1、第 1 页，共 15 页四边形综合题1. 已知 是等腰直角三角形， ，点 D 是边 BC 上的一个 =90， =动点 不运动至点 ，点 E 在 BC 所在直线上，连结 ，且 ( ， ) ， =45若点 E 是线段 BC 上一点，如图 1，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连结(1)， ， ， 求证： ； 若 ，求 CE 的长；=1， =2如图 2，若 ，求 CE 的长 直接写出答案即可 (2) =85， =2 .( )【答案】解： 点 D 与点 F 关于直线 AE 的对称，(1)垂直平分 DF，=，=45即 ，=90，+=90，=90，+=90，=在 与 中，= ；()由 可得： ， ，
2、=45， =1，=+=90垂直平分 DF，=2；=22=3第 2 页，共 15 页或 (2)=354理由：如图所示，当点 E 在 BC 延长线上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连结， ， ， 根据 ，可得，=85在等腰直角三角形 ABC 中，=2，=2，=25，=+25=在 中， ，2+(85)2=(+25)2解得 ；=3如图所示，当点 E 在线段 BC 上时，作点 D 关于直线AE 的对称点 F，连结 ， ， ， 根据 ，可得 ， =25，=25=又 ，=2在 中， ， (25)2+(2)2=(25)2解得 =54【解析】 根据轴对称的性质，得到 ，再根据同角(1) =， =45
3、的余角相等，得到 ，即可判定 ；= ()由 可得： ，据此得出 ，进而得 =45， =1到 ，再根据 ，运用勾股定理求得 CE 即可；=+=90 =2分两种情况进行讨论：当点 E 在 BC 延长线上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点(2)F，连结 ；当点 E 在线段 BC 上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连， ， 结 分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得 CE 的长即可， ， .本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用2. 如图 ，
4、在矩形 ABCD 中， ，在 BC 边上取两点 E、 点 E 在点 =3， =3 (F 的左边 ，以 EF 为边所作等边 ，顶点 P 恰好在 AD 上，直线 PE、PF 分) 别交直线 AC 于点 G、H求 的边长；(1)第 3 页，共 15 页若 的边 EF 在线段 CB 上移动，试猜想：PH 与 BE 有何数量关系？并证(2)明你猜想的结论；若 的边 EF 在射线 CB 上移动 分别如图 和图 所示， 不与(3) ( 1， A 重合 中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论)， (2)【答案】解： 过 P 作 于 如图 ，(1) ( 1)四边形 ABCD 是矩形，即 ， =90
5、又 ，/，=3是等边三角形，=60在 中， ，=30设 ，根据勾股定理得： ，=2， =， =3 (2)2=2+(3)2解得： ，故 ，=1 =2的边长为 2；，理由如下：(2)=1在 中， ， =3， =3由勾股定理得 ， =23，=12=30，/， =60，=60，=30=，=是等腰三角形，作 于 如图 ( 2)中， ，=60，=12=1=1第 4 页，共 15 页结论不成立，(3)当 时， ，12 =1当 时， 23 =1【解析】 过 P 作 ，垂足为 Q，由四边形 ABCD 为矩形，得到 为直角，且(1) ，得到 ，又 为等边三角形，根据“ 三线合一”得到 为/= ，在 中，设出 QF
6、 为 x，则 ，由 PQ 的长，根据勾股定理列出关30 =2于 x 的方程，求出 x 的值，即可得到 PF 的长，即为等边三角形的边长；，过 E 作 ER 垂直于 AD，如图所示，首先证明 为等腰三角形，(2)=1 在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得 ，在 中，=60 ，根据直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，由 PE 求出=30 30PR，由 ，则 ，即可得到两线段的关系；= =当若 的边 EF 在射线 CB 上移动时 中的结论不成立，由 的解题思路可知(3) (2) (2)当 时， ，当 时， 12 =123 =1此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三
7、角形的性质及直角三角形的性质 学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量.代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系3. 已知，正方形 ABCD 中， 绕点 A 顺时针旋转，它的两边长=45， 分别交 CB、 或它们的延长线 于点 M、 于点 H( ) ， 如图 ，当 点 A 旋转到 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关(1) =系：_ ；如图 ，当 绕点 A 旋转到 时， 中发现的 AH 与 AB 的数量关(2) (1)系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；如图 ，已知 于点 H，且 ，求 AH(3) =45， =2， =
8、3的长【答案】 =【解析】解： 如图 ，(1) =四边形 ABCD 是正方形，=， =90在 与 中， ，=第 5 页，共 15 页 ，=， =，=12=22.5，+=45，=22.5在 与 中， ，=90= ，；=故答案为： ；=数量关系成立 如图 ，延长 CB 至 E，使 (2) . =是正方形，=， =90在 和 中， ，= ，=， =，=45在 和 中， ，= ，=， =、AH 是 和 对应边上的高， ；=如图 分别沿 AM、AN 翻折 和 ，(3) 得到 和 ，=2， =3， =90分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD，由 可知， ，(2) =设 ，则 ，= =2
9、， =3在 中，由勾股定理，得 ， 2=2+2，52=(2)2+(3)2解得 不符合题意，舍去 1=6， 2=1( )=6由三角形全等可以证明 ，(1) =第 6 页，共 15 页延长 CB 至 E，使 ，证明 ，能得到 ，(2) = =分别沿 AM、AN 翻折 和 ，得到 和 ，然后分别延长 BM(3) 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCE，设 ，则 ，在= =2， =3中，由勾股定理，解得 x本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力4. 已知在四边形 ABCD
10、中，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的一点如图 1：当四边形 ABCD 是正方形时，作出将 绕点 A 顺时针旋转 90 度(1) 后的图形 ；并判断点 M、B、C 三点是否在同一条直线上_ 填是或否 (；)如图 1：当四边形 ABCD 是正方形时，且 ，请直接写出线段(2) =45EF、BE、DF 三者之间的数量关系_ ；如图 2：当 是 的一半，问： 中的数(3) =， =90， (2)量关系是否还存在，并说明理由；在 的条件下，将点 E 平移到 BC 的延长线上，请在图 3 中补全图形，并写出(4)(3)EF、BE、DF 的关系【答案】是； =+【解析】 解：如图 1：(1)根据旋转的
11、性质， ，=90四边形 ABCD 是正方形，=90、B、C 三点在一条直线上故答案为：是；由旋转的性质可得： ，(2) =， =， =四边形 ABCD 是正方形， ， =45，+=45，=+=45，=在 和 中，第 7 页，共 15 页，= ，()；=+=+故答案为： ；=+存在(3)理由如下：延长 CB 到 P 使 ，=，=90，=90，=在 和 中，= ，()，=， =，=12，+=，+=即： ，=在 和 中，= ，()，=；=+如图 3，补全图形(4)证明：在 BC 上截取 ，=，=90，=90，=在 和 中，= ，()，=， =， =12第 8 页，共 15 页，+=12，+=12，=
12、12=在 和 中，= ，()，=首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由 ，证得(1) =90点 M、B 、C 三点共线；首先由旋转的性质可得： ，然后由(2) =， =， =，证得 ，继而证得 ，继而证得结论；=45 = 首先延长 CB 到 P 使 ，证得 ，再证得 (3) = ()，继而证得结论；()首先在 BC 上截取 ，证得 ，再证得 (4) = ()，即可得 ()=此题属于四边形的综合题 考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质 注意掌握旋. .转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键5. 正方形 ABCD 中，点 E 是射线 AB 上一动点，点 F 是线段 BC
13、延长线上一动点，且 ，=如图 1，连接 DE、DF，若正方形的边长为 ，求 EF 的长？(1) 4， =3如图 2，连接 AC 交 EF 与 G，求证： ；(2) =2+2如图 3，当点 E 在 AB 延长线上时， 仍保持不变，试探索线段(3) =AC、AE、CG 之间的数量关系，并说明理由【答案】 解： 正方形的边长为 ，(1) 4， =3，=43=1， =，=3，=+=7第 9 页，共 15 页；=2+2=52证明：如图 2，作 交 AC 于 H，(2) /四边形 ABCD 是正方形，=45，=2， =，又 ，= /，即 ，= =2；=+=2+2(3)=22证明：如图 3，作 交 AC 的
14、延长线于 P，/四边形 ABCD 是正方形，=45，=2，=，又 ，= /，即 ，= =2=22【解析】 根据题意分别求出 BE、BF 的长，根据勾股定理计算即可；(1)作 交 AC 于 H，根据正方形的性质得到 ，根据勾股定理得到(2)/ =45，根据平行线分线段成比例定理得到 ，得到答案；=2 =2作 交 AC 的延长线于 P，与 的方法类似，证明即可(3)/ (2)本题考查的是正方形的性质、平行线分线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键6. 如图，正方形 ABCD 边长为 6，菱形 EFGH 的三个顶点E、G、H 分别在正方形 ABCD
15、 的边 AB、CD、DA 上，连接 CF求证： ；(1) =当 时，求证：菱形 EFGH 为正方形；(2)=2设 的面积为 y，求 y 与 x 之(3)=2， =， 间的函数解析式，并直接写出 x 的取值范围；求 y 的最小值(4)【答案】 证明：如图 1，连接 GE，(1)，/，=，/，=；=证明： 四边形 ABCD 是正方形，(2) ，=90第 10 页，共 15 页四边形 EFGH 是菱形， =在 和 中，= ，又 ，=+=90，+=90，=90菱形 EFGH 为正方形；解：作 ，交 DC 的延长线于 M，(3) 在 和 中，= ，=2，=，=6；=12=122(6)=6(026)，(4
16、)=10随 x 的增大而减小，时，y 的最小值是 =26 626【解析】 连接 GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到 ，根据菱(1) =形的性质和平行线的性质得到 ，解答即可；=证明 ，得到 ，证明 ，根据正方形(2) = =90的判定定理证明；作 ，证明 ，得到 ，根据三角形的面积公(3) =2式得到解析式；根据一次函数的性质：当 时，y 随 x 的增大而减小解答即可(4) 0本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键7. 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为射线 AC
17、 上一点，连接 DE，过点 E 作 ，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG如图 1，当点 E 在线段 AC 上时(1)求证：矩形 DEFG 是正方形；求证： ； =+如图 2，当点 E 在线段 AC 的延长线上时，请你在图 2 中画出相应图形，并直(2)接写出 AC、CE、CG 之间的数量关系；第 11 页，共 15 页直接写出 的度数(3) 【答案】 证明：作 于 于 Q，(1) ， ，=，=，+=45， +=45，=在 和 中，= ，=矩形 DEFG 是正方形；，+=90， +=90，=在 和 中，= ，=；=+=+， (2)+=证明：由 得，矩形 D
18、EFG 是正方形，(1)，=，=90，=在 和 中，= ，=；+=如图 1，当点 E 为线段 AC 上时，(3)第 12 页，共 15 页 ， =45；=+=135如图 2，当点 E 为线段 AC 的延长线上时，=45【解析】 作 于 于 Q，证明 ，得到(1)， ，根据正方形的判定定理证明即可；=根据三角形全等的判定定理证明 ，得到 ，证明结论； =根据题意画出图形，与 的方法类似，证明 ，得到 ，即可(2) (1) =得到答案；根据全等三角形的性质和点 E 的不同位置求出 的度数(3) 本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意
19、分情况讨论思想的运用8. 在 中， ，点 为所在平面内一点，过点 P 分别作 交= /AB 于点 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F ， /当点 P 在 BC 边上 如图 时，请你探索线段 与之间的数量(1) ( 1) ， ， ， 关系，并给出证明；当点 P 在 内 如图 时， 中的结论是否成立？若成立，请给出证明；(2) ( 2) (1)若不成立，线段 与之间又有怎样的数量关系， ， ， 当点 P 在 外 如图 时，线段 与之间又有怎样的数量(3) ( 3) ， ， ， 关系【答案】 答： (1) +=证明如下： 点 P 在 BC 上，=0，/， /四边形 PFAE 是平行四边形，=，/
20、，=，=，=，+=+=，=0；+=第 13 页，共 15 页证明： ，(2) =，=，/，=，=，=+，/， /四边形 PFAE 是平行四边形，=，+=；+=证明：同 可证 ，(3) (2) =， =，+=，+=+=【解析】 先求出四边形 PFAE 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得(1)，再根据两直线平行，同位角相等可得 ，然后求出 ，= = =利用等角对等边求出 ，然后求解即可；=根据等边对等角可得 ，再根据两直线平行，同位角相等可得 ，(2) = =然后求出 ，再根据等角对等边可得 ，然后求出四边形 PFAE= =+是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得 ，然后求出 ，= +=等
21、量代换即可得证；证明思路同 (3) (2)本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小题与前面小题的求解思路相同9. 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，F 是 CD 上一点，连接 AE、AF、EF，且 =如图 1，求证：AF 平分 ；(1) 如图 2，若 ，求证： ；(2) =90 =+在 的条件下，若 ，求 AF 的长(3)(2) =3， =210第 14 页，共 15 页【答案】解： 证明：过点 A 作 于 G，过 A 作 于 H，过 A 作(1) 于 M，连接 AC，四
22、边形 ABCD 是菱形，平分 ， 又 ， ，=，=平分 ， 又 ， ，=，=平分 ； 四边形 ABCD 是菱形，(2)又 ，=90四边形 ABCD 是正方形，=90， 过 A 作 于 H，=90平分 ， 又 ， ，=，=在 与 中，= ()，=同理 ，()，=，=+；=+设 ，则 ，(3)= =3在 中， ，2+2=2，2+(3)2=(210)2，=2第 15 页，共 15 页，=3=6由 知四边形 ABCD 是正方形，(2)，=6，=4设 ，则 ，= =6由 知 ，(2)=+，=2+在 中， ，2+2=2，42+(6)2=(2+)2，=3在 中， ，2+2=2=32+62=35【解析】 根据菱形的性质得出 AC 平分 ，再根据角平分线的性质证明即可(1) 根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；(2)根据勾股定理进行解答即可(3)此题主要考查了菱形的性质，关键是判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL
