1、第十章 排列 组合和二项式定理,第一节两个计数原理,知识自主梳理,1.分类计数原理与分步计数原理的概念(1)完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和，这就是 原理(2)完成一件事，需要分成 步骤，每一步的完成 ，则完成这件事的不同方法种数是 ，这就是分步计数原理,分类计数,几个,有多种不同的方法,各步中不同的方法数的乘积,2分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，都是涉及 的不同方法的种数它们的区别在于：分类计数原理与 有关，各种方法 ，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与 有关，各个步
2、骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了,完成一件事,相互独立,分步,相互依存,分类,1“分类”与“分步”，应该如何理解？(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法,重点辨析,(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件
3、事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成,2分类计数原理与分步计数原理，如何选用？两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理.,方法规律归纳,例1高三(1)班有学生50人，男30人，女20人，高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人
4、，女20人(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？分析具备分类计数原理的条件,解(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；从高三(3)班中选一人有55种选法，共有506055165(种)(2)从高三(1)、(2)班男生中选有303060(种)，从高三(3)班女生中选有20种，共有30302080(种),规律总结运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅
5、属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性.,备选例题1 三边长均是正整数，且最大边边长为11的三角形的个数为 ()A25B26C36D37,解析：另两边边长用x，y表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.分情况讨论：(1)当y取值11时，x1,2,3，11，可构成三角形11个；(2)当y取值10时，x2,3,4，10，可构成三角形9个；(3)当y取值9时，x3,4,5，9，可构成三角形7个；,(4)当y取值8时，x4,5,6,7,8，可构成三角形5个；(5)当y取值7时，x5,6,7，可构成三角形3个；(6)当y取值6时，x6，可构成三角形1个由分类计数原理得满足条件的三角
6、形个数为N119753136 答案：C,例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？分析本例实质是分步计数原理的应用这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法,解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步计数原理，得到平面上的点数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以
7、有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步计数原理，得到第二象限内点的个数是326.,(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个),规律总结运用分步计数原理时，需要确定分步的标准分步必须满足；完成一件事必须且只需连续完成这几步，即各个步骤是相互依存的，各个步骤都完成了，这件事才算完成，但要注意“步”与“步”的连续性。,备选例题2用n种不同颜色为广告牌着色(如图1)，要求在、4个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)当n6时，为图1着色
8、共有多少种不同的着色方法？(2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法，求n.,解：(1)为着色有6种方法，为着色有5种方法，为着色有4种方法，为着色也有4种方法所以共有6544480种着色方法(2)图2与图1的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n1)(n2)(n3)由n(n1)(n2)(n3)120(n23n)(n23n2)1200(n23n)22(n23n)12100n23n100或n23n120n5.,例3中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在图中的A、B、C、D四个区域落座现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且
9、相邻区域不能同色，则不同的着装方法共有多少种？,分析可把四个区域分为两种情况：A与C、B与D.先讨论A与C的着装，后讨论B与D的着装,解当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有432124种不同的方法；当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A区、C区不同色且不与B、D同色时，有243248种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4312种不同的方法由分类计数原理知共有24481284种不同的着装方法,规律总结首先要明确“完成一件事”是需分类还是分步；分类时，类与类之间应避免交叉重复且要互补；分步时，步与步之间应有连续性
10、其次对较复杂的问题，一般是先分类，各类之中再分步，分类时要注意选好分类标准，设计好分类方案，要防止重复和遗漏.,备选例题3标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？,解：(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个应有12132311(种)(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个，应有134(种).,一、主体选择错误例13个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同的选法有多少
11、种？解题思路每个班都有5个风景点可选，故不同的选法有53种,错因分析解决问题时使用正确的完成任务的策略至关重要，主体选择错误，使问题无法完成或情况纷杂，自然很难得到正确的完成任务的策略，而误得出35种,二、分类、分步不严密错误例2甲乙两个自然数的最大公约数为720，问甲乙两数的公约数共有多少个？解题思路因为72024325，其约数的一般形式为2m3n5p，其中m0,1,2,3,4，n0,1,2，p0,1，确定约数分三步进行，确定m、n、p的选法分别为5种，3种和2种，由分步计数原理，共有53230个公约数,错因分析把题中的m、n、p取值不全，如m1,2,3,4，n1,2，p1而得出4218个公约数,
