1、高三数学总复习平面向量本周题目平面向量本周重点向量的运算与应用本周难点向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题考点分析1. 向量是数形结合的典型。向量的几何表示法-有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形法则；实数与向量乘积的几何意义-共线；定比分点基本图形-起点相同的三个向量终点共线等。2. 向量的三种运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都是向量的基本运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运
2、算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算 图形语言 符号语言 坐标语言记则加法与减法. 实数与向量的乘积记则两个向量的数量积记运算律加法：实数与向量的乘积：两个向量的数量积：说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如3. 重要定理、公式(1)平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 ，有且只有一对实数 的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量 与有序数对( 1， 2)一一对应，称( 1， 2)为 在基底下的坐标，当取 为单位正交基底 时定义( 1
3、， 2)为向量 的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则 ；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(2)两个向量平行的充要条件符号语言：若坐标语言：设若 x1y2-x2y1=0 在这里，实数 是唯一存在的，当 同向时，0；当 异向时，0。 ， 的大小由 的模确定。因此，当 确定时， 的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中 的几何意义。(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设(4)线段定比分点公式 如图，设则定比分点向量式：定比分点坐标式：设 P(x，y
4、)，P 1(x1,y1)，P 2(x2,y2)则特例：当 =1 时，就得到中点公式：实际上，对于起点相同，终点共线三个向量 (O 与 P1P2 不共线) ，总有，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为 1。(5)平移公式：点平移公式，如果点 P(x，y)按 ，平移至 P(x，y)，则 分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标， 为平移向量在点 P 新、旧坐标及平移向量三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标图形平移：设曲线 C：f(x,y)=0 按 平移，则平移后曲线 C对应的解析式为 f(x-h,y-k)=0 利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性
5、质4. 向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性” 特点。本周例题一. 向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量和运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公式。例 1. 已知 a=(5,4),b=(3,2)，则与 2a-3b 平行的单位向量为 _点拨 与一个非零向量 a 共线的单位向量有两个：与 a 同向的单位向量 ，与 a 反向的单位向量 ，求与已知向量平行的向量常用坐标运算。解析 法一：2a-3
6、 b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)法二：令 e=(x，y)2a-3b =(1,2)，且 e 与 2a-3b 平行x-2y=0，又x 2+y2=1由解得变式练习已知 b 是 a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求 b答案：(12,9)或(-12 ，-9)例 2. 已知|a|=1，| b|=1，a 与 b 的夹角为 60，x=2a-b，y=3b -a，则 x 与 y 的夹角是多少？点拨 要计算 x 与 y 的夹角，需求出|x|,|y|，xy 的值，可利用|x| 2=x2 求解。解析 由已知|a|=|b|=1 ，a 与 b 的夹角为 60，得又点评 本题利用模的性质|a| 2=a2在计算
7、 x，y 的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 。由向量减法的几何意义，得。由余弦定理易得变式练习 1(2004 年高考浙江卷 )已知平面上三点 A、B、C 满足的值等于_。(答案：-25)变式练习 2已知 ，a 和 b 的夹角为 45，求使向量 a+b 与 a+b 的夹角是锐角时 的取值范围。(答案： )例 3. 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD 是ABC 的平分线，求点 D 的坐标及 BD 的长。剖析：A、C 两点坐标为已知，要求点 D 的坐标，只要能求出 D 分 所成的比即可。解：由定比分点坐标公式，得D 点坐标
8、为评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化。思考讨论若 BD 是 AC 边上的高，或 BD 把ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解？请读者思考二、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质 例 4 已知平面向量(1)若存在
9、实数 k 和 t，使得 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb，且 xy，试求函数的关系式 k=f(t)；(2)根据(1)的结论，确定 k=f(t)的单调区间。解析 (1)法一：由题意知故整理得：t 3-3t-4k=0，即法二：xy,xy=0，即-k|a| 2+t(t2-3)|b|2=0，t 3-3t-4k=0，即(2)由(1)知：令 k0 得 t1故 k=f(t)的单调递减区间是(-1,1) ，单调递增区是(-，-1)和(1 ，+).点评 第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要
10、条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。变式练习 1已知平面向量 ，若存在不为零的实数 k 和角 ，使向量，试求实数 k 的取值范围。(答案： )变式练习 2已知向量(1)试用 x 表示 ；(2) 求 的最大值，并求此时 夹角的大小。(答案：(1) ，(2) 最大值为 10，此时 x=-2， )例 5 已知(1)求证：a+b 与 a-b 互相垂直；(2)若 ka+b 与 a-kb 的大小相等(kR，且 k0，)求 -(1)证法一：(a+b)(a-b)证法二：|a
11、|=1,| b|=1(a+b)(a-b)证法三：记又 ，O、A、B 三点不共线。由向量加、减法的几何意义，可知以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱形，其中，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a- b)(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb|又又k0, cos(-)=000)故点 P 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆。() 由为( )知，又于是变式练习已知两个 M(-1,0)，N(1,0) ，点 P 使 成公差小于零的等差数列，且向量 垂直，求点 P 的坐标。(答案： )例 7. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(-1,3)，若点 C 满足，
12、其中 ，R 且 +=1，则点 C 的轨迹方程为( )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1) 2+(y-2)2=5C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0分析 本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。解法 1设 C(x，y) 则消去参数 ，得点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0解法 2利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B，C 三点共线，故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x+2y-5=0，故本题应选 D。本周练习(一) 选择题1. 平面内三点 A(0，-3) ，B(3,3)，
13、C(x，1) ，若 ，则 x 的值为( )A. -5 B. -1 C. 1 D. 52. 平面上 A(-2,1)，B(1，4)，D(4，-3)，C 点满足 ，连 DC 并延长至 E，使，则点 E 坐标为( )A. B. C. (0，1) D. 3. 点(2，-1) 沿向量 平移到 (-2,1)，则点(-2,1)沿 平移到：( )A. (2 ，-1) B. (-2，1) C. (6，-3) D. (-6,3)4. ABC 中，2cosBsinC=sinA，则此三角形是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等边三角形 D.以上均有可能5. 设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( )
14、中，真命题是：A. B. C. D. 6. ABC 中，若 ，则C 的度数是( )A. 60 B. 45或 135 C. 120 D. 307. OAB 中， ，则点 P 在( )A. AOB 平分线所在直线上 B. 线段 AB 中垂线上C. AB 边所在直线上 D. AB 边的中线上8. 正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，且A. B. C. (7,4) D. (二) 填空题9. 已知 是平面上一个基底，若 共线，则 =_10. 已知 的夹角是_11. 设 是两个单位向量，它们夹角为 60，则12. 把函数 y=cosx 图象沿 平移，得到函数_的图象。(三) 解答题13. 设 ，试求满足坐标，其中 O 为坐标原点。14. 若 夹角 的余弦值。15. 已知 夹角为 45，求当向量 夹角为锐角时，的取值范围。参考答案(一)1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.A 8.A(二)9. 10. 11. 12. y=sinx+1(三)13. (11,6) 14. 15.
