1、1, 晶体在几何外形上表现出明显的对称性对称性的性质也在物理性质上得以体现,介电常数表示为二阶张量,电位移,1.5 晶体的宏观对称性,晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称为晶体的宏观对称性. 晶体的宏观对称性是在晶体微观对称性基础上表现出来的.,2,电位移, 对于立方对称的晶体,介电常数看作一个简单的标量,3, 六角对称晶体将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内,介电常数,4,平行轴(六角轴)分量,垂直于六角轴分量, 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的,5, 原子的周期性排列形成晶格不同的晶格表现出不同的宏观对称性,晶体宏观对称性 考察晶
2、体在正交变换的不变性, 三维情况下，正交变换的表示, 矩阵是正交矩阵,晶体的宏观对称性的描述,6, 绕z轴转角的正交矩阵,7, 中心反演的正交矩阵, 空间转动，矩阵行列式等于1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1,8,一个晶体在某一变换后，晶体在空间的分布保持不变，这一变换称为对称性操作。,对称操作的数目越多，晶体的对称性就越高，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成。如果包括平移，有230种对称类型，称为空间群。若不包括平移，有32种宏观对称类型，称为点群。,9,1.转动,将晶体绕某轴旋转一定角度后，晶体能自身重合的操作。若转动的角度2/n ,则称该轴为n重旋转轴。,由于晶体周期性的
3、制约，晶体只有1，2，3，4，6五种转轴，也用C1，C2，C3，C4，C6表示。,10,为什么没有5度旋转轴？,设B1ABA1是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻的两个格点。,若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴顺时针转角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格点B也有一转轴u。,是 的整数倍，,11,相反若逆时针转 角后能自身重合，则,是 的整数倍，,综合上述证明得：,12,晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。因为不符合空间格子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布满整个平面。,13,2.中心反演,将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1,-x2,-x3）的操作
4、。,14,3.镜面反演,以x1=0的平面为镜面，将任一点（x1,x2,x3）变成 （-x1, x2, x3）的操作。,4.旋转反演操作（象转操作）,若绕某轴旋转2/n 角度后再经中心反演，晶体能自身重合，则称该操作为旋转反演操作，此轴称为n度旋转反演轴。n=1,2,3,4,6.分别用 表示。,16,1 立方体的对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 9个对称操作,17,18, 8个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动,4) 正交变换(不动), 1个对称操作,19, 立方体的对称操作共有48个,5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作,20,2 正四面体的对称操作, 四个原子位于正四面体的
5、四个顶角上, 金刚石晶格, 对称操作包含在立方体操作之中,21, 共有3个对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 8个对称操作,2) 绕4个立方体对角线轴转动,3) 正交变换, 1个对称操作,22, 6个对称操作, 6个对称操作, 正四面体对称操作共有24个,23,3 正六面柱的对称操作,1) 绕中心轴线转动, 5个, 3个,3) 绕相对面中心连线转动, 3个,4) 正交变换,5) 12个对称操作加中心反演, 正六面柱的对称操作有24个,2) 绕对棱中点连线转动, 1个,24,对称素 简洁明了地概括一个物体的对称性,对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴, 物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作
6、以及其联合操作的倍数不变时 该轴为n重旋转反演轴，计为,4 对称素, 物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时 该轴为n重旋转轴，计为,25,面对角线 为2重轴，计为2, 立方体,立方轴 为4重轴，计为4,同时也是4重旋转反演轴，计为,同时也是2重旋转反演轴，计为,26,体对角线轴 为3重轴，计为3,同时也是3重旋转反演轴，计为,27, 正四面体,体对角线轴是3重轴 不是3重旋转反演轴,立方轴是4重旋转反演轴 不是4重轴,面对角线是2重旋转反演轴 不是2重轴,28, 对称素 的含义, 先绕轴转动角度，再作中心反演, A点是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像, 对称素 存在一个对称面M, 用
7、 表示,一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群, 对称素为镜面,29,旋转-反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：,30,正四面体既无四度轴也无对称心,31,1，2，3，4，6 度旋转对称操作。,1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。,(3)中心反演：i。,(4)镜象反映：m。,C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）,点对称操作：,(2)旋转反演对称操作：,(1)旋转对称操作：,独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,32,立方体对称性,(1)立方轴C4：,
8、3个立方轴；,4个3度轴；,(2)体对角线C3：,(3)面对角线C2：,6个2度轴；,33,所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转-反演点对称操作构成的群，称作点群。,理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。,如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。,34,（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，晶体能自身重合
9、，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。,（6）滑移反映面：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移T/n后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4。,35,点群（32种）,Schnflies符号：用主轴脚标表示,国际符号：以特征方向的对称性来表示,主轴：Cn、Dn、Sn、T和O,Cn：n次旋转轴,Sn : n次旋转反映轴,Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴,T： 四面体群,O： 八面体群,脚标：h、v、d,h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面,v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称
10、面,d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面,36,晶体的宏观对称类型：,八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。,由此，推出晶体所属的32个点群。,轴 C1 C2 C3 C4 C6,轴面,mh,mv,CS C2h C3h C4h C6h,C2V C3V C4V C6V,轴21面,无面,D2 D3 D4 D6,mh,mv,D2h D3h D4h D6h,D2d D3d,轴mi,Ci C3i S4,正四面体 T Th Td,正八面体 O Oh,37,5 群的概念, 群代表一组“元素”的集合，G E, A ,B, C, D 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质,1) 集
11、合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性,2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A,3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E,4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C,38,正实数群 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为运算法则,整数群 所有整数的集合，以加法为运算法则, 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 连续操作,39,单位元素 不动操作,任意元素的逆元素 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；,连续进行A和B操作 相当于C操作
12、,A 操作 绕OA轴转动/2 S点转到T点,B 操作 绕OC轴转动/2 T点转到S点,S,40,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,表示为, 群的封闭性,可以证明, 满足结合律,S,41,6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 1, X，Y，Z轴分量, X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向,假设电场沿Y轴方向,42,将晶体和电场同时绕Y轴转动/2,转动的实施 电场没变 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别,应有,43,将晶体和电场同时绕Z轴转动/2,假设电场沿Z轴方向,所以,44, 再取电场方向沿111方向,45, 绕111轴转动2/3,晶体经历的一个对称操作,46, 正四面体晶体上述结论亦然成立, 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率等,47,立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 2,对称操作对应的正交变换,且有,介电常数, 在坐标变换下,48,A为对称变换, 对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2,49,代入,进一步选择其它的对称操作，最后得到,对于n阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示,在坐标变换下,如果A为对称操作, 可简化n阶张量,
