1、-_等腰三角形典型例题练习2等腰三角形典型例题练习一选择题（共 2 小题）1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A5cm B3cm C2cm D不能确定2如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD和等边BCE ，连接 AE 交 CD 于 M，连接 BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二填空题（共 1 小题）3如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC
2、，AC ，AB 上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则 DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 _ 三解答题（共 15 小题）4在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 EDF+EAF=180，求证 DE=DF5在ABC 中， ABC、 ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明DE=BD+EC36已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至
3、 E，使 CE=CD连接 DE（1）E 等于多少度？（2）DBE 是什么三角形？为什么？8如图，在ABC 中， ACB=90，CD 是 AB 边上的高，A=30 求证：AB=4BD 9如图，ABC 中，AB=AC ，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且 BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF10已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE411 （2012牡丹江）如图 ，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、
4、F 、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 APPEAB，PFAC，CH AB，SABP= ABPE，S ACP= ACPF，S ABC= ABCH又 SABP+SACP=SABC， ABPE+ ACPF= ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则AB 边上的高 CH= _ 点 P 到 AB 边的距离 PE= _ 12数学课上，李老师
5、出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE _ DB（填“”， “”或“=” ） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是： AE _ DB（填“”， “”或“ =”） 理由如下：如图 2，过点 E作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题5在
6、等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为 1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果） 13已知：如图，AF 平分BAC，BC AF 于点 E，点 D 在 AF 上，ED=EA，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点M若BAC=2 MPC，请你判断 F 与MCD 的数量关系，并说明理由14如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD 的度数15如图，在ABC 中，AB=BC，AB
7、C=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、EF和 CF，求证：AE=CF16已知：如图，在OAB 中，AOB=90，OA=OB，在EOF 中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、BF 问线段AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由617 （2006郴州）如图，在 ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为E，F， CG 是 AB 边上的高（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上， （1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明
8、理由18如图甲所示，在ABC 中，AB=AC ，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高） ，即 PD+PE=CF，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想 PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明7等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A 5cm B 3cm C 2cm D 不能确定解答： 解：C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 DD 到 AB 的距离即为 CD 长 CD
9、=53=2 故选 C2如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD 和等边BCE，连接AE 交 CD 于 M，连接 BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB 其中正确结论的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3分析： 由 ACD 和BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得ACE DCB，即可得 正确；由ACE DCB，可得EAC=NDC，又由 ACD=MCN=60，利用 ASA，可证得ACMDCN，即可得正确；又可证得CMN 是等边三角形，即可证得正确解答： 解：ACD 和BCE 是等边三
10、角形， ACD=BCE=60，AC=DC ，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACE DCB（SAS） ，AE=BD，故 正确；EAC=NDC，ACD=BCE=60， DCE=60，ACD=MCN=60，AC=DC， ACMDCN（ASA） ，CM=CN，故正确；又MCN=180 MCANCB=1806060=60，CMN 是等边三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正确故选 D二填空题（共 1 小题）3如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 上的点，DEAC ，EF AB，FDBC，则DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3
11、分析： 首先根据题意求得： DFE=FED=EDF=60，即可证得DEF 是正三角形，又由直角三角形中， 30所对的直角边8是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF：AB=1 ： ，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答： 解：ABC 是正三角形，B= C=A=60，DEAC，EF AB，FDBC ， AFE=CED=BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE=FED=EDF=60， ，DEF 是正三角形， BD：DF=1： ，BD：AB=1：3 ， DEFABC， = ， DF：AB=1： ，DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3故答案为：1：3三解答题（
12、共 15 小题）4在ABC 中， AD 是 BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且EDF+ EAF=180，求证 DE=DF分析： 过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，根据角平分线性质求出 DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED= CFD，根据全等三角形的判定 AAS 推出EMDFND 即可解答： 证明：过 D 作 DMAB，于 M，DN AC 于 N，即EMD=FND=90 ，AD 平分BAC ， DMAB，DNAC，DM=DN （角平分线性质） ， DME=DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180 =180，AFD+N
13、FD=180，MED=NFD，在 EMD 和FND 中，EMD FND，DE=DF5在ABC 中， ABC、ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明 DE=BD+EC9分析： 根据 OB 和 OC 分别平分 ABC 和ACB，和 DEBC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答： 解：在ABC 中，OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，DBO=OBC， ECO=OCB，DEBC， DOB=OBC=DBO，EOC=OCB= ECO，DB=DO，OE=EC， DE=DO+OE，DE=BD+EC6
14、已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由分析： 用（HL）证明 EBDFCD，从而得出EBD=FCD ，即可证明ABC 是等腰三角形解答： ABC 是等腰三角形证明：连接 AD，DEAB，DF AC， BED=CFD=90，且 DE=DF，D 是ABC 的 BC 边上的中点，BD=DC ，RtEBDRtFCD（HL） ，EBD= FCD，ABC 是等腰三角形7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E，使 CE=CD连接 DE（1）E 等于多少度？（2）DBE 是什
15、么三角形？为什么？分析： （1）由题意可推出 ACB=60，E=CDE，然后根据三角形外角的性质可知： ACB=E+CDE，即可推出 E 的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD 不但为 AC 边上的高，也是ABC 的角平分线，即得： DBC=30，然后再10结合（1）中求得的结论，即可推出DBE 是等腰三角形解答： 解：（1）ABC 是等边三角形， ACB=60，CD=CE，E= CDE，ACB= E+CDE， ，（2）ABC 是等边三角形，BDAC，ABC=60 ， ，E=30，DBC= E，DBE 是等腰三角形8如图，在ABC 中，ACB=90 ，CD 是 AB 边上的高， A=30
16、求证：AB=4BD分析： 由 ABC 中，ACB=90 ， A=30可以推出 AB=2BC，同理可得 BC=2BD，则结论即可证明解答： 解：ACB=90 ，A=30，AB=2BC，B=60 又CD AB， DCB=30，BC=2BDAB=2BC=4BD9如图，ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且 BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF分析： 过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，由平行线的性质得1=2，4= 3，再根据等腰三角形的性质可得B= 2，则B=1，于是有 DB=DG，根据全等三角形的判定易得DFG EFC，即可得到结论解答
17、： 证明：过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，如图，1=2，4=3，AB=AC，B= 2，B=1，DB=DG，而 BD=CE，DG=CE，在 DFG 和EFC 中，DFG EFC，DF=EF10已知等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE11分析： 延长 CE，BA 交于一点 F，由已知条件可证得BFE 全BEC，所以 FE=EC，即 CF=2CE，再通过证明ADB FAC 可得 FC=BD，所以 BD=2CE解答： 证明：如图，分别延长 CE，BA 交于一点 FBEEC，FEB=
18、CEB=90 ，BE 平分ABC， FBE=CBE，又BE=BE，BFEBCE （ASA） FE=CE CF=2CEAB=AC，BAC=90 ， ABD+ADB=90，ADB=EDC，ABD+ EDC=90又DEC=90， EDC+ECD=90， FCA=DBC=ABDADBAFC FC=DB，BD=2EC11 （2012牡丹江）如图 ，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点， PEAB，PF AC，CHAB，垂足分别为 E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 APPEAB，PF AC，CHAB， SABP= ABPE，S ACP= ACPF，S ABC= ABCH又S
19、 ABP+SACP=SABC， ABPE+ ACPF= ABCHAB=AC， PE+PF=CH（1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变， PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若 A=30， ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH= 7 点 P 到 AB 边的距离 PE= 4 或 10 分析： （1）连接 AP先根据三角形的面积公式分别表示出 SABP，S ACP，S ABC，再由 SABP=SACP+SABC 即可得出PE=PF+PH；（2）先根据
20、直角三角形的性质得出 AC=2CH，再由ABC 的面积为 49，求出 CH=7，由于 CHPF ，则可分两种情况进行讨论：P 为底边 BC 上一点，运用结论 PE+PF=CH； P 为 BC 延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解答： 解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PF AC，CHAB， SABP= ABPE，S ACP= ACPF，S ABC= ABCH，SABP=SACP+SABC， ABPE= ACPF+ ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH ；（2）在ACH 中， A=30， AC=2CH12SABC= ABCH，AB=AC， 2CHCH=49， CH=7
21、分两种情况：P 为底边 BC 上一点，如图 PE+PF=CH，PE=CH PF=73=4；P 为 BC 延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为 7；4 或 1012数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“”， “”或“= ”） （2）特例启发，解答
22、题目解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE = DB（填“ ”， “”或“= ”） 理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若 ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD 的长（请你直接写出结果） 分析： （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D= ECB=30，求出DEB=30，求出 BD=BE 即可；（2）过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，求出等边三角形 AEF，证DEB 和ECF 全等，求出 BD=EF 即
23、可；（3）当 D 在 CB 的延长线上，E 在 AB 的延长线式时，由（2）求出 CD=3，当 E 在 BA 的延长线上，D 在 BC 的延长线上时，求出 CD=1解答： 解：（1）故答案为：= （2）过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，等边三角形 ABC，ABC=ACB= A=60，AB=AC=BC，AEF=ABC=60，AFE=ACB=60 ，即 AEF=AFE=A=60，AEF 是等边三角形， AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60，DBE=EFC=120，D+BED=FCE+ ECD=60，DE=EC，D= ECD，BED=ECF，在 DEB 和ECF 中13，DEBECF
24、，BD=EF=AE ，即 AE=BD，故答案为：=（3）解：CD=1 或 3，理由是：分为两种情况：如图 1过 A 作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AMEM，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM= BC= ， DE=CE，ENBC，CD=2CN ，AMEN，AMB ENB， = ， = ，BN= ，CN=1+ = ， CD=2CN=3；如图 2，作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AMEM，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM= BC= ， DE=CE，ENBC，CD=2CN ，AMEN， =
25、， = ， MN=1， CN=1 = ，CD=2CN=113已知：如图，AF 平分BAC，BCAF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点 M若BAC=2MPC，请你判断F 与MCD 的数量关系，并说明理由14分析： 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出 AB=AC=CD，推出CDA= CAD=CPM，求出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在 DCM 和PMF 中根据三角形的内角和定理求出即可解答： 解：F=MCD，理由是：AF 平分BAC ，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90，在 ACE 和ABE 中 ，
26、 ACEABE（ASA）AB=AC ，CAE=CDEAM 是 BC 的垂直平分线，CM=BM，CE=BE ，CMA=BMA，AE=ED，CEAD， AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA， MPF=CDM，MPF=CDM（等角的补角相等） ，DCM+CMD+CDM=180，F+ MPF+PMF=180，又PMF=BMA=CMD ，MCD=F14如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD 的度数分析：
27、 （1）根据等边三角形的性质可知BAC= C=60，AB=CA ，结合 AE=CD，可证明ABE CAD，从而证得结论；（2）根据BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知 BFD=CAD+BAD=BAC=60解答： （1）证明：ABC 为等边三角形， BAC=C=60，AB=CA 在 ABE 和CAD 中，ABECADAD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD， ABE=CADBFD= CAD+BAD=BAC=6015如图，在ABC 中，AB=BC ，ABC=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、EF 和 CF，求证：AE=CF15
28、分析： 根据已知利用 SAS 即可判定ABE CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到 AE=CF解答： 证明：ABC=90 ，ABE=CBF=90，又AB=BC，BE=BF ，ABECBF（SAS） AE=CF 16已知：如图，在OAB 中，AOB=90，OA=OB，在EOF 中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、BF问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由分析： 可以把要证明相等的线段 AE，CF 放到AEO，BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去BOE 的结果，当然相等了，由此可以证明AEO BFO；延
29、长 BF 交 AE 于 D，交 OA 于 C，可证明BDA=AOB=90 ，则 AEBF解答： 解：AE 与 BF 相等且垂直，理由：在AEO 与 BFO 中，RtOAB 与 RtOEF 等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90BOE=BOF，AEOBFO， AE=BF延长 BF 交 AE 于 D，交 OA 于 C，则ACD=BCO，由（1）知OAE=OBF ，BDA=AOB=90，AEBF17 （2006郴州）如图，在 ABC 中，AB=AC，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为 E，F，CG 是 AB边上的高（1）DE，DF ，CG 的长之间
30、存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上， （1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由16分析： （1）连接 AD，根据三角形 ABC 的面积=三角形 ABD 的面积+三角形 ACD 的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形 ABC 的面积=三角形 ABD 的面积三角形 ACD 的面积解答： 解：（1）DE+DF=CG证明：连接 AD，则 SABC=SABD+SACD，即 ABCG= ABDE+ ACDF，AB=AC，CG=DE+DF（2）当点 D 在 BC 延长线上时， （1）中的结论不成立，但
31、有 DEDF=CG理由：连接 AD，则 SABD=SABC+SACD，即 ABDE= ABCG+ ACDFAB=AC， DE=CG+DF，即 DEDF=CG同理当 D 点在 CB 的延长线上时，则有 DEDF=CG，说明方法同上18如图甲所示，在ABC 中，AB=AC，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高） ，即PD+PE=CF，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想 PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明17分析： 猜想：PD、PE 、 CF 之间的关系为 PD=PE+CF根据SPAB= ABPD，S PAC= ACPE，S CAB= ABCF，S PAC=ACPE， ABPD= ABCF+ ACPE，即可求证解答： 解：我的猜想是：PD、PE 、CF 之间的关系为 PD=PE+CF理由如下：连接 AP，则 SPAC+SCAB=SPAB，SPAB= ABPD，S PAC= ACPE，S CAB= ABCF，又AB=AC ， SPAC= ABPE， ABPD= ABCF+ ABPE，即 AB（PE+CF）= ABPD，PD=PE+CF
