1、四维变分资料同化 ( 4DVAR, four-dimensional variational data assimilation method ) 兰州大学大气科学学院 邱崇践,1，有关资料同化的基本知识,资料同化: 在积分描写动力系统演变过程的数学模式（预报模式）的同时，不断吸收观测资料，给出系统状况的一个估计。目的：给出大气，海洋，陆面状态的最好估计，为预报和分析研究提供必要的数据。,为什么要用预报模式？ （1）观测不足 （2）观测有误差（后果：变量间的不协调造成预报的振荡） 预报模式给我们提供什么？ （1）模式作出的预报为同化提供初猜场（背景场） （2）模式在不同点的变量之间以及各个变量
2、之间建立了联系,综合观测和背景场 给出的最好估计是什么？ 背景场 xB, 观测场yo,分析场xa. 最大似然估计：,（卡尔曼滤波） （条件？） B: 背景场误差协方差矩阵；Q: 观测场误差协方 差矩阵；H: 观测算子（Hx=y) 误差协方差矩阵: B=, bi,j= 分析场的误差协方差矩阵:,(1),解（1）等价于极小化下面的目标函数 (cost function 代价函数),变分方法： 极小化（2） 4维变分方法： 极小化（3）,(2),（3）,（4）,预报模式：,示意图：,如何求极小？下降算法. （需要梯度）,最速下降法，共轭梯度法，拟牛顿法,得到搜寻方向后成为一维寻优。 多项式逼近：,2
3、，变分方法和伴随模式 变分方法是求泛函极值的有力工具。 泛函的一个例子：J 是u的泛函，依赖于u 在(a,b)区间的所有取值. （1阶）变分： 对 的线性部分,（2.1）,先看连续情况。反演初值的一个例子：目标泛函,定解条件： 找到最优的u0 让(2.2)极小,（2.2）,（2.3）,(2.3)的切线性方程定义伴随方程： 将（2.4）乘 和（2.5）乘 相减 在整个区间积分,（2.4）,（2.5）,（2.6）,考虑边界 以及令 得到,(2.7),由（2.7）看到： (2.8),伴随算子的定义： （f, Lg )=(g, L*f )， （ f，g）内积 函数空间内积(2) 向量空间内积：显然矩阵
4、算子A的伴随算子是AT,计算过程： （1）给出u0初猜值积分模式（2.3）得到u(x,t).计算目标函数（2）从u*(x,T)=0 出发积分伴随方程得到u*(x,0)（3）根据目标函数值和梯度找到新的估计u0 （4）重复（1）（3）迭代。,3 4DVAR实际计算过程 回到离散情况 ：(成为求多元函数极小值)。 看一个时间r,切线性模式：,是什么？以 为初值反向积分伴随模式到t=0. 最后实际过程由R开始积分到下一个观测时间R-1 得到 J 相对于xR-1的梯度 ，从 再积分伴随方程到R-2， ,伴随程序的书写技巧和检验。 （大气模式，资料同化和可预报性，气象出版社，2005）,伴随模式的解析形
5、式只能作为理论推导用，实际问题是离散化的，预报程序中还有些是不能写成解析公式的。要保证相应的伴随模式严格成立，通常的作法是先根据原模式计算程序写出切线性模式程序，再直接根据切线性模式程序一一对应地写出伴随程序。一个天气预报模式的程序有上万条语句，首先写出他的切线性模式程序，然后根据切线性模式程序写出伴随程序，工作量是巨大的。 按照一定的规则来写。,切线性模式的检验：,分别是非线性和切线性模式在r时刻的预报。,伴随模式的检验： 以z为输入积分切线性模式y=Prz, 以y为输入反向积分伴随模式 w=PrTy. 应该有yTy=zTw, 因为 zTPrTy=yTPrz,梯度检验：,是单位向量,关于4D
6、VAR的评论 好处：利用完整的模式方程约束，同化场动力上 协调，可以同时同化多时刻资料，容易加 入其它约束。已经成功运用。 问题：不考虑模式误差；B 距阵不随时间变化（为了减少求逆困难 要简化B）；伴随模式程序编写维护工作量大。,对改进4DVAR所作的努力 （1）增量方法，减少计算量（用低分辨率模式）,（2）反向4DVar（王斌 赵颖，气象学报 2005.5） 提出了映射观测的新概念和反向四维变分资料同化的新思路,并以此为基础建立了三维变分映射资料同化(缩写为3DVM ). 由3DVM得到的初值不在同化窗口的始端,而在窗口的末端. 3DVM所花计算时间只需4DVar的1/7. （3）4DVAR和EnKF结合,（4）显式四维变分资料同化方法 （邱崇践 张蕾邵爱梅，中国科学D，2007.5）将SVD技术用于四维空间的预报集合, 这样得到的奇异向量就不但可以表征模式变量的空间结构，也可以包含其时间演变特征. 它在一定的近似程度内保留了传统的4DVAR的基本优点，但是实现起来会非常简单. 分析增量按照奇异向量展开：（V是4维空间奇异 向量构成距阵）代入目标函数可以直接求梯度,再 见,
