1、13.3.1 函数的单调性与导数【使用课时】：1 课时【学习目标】：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 奎 屯王 新 敞新 疆【学习重点】：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材 P89 P93，找出疑惑之处）复习 1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1，x 2I，且当 x1x 2 时，都有 ，那么函数 f(x)就是区间 I 上的 函数. 复习 2： ； ； ； ； ；C()n(sin)x(cos)ln)； ； ； (log)axe)a二、
2、新课导学学习探究探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线 的切线的斜率就是函数 的导数.从函数 的图像来()yfx()yfx342xy观察其关系：在区间（2， ）内，切线的斜率为 ，函数的值随着 x 的增大而 ，即 时，()f 0y函数 在区间（2， ）内为 函数；y在区间（ ，2）内，切线的斜率为 ，函数 的值随着 x 的增大而 ，即 0 时，函fx /数 在区间（ ，2）内为 函数.()yfx新知：一般地，设函数 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 ，那么函数 在这()yfx 0y()yfx个区间内的增函数；如果在这个区间内 ，那么函数0y 在这个区间内的减函数.
3、试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1） ；（2） ；3()fx2()3fx（3） ；（4） .sin,02()41fxx反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：求函数 f(x)的导数 .()fx令 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.0令 解不等式，得 x 的范围就是递减区间.f探究任务二：如果在某个区间内恒有 ，那么函数 有什么特性？()0fx()fx典型例题例 1 已知导函数的下列信息：当 时， ；4x()0fx当 ，或 时， ；1当 ，或 时， .试画出函数 图象的大致形状.f()fxy=f(x)=x24x+3 切线的斜率 f(x)(2，+ )(，2)321fx = x2-
4、4x +3xOyB A2变式：函数 的图象如图所示，试画出导函数 图象的大致形状.()yfx ()fx例 2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图象. ht当堂检测1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1） ； （2） ；2()4fx()xfe（3） ； （4） .3 322.求证：函数 在 内是减函数.32()67fxx(0,)学习小结用导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的定义域；求函数 f(x)的导数 .()fx令 ，求出全部驻点；0驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间
5、内 的符号，由此确定 的单调区间()fx ()fx注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑. 知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭” （向上或向下） ；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数 在()yfx或 内的图象“陡峭 ”，在 或 内的图象“平缓”.(0,)b,a(,)b(,)a三、课后练习与提高1. 若 为增函数，则一定有（ ）32()(0)fxabcxdaA B C D24023bc240bac230bac2. （2004 全国）函数 在下面哪个区间内是增函数（ ）osinyxA B
6、C D(,)(,)35(,)(,)33. 若在区间 内有 ，且 ，则在 内有（ ）(,)ab()0fx()0fa(,)abA B C D不能确定0fxfx4.（2007 年浙江卷）设 是函数 的导函数，将 (yfx和 ()fx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）5.已知函数 xfln)(，则（ ）A在 ,0上递增 B在 ),0(上递减 C在 e1,0上递增 D在 e1,0上递减6.函数 53)(2xf的单调递增区间是_7.函数 的增区间是 ，减区间是 8.已知 ，则 等于 2(1)ff(0)f9.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1） ； （2） ； （3）32()fxx
7、fx()cos,(0)2fxx.3.3.2 函数的极值与导数【使用课时】：1 课时【学习目标】：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 【学习重点】：利用导数求函数的极值【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材 P93 P96，找出疑惑之处）复习 1：设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 ，那么函数 y=f(x) 在这个区间内0y为 函数；如果在这个区间内 ，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数.0y复习 2：用导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)
8、的导数 . 令 解不等式，得 x 的()fx范围就是递增区间.令 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学学习探究探究任务一： 问题 1：如下图，函数 在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()yfx,abcdefgh在这些点的导数值是多少？在这些点附近， 的导数的符号有什么规律？ ()yfx ()yfxyxOyxOyxOyxOABCD4看出，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其它点的函数值都 ， ；且在()yfxa()faxa()fa点 附近的左侧 0，右侧 0. 类似地，函数 在点 的函数值xax ()yfxb比它在点 附近其它点的函数值都 ， ；而且在点 附近的
9、左侧 0，()fbb()fb bfx右侧 0. 新知： 我们把点 a 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值；点 b 叫做函数 的()yfx()fa()yfx()yf极大值点， 叫做函数 的极大值.()fb极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试： （1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为 0 的点的关系：导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如：函数 在 x=0 处的
10、导数为 ，但它 3()fx（是或不是）极值点.即：导数为 0 是点为极值点的 条件.典型例题例 1 求函数 的极值.314yx变式 1：已知函数 在点 处取得极大值 5，其导函数 的图象经过点 ，32()fxabcx0 ()yfx(1,0)，如图所示，求 (1) 的值 (2)a，b，c 的值.(2,0)0小结：求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)求方程 f(x)=0 的根 奎 屯王 新 敞新 疆（4）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在
11、这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 .变式 2：已知函数 .32()91fx xo 1 2y5（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.当堂检测1. 求下列函数的极值：（1） ；（2） ；2()6fx3()27fxx（3） ；（4） .31x2. 下图是导函数 的图象，试找出函数 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小()yfx()yfx值点.学习小结1. 求可导函数 f(x)的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象
12、. 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”三、课后练习与提高1. 函数 的极值情况是（ ）23yxA有极大值，没有极小值 B有极小值，没有极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也极小值2. 三次函数当 时，有极大值 4；当 时，有极小值 0，且函数过原点，则此函数是（ ）1x3xA B3269y3269yC D3. 函数 在 时有极值 10，则 a、 b 的值为（ ）322()fab1A 或,ab4,B 或41C D以上都不正确,54. 函数 在 时有极值 10，则 a 的值为 32()9fxax35. 函数 的极大值为正数，极小值为负数，则
13、的取值范围为 (0) a6.如图是导函数 的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数 有极大值？)yf ()yfx（2）导函数 有极小值？（3）函数 有极大值？（4）导函数 有极小值？x()yfx67. 求下列函数的极值：（1） ；（2） .2()6fx3()48fx8.已知函数 f（x）=ax 3+bx2-2x 在 x=-2，x=1 处取得极值,求函数 f（x）的解析式及单调区间.9.已知 f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1 有极大值和极小值，求实数 a 的范围.3.3.3 函数的最大（小）值与导数【使用课时】：1 课时【学习目标】：理解函数的最大值和最小值的概念； 掌 握 用 导
14、数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤.【学习重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材 P96 P98，找出疑惑之处）复习 1：若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极0x0)(f0x)(xf0x)(f)(0xf值，并且如果 在 两侧满足“左正右负” ，则 是 的 点， 是极 值；如果0)(f0在 两侧满足“左负右正” ，则 是 的 点， 是极 值 奎 屯王 新 敞新 疆)(f ff复习 2：已知函数 在 时取得极值，且 ， （1）试求常数 a、b、c32()()fxabcxa1()的值；（
15、2）试判断 时函数有极大值还是极小值，并说明理由.1二、新课导学学习探究探究任务一：函数的最大（小）值 问题：观察在闭区间 上的函数 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？ ba,)(xf7在图 1 中，在闭区间 上 的 最 大 值 是 ， 最 小 值 是 ；ba,在图 2 中，在闭区间 上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .新知：一般地，在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值. , )(xfba,试试： 上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的
16、2.函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的 条件)(xfba,)(xfba,3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.典型例题例 1 求函数 在0,3上的最大值与最小值 .31()4fx小结：求最值的步骤（1）求 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.()fx例 2 已知 , (0,+).是否存在实数 ,使 同时满足下列两个条件：23logxabxab、 )(xf（1） 在 上是减函数，在 上是增函数；（2） 的最小值是 1；)(f0,11)f若存在，求出 ，若不存在，说明理由.ab、变
17、式：设 ，函数 在区间 上的最大值为 1，最小值为 ，求函数的解213a32()fxaxb1,62析式. 小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题当堂检测1. 求函数 的最值3(),12fxx图 1 图 282. 已知函数 在 上有最小值 .（1）求实数 的值；（2）求 在 上的32()6fxxa,37a()fx2,最大值学习小结设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(xfba,(,)ab)(xfba,求 在 内的极值；
18、将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值.)ff , 知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令 得到方程的根 ， ， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以()0fx1x2了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.三、课后练习与提高1. 若函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 M、N ，则 的值为（ ）3()fa0,3 A2 B4 C18 D202. 函数 （ ）2(1)xxA有最大值但无最小值B有最大值也有最小值C无最大值也无最小值D无最大值但有最小值3. 已知函数 在区间
19、上的最大值为 ，则 等于（ ）23yx,2a154aA B C D 或31134.下列说法中正确的是（ ）A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B 闭区 间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极 值 ，则一定有最值D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值5.函数 在 内有最小值，则 的取值范围是（ ）axxf3)()1,0(aA B C D 10a2106. 函数 在 上的最大值为 2yx,47. 已知 （ 为常数）在 上有最大值，那么此函数在 上的最小值是 32()6fm2,2,8. 为常数，求函数 的最大值.a3()(01)fxax9. 已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）若 在区间 上的最大值为32()9fxxa()fx()fx2,20，求它在该区间上的最小值.9
