1、探索平方差公式的几何意义陕西省咸阳市武功县贞元中学(邮编:712200) 许雨玲平方差公式（a+b） （a-b）=a 2-b2 的应用十分广泛，能够灵活运用该公式进行计算是整式乘法学习的重要内容之一。学习中要善于观察，多分析，掌握公式的结构特征，真正理解公式，才能在解题中运用自如，避免出现错误。下面我们从几何意义方面对该公式全新的认识。首先认识公式的特征：（a+b） （a-b ）=a 2-b2 公式的左边是两数和与这两数差的积的形式，公式右边恰好是这两数的平方差，我们要弄清来源自然易记。若要用几何图形来表示，如图（1）所示，阴影部分面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即为a2-b2
2、 公式的右边。下一步关键是如何将阴影部分拼揍成一个规则的图形，且让它的面积为（a+b） （a-b ）即为公式的右边，再利用图形拼揍前后面积相等得到平方差公式。拼法一：将图（1）沿虚线把长方形剪下来，恰好拼到图（2）中所示长方形的位置，得到一个新长方形：长为（a+b） ，宽为（a-b） ，即它的面积为（ a+b） （a-b） 。从而验证（a+b） （a-b ）=a 2-b2 。 拼法二：将图(3)沿虚线剪下来，阴影部分正好分成两个全等的ab图1a+ba-b 图2直角梯形，按图（4）所示的方法拼成一个等腰梯形，上底为 2b,下底为 2a ,高为 a-b，所以此等腰梯形的面积 12(2a-2b)(a
3、-b) ，为化简后（a+b） （a-b）,从而可得（a+b） （a-b）=a 2-b2拼法三：将图（3）沿虚线剪下来恰好拼成一个长方形如图（5）所示，长为 （a+b） ，宽为（a-b） ，所以长方形的面积为 （a+b）（a-b） ，即可得：（a+b） （a-b）=a 2-b2拼法四：将图（3）沿虚线剪下来恰好有拼成一个平行四边形如图（6）所示，底边长为（a+b） ，高为（a-b） ，则平行四边形的面积为（a+b ） （a-b） ，又一次验证：（a+b） （a-b）=a 2-b2如果我们把图（1）中的小正方形移到大正方形的内部（不一定在中间）时，当然阴影部分的面积仍是 a2-b2 ，如图（7）所
4、示，还能将阴影部分拼成一个规则的图形吗？我们不妨试一试：拼法五：将图（7）沿虚线剪下来，得到四个小长方形，这是恰好可拼成如图（8）所示的长方形，长为（a+b） ，宽为（a-b ） ，则长方形的面积为（a+b ） （a-b ） ，再一次验证了平方差公式。aa-b b图3 a ab b图4a+ba-b 图5 a+ba-b图6 ab 图8a+ba-b 图7通过以上五种拼法，均可得到平方差公式，让我们进一步认识平方差公式的特点，利用数形结合的思想在拼图时将阴影部分拼成一个规则图形，同时让拼后的图形面积必须表示为（a+b） （a-b ） ，从中我们认识到几何图形的多样性，便于思考问题时思路开阔，方法灵活。
