？在 初 中 ， 我 们 已 经 学 过 了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3 (a+b)2(a+b) a3+3a2b+3ab2+b3(提 问 )：对 于 (a+b)4， (a+b)5 如 何 展 开 ?(利 用 多 项 式 乘 法 )(再 提 问 )： (a+b)100 又 怎 么 办 ？ (a+b)n(n N+)呢 ？我 们 知 道 ， 事 物 之 间 或 多 或 少 存 在 着 规 律 。 这 节 课 ， 我 们 就 来 研 究 (a+b)n 的二 项 展 开 式 的 规 律 性(二 )新 课 ：(如 何 着 手 研 究 它 的
3、 规 律 呢 )？ 采 用 从 特 殊 到 一 般 （ 不 完 全 归 纳 ） 的 方 法 。规 律 ： (a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4根 据 以 上 的 归 纳 ， 可 以 想 到 (a+b)n 的 展 开 式 的 各 项 是 齐 次 的 ， 它 们 分 别 为 an, an-1b, an-2b2,
4、， bn,展 开 式 中 各 项 系 数 的 规 律 ， 可 以 列 表 ：810(7+1)10 710+ 79+ 7+01C010C02(7 33c 133732+c32337+2上教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1（ 这 表 是 我 国 宋 代 杨 辉 于 1261 年 首 次 发 现 的 ， 称 为 杨 辉 三 角 ， 比 欧 洲 至 少 早 了 三百 年 。 ）如 何 从 组 合 知 识 得 到 (a+b)4 展 开 式 中 各
5、 项 的 系 数(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若 每 个 括 号 都 不 取 b， 只 有 一 种 取 法 得 到 a4 即 种0C(2)若 只 有 一 个 括 号 取 b， 共 有 种 取 法 得 到 a3b14C(3)若 只 有 两 个 括 号 取 b， 共 有 种 取 法 得 到 a2b22(4)若 只 有 三 个 括 号 取 b， 共 有 种 取 法 得 到 ab334(5)若 每 个 括 号 都 取 b， 共 有 种 取 法 得 b4C0112C2203133C3442444C05C1553555 (a+b)n= an+ an-1b+ an-rbr+ b
6、n(n N+)0C一 、 指 出 ： 这 个 公 式 叫 做 二 项 式 定 理 （ 板 书 ） ， 它 的 特 点 ：1 项 数 ： 共 有 (n+1)项2 系 数 ： 依 次 为 ， ， ， ， ， 其 中 (r 0， 1， 2， n)称 为 二 项0Cn2rnCnnC上教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网式 系 数说 明 ： 二 项 式 系 数 与 展 开 中 某 一 项 系 数 是 有 区 别 的 。 例 如 ： (1 2x)6 展 开 式 中rnC第 3 项 中 系 数 为 22 60 而 第 三 项 的 二 项 式 系 数 是 15。26C3 指 数 ： an-rbr 指 数 和 为 n， a 的 指 数 依 次 从 n 递 减 到 0， b 的 指 数 依 次 从 0 递 增 到n。三 、 小 结 ：（ 1） 二 项 式 定 理 (a+b)n= an+ an-1b+ an-rbr+ bn 是 通 过 不 完 全 归 纳 法 ，0CC并 结 合 组 合 的 概 念 得 到 展 开 式 的 规 律 性 ， 然 后 用 数 学 归 纳 法 加 以 证 明 。（ 2） 二 项 式 定 理 的 特 点 ： 1 项 数 2 系 数 3 指 数四 、 作 业 ：
