1、 第 1 页第一章 有理数1.1 具有相反意义的量学习目标： 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量；2.从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性；3.理解有理数的意义，会对有理数进行分类.学习重点： 用正数和负数表示一对具有相反意义量.学习难点：负数概念的建立.一：用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用 表示，例如：我们小学学过的3、125、10.5、 等大于0的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用 表示，它是在正数前面加上“32-”（读做负）号.例如：3、-1、-0.618、- 等就是负数 .32（1）0既不是 ，也不是 .（2
2、）正数和零统称为 ，负数和零统称为 .（3）通常把水结冰时的温度规定为0，那么比水结冰时的温度低5应该记作 （4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走 -50m 表示 点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为 -100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+” （读作正） ，以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就
3、是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、 在一次体 育课上，体育老 师让同学们练习踢毽子，以踢 7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、 3、4、-2、0、1、2.（1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类(1)有理数的分类第 2 页(2)有下列数：3.6、- 、78 、0、-0.37、9、-5.14、-1 ，其中53整数：
4、 分数： (3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？-0.414、-7、2.7、- 、2010 、0、 、-10.3、 23141点拨（1）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数 .（2）正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数.（即自然数）例2、把下列各数填入相应的大括号内-24、2.8、49、-5.3、 、- 、0、-（-1 ） 、-5.4214321（1）正整数集合： （2）负整数集合： （3）正分数集合： （4）负分数集合： （5）非负数集合： 达标检
5、测1、面粉厂运进200吨面粉记做+200吨，那么运出50吨面粉记作 吨.非负数非正数正整数有理数正分数有理数负整数有理数负分数第 3 页2、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为 米. 4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg 0.02kg，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果 标准.（填“符合”或“不符合” ）5、下列关于0的说法中正确的有（ ）0是整数，0是有理数 0既不是正数，也不是负数0不是整数，是有理数 0是整数，不是自然数 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个6、某班数学平
6、均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（ ）7、某种药品的说明书上标明保存温度是（20 2），请你写出适合药品保存的温度 .8、有一列数：- 、 、- 、 那么第7个数是 .21503149、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、-7、-8，则这列数的第100个和第2005个数分别是 1.2 数轴 相反数与绝对值第 4 页1.2.1 数轴学习目标： 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数形结合的数学思想.学习重点：正确画数轴；在数轴上标出表示已
7、知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数.学习难点： 数轴上的点与有理数之间的关系.1、概念点拨（1）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（同一数轴的单位长度要一致）（3）任何有理数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.（4）在数轴上，正数用原点右边的点表示， 负数用原点左边的点表示，零用原点表示，反过来，原点右边的点都表 示正数，原点左边的点都表示负数，原点表示零.（5）在数轴上标注数字时，负数的次序不能写错.数轴的画法：a、画一条直线，(一般画成水平的直线)b、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原
8、点下面标上“0”)c、确定正方向，(一般规定向右为正方向，用箭头出来；d、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为 1，2，3，从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3 。画数轴时要注意以下几点：第一画数轴时一定要牢牢把握数轴的三个要素，三者缺一不可，常见的错误有：没有方向，没有原点，单位长度不统一，负数排列错误。检测：（1）下列所画数轴是否正确？正确的画“” ，不正确的画“”.并说明错误原因.（2）把下列各数和数轴上对应的点用线连接起来（3）数轴上在原点右边距原点 3.7 个单位长度的点表示的数是 .数轴上在原点左边距原点 5/8 个单位
9、长度的点表示的数是 .数轴上距原点 2 个单位长度的点有 个，它们分别表示数 .-1 0 2 3 4 2 1 0 1 21 0 1 2 -3440 2 3 3.5 4.25-21340第 5 页(4)画一条数轴，并标出表示下列各数的点.2 0.8 0.8 2例题分析；1、数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点表示的数为（ ）数轴上的点 A 表示数 ，与点 A 距离 3 个单位长度的点 B 所表示的数为 .1322、数轴上一个点从原点开始，先向右移动 2 个单位长度，再向左移动 3 个单位长度，则该点运动的终点表示的数是 .达标检测：1.在数轴上表示+3 的点 A 在原点的 侧，距原点 个单位
10、，表示4 的点 B 在原点的 侧，距原点 个单位，AB 相距 个单位.2.有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则下列说法中正解的是（ ）A. a、b、c 都是正数. B. a、b、c 都是负数. C. a、b 是正数，c 是负数. D. a、b 是负数、c 是正数. 3.如图所示，数轴被一滴墨水污染了，被污染的点表示的有理数有 个.A.3 B.2 C.1 D.无数4.指出数轴上 A、B、O、C、D 各表示什么数. A B O C D5.分别指出数轴上表示2、34、0、1 各数的点A B C D E F G H6.画一条数轴，并在数轴上描出下列表示各数的点2、0、4、3、 217.在数轴
11、上大于1.5 而小于 1 的整数有 个,它们是 .38.数轴上一动点向左移动 2 个单位到达 B，再向右移动 5 个单位到达点 C，若点 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为 .1.2.2 相反数c 0 a b -4-23404-213403第 6 页学习目标：1.借助数轴理解相反数的概念，会求一个数的相反数.2.利用数轴上的数及点的位置特征，体验数形结合的数学思想.学习重点：求一个有理数的相反数.学习难点：互为相反数的两个点在数轴上的表示.1、知识回忆：什么叫数轴，如何画数轴？在画数轴的过程中，要注意哪些方面的问题？(口答)2.（1） 的两个数叫做互为相反数，数 a 的相反数记做（ ）
12、。（2）表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的 ，并与原点的距离 .因为（+5）读作正 5 的 ，所以（+5） .因为（5）读作负 5 的 ，所以（5） .2.8 是 的相反数， 的相反数是2 .(+0.8) 31（9） 3.点拨数 a 的相反数记作a，这里的 a 可以是正数、负数或 0，即任何一个数都只有一个相反数.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0.所以a 一定是负数吗？互为相反数的两个点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.例题分析：例 1、化简：（5 ） +（ 4 ） 21 51（9） （+2） 例 2、分别读出下列各数的相反数.8 0
13、 a+5 （ 3）54例 3、已知 a2 与5 互为相反数，求 a 的值.达标检测：1.1.6 是 的相反数， 的相反数是 312.若 a15，则a .若a8，则 a . 3.一个数的相反数的倒数是 ，则这个数是 .194.下列几对数中，互为相反数的一对为（ ） A.（6）和（+6） B.（6）和+（+6）C.+（6）和+（+6） D. （6）和+（6）5.若 m2 与+1 互为相反数，则 m 是多少？6.若数 与 互为相反数，求 a 的相反数.4a437.已知 a、b、c、d 都是不为 0 的有理数，且 a、b 互为相反数，c、d 互为相反数，求 3a+3b 的值.dc528.已知 m 为有
14、理数，试比较 m 与m 的大小.1.2.3 绝对值第 7 页学习目标：1.借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值。2.通过对a的讨论的学习，体会分类时应做到不重复、不遗漏，感受符号意识：符号是数学表达的重要形式，这里 a 可表示任意一个有理数，用符号运算具有一般性。3.通过绝对值几何意义的理解，感受数形结合的思想。学习重点：求一个数的绝对值。学习难点：对a的讨论及对绝对值几何意义的理解。1.知识回忆：在数轴上表示下列各数及它们的相反数的点：4,2,-3,-62.点拨1)绝对值的几何意义，在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。所以任意一个数的绝对值都是非负数，也称为绝对值
15、的非负性，即对于任意有理数 a 都有a0.2)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，所以 a 为有理数，则：3.检测：（1）求下列各数的绝对值3， 3.14， ， 2.851（2）2010 2.8 85（3） 画一条数轴，并标出表示绝对值等于 2、3.5 的数的点。（4）已知a=12，求 a 的值。例题分析1）若a12，求 a 的值。2）如果aa0，则 a 0，如果a+a0，则 a 0，如果aa，则 a 是 数。3）若 m、n 为有理数，且m1+n+20，则 m= ，n= 。思路点拨：1）因为绝对值等于 2 的数有 2 和2 两个，所以 a-12
16、 或 a-1-2,故 a3 或 a1。2）将等式变形得aa，故 a0，aa，故 a0。而aa，因为正数和 0 的绝对值都等于它本身，只有负数的绝对值大于它本身，所以 a 是负数。3）因为m10，n+20，所以只有当m10 和n+20 时，等式才成立，故m1，n2.达标检测：1.+2= ； = ；5= ； = ；+2.6= ； 0 = 31 21a(a0)0-a(aa B.abC.ab D. b a 思路点拨：（1）题中“不大于”是指“小于或等于” ，此题不要忽略了符合条件的负整数，所以符合条件的整数是0、1、2、3、4.（2） （3）题中将 a、b 两个有理数的相反数a、b 在数轴表示出来，借
17、助数轴来比较大小，渗透数形结合的思想.达标检测1.比较下列各组数的大小.（1）59 0 （2）0.01 0.001、b a 0 a 0 1 第 10 页（3）0.1 3.5 （4） 0.33 （5） 98 2 （6）（3） 2312.下列说法正确的是（ ）. A.有最大的正数 B.有最大的负数 C.有最大的正整数 D.有最大的负整数 3.有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）A.ca0b B、abc0 C.acb0 D.b0ac4、画数轴，在数轴上找出表示下列各数的对应点，并按从小到大的顺序排列.+5 3 0 1 2 315、已知a=5,b=3，且 ab，求 a、
18、b 的值.6.已知 a0、bb，则 a+b 的值为多少？5、小明同学在一条东西向跑道上跑步，他先向东跑了20米，又向西跑了30米，接着又向东跑了10米，试根据题意画出合适的数轴并列出算式计算，他现在位于什么位置？与原来位置相距多少米？6.若 a0，b0.a|a|，则 ab08.观察下列各等式：、 、 、 ，2462243524172410依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式 + 2成立。09、 + + + 2131415911.4.2 有理数的减法（第二课时）第 18 页学习目标：1、理解代数和的意义2、进一步理解有理数加减运算法则，熟练地进行运算，提高运算能力学习重点、难点：
19、加减混合运算中的运算序与符号的确定1、知识回忆：有理数加法法则是什么？ 有理数减法法则是什么？2.点拨1）利用有理数减法法则可以把减法转化成加法，把有理数的加减混合运算统一成加法运算后再计算，这里运用了转化思想。2）在一个和式中可以把各个加数的括号和括号前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式，称为代数和。如（+8）+（3）+7+（2）可写成83+72，读作+8、负3、正7、负2的和或读作8减3加7减2，正解理解算式中“+” 、 “”的含义，它们省双重含义，可以理解为性质符号。读作“正” 、 “负” ，也可以理解为运算符号，读作“加” 、 “减” 。3.检测题计算：（1）6（4）3+（5）（
20、2） （10.5）+（8.6）（9.6）+10（3） （3 ）（4.5）+（6.5）（2.5）1例题分析例1、计算： +（ ）（ ）+（ ） + + +3281384165321（ ）（5 ）+（4 ）（+3 ）872181例2.超市有7筐西红柿，每筐以12kg 为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下第 19 页：（单位：kg）：1、+1.5、2、0.5、1.5、1.5、1。求这7筐西红柿的总质量。 思路点拨：（1）将加减法统一成加法，可以运用加法运算律进行计算，注意每个加数应包括它前面的符号。 （2）此题引导学生用两种方法求7筐西红柿的总质量，然后比一比哪种方法较简便。
21、解：1方法一：（2）+（1.5）+2+（0.5）+（1.5）+1.5+1（1）+1+（+1.5）+（1.5）+2+（0.5）+（+1.5）=2+1=3(kg)127+3=87(kg)答：这7筐西红柿的总质量是87kg.2方法二：七筐西红柿的质量分别为(单位：kg）：11、13.5、14、11.5、10.5、13.5、13，所以7筐西红柿的总质量为：11+13.5+14+11.5+10.5+13.5+1387（kg）达标检测 1.2+3可以看作2加上3，也可以看成 。 2.把下列算式中的减法转化为加法，并写成省略加号的和的形式。（+1）（9）+（3）（4）（+2） 。 3.将6（+3）（7）+（
22、5）写成省略加号的代数和形式正确的是（ ）A.6+375 B.6375 C.63+75 D.63+754.104+35读法中正确的是（ ）A.10减去4加上3减去5 B.10减4加3减5C.10、4、+3、负5 D.负10、负4、正3、负5的和5、计算下列各题（32）17（65）+5 （ ）（ ）+（ ）213411314+2726 +0.6（2 1 ）506、有一组数按一定规律排列，依次是1、2、3、4、5、6、x、8、9，则 xy 。 7、 +4311091.5.1 有理数的乘法（1）学习目标：掌握有理数乘法法则，并能运用法则进行简单计算。第 20 页学习重点：乘法法则的推出。学习难点：运
23、用法则进行计算。我们已经熟悉了非负数的乘法运算，例如：5315，144，030.那么如何计算（5）3、3（5） 、 （5）（3）呢？1、点拨有理数乘法法则，同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘，任何数与0相乘，都得0.有理数乘法步骤：第一步，确定积的符号，第二步，计算积的绝对值。 2.检测题（1）填空：(2)计算：（ ） （ ）（ ） （ ）（1） 0（ 32415158223432）1例题分析 例1.计算： （4 ）（ ） （1.25 ）（+8） 316例2、某肉联厂的冷藏库能使冷藏品每小时降温4，如刚进库的鱼为15，进库9小时后，可达多少？思路点拨：（1）有理数乘法根据乘
24、法法则先确定积的符号再计算积的绝对值，带分数化为假分数，小数化为分数，以便于约分。 （2）因为每小时降温4，所以9小时后降温4936，故9小时后鱼的温度是：15 3621。因数 因数 积的符号 绝对值的积 积2 7 4110.3 10第 21 页达标检测 1.一个数乘以1，就是原数的 。 2.两数相乘，积为负，这两个数 。 （同号异号）3.计算（4）（ ） 。214.计算（ ）（ ）（ ）（ ）0090215.大于2且小于3的所有整数的和为 ，积为 。6.若 ab0，那么（ ）A.a=0 B.b=0 C.a、b 均为0 D.a、b 中至少有一个为0.7.两个互为相反数的数相乘，积为（ ）A.正
25、数 B.负数 C.零 D.负数或零8.有理数 a、b 满足 a+b0,且 ab0，则有（ ）A.a0 b0 B.a.原式（6）33 542.原式 3 )(78第 28 页3.原式 （36 ）)12()4)32(（ ）（36） （36）+ （36）1224+93304.原式12（ ）12 12121441243125.原式 )4()( 32 )24(1)2()(11216+62所以原式的结果是 。21达标检测 （1）一个数的倒数的绝对值为 ，这个数是 。 （2） （1） 。8（3） 。)312(0)26(（4）下列计算正确的是（ ）A.22（3.5）0 B.（3）（6）2C.1（ ）4.5 D.
26、（ ）292141（5）计算：9+（2）18（3）24的结果是（ ）（6）计算下列各题：（1） （2）（ ）9 （2） （ 2 ）（5）（3 ）91131（3） （ ）1.25（ ） （4）（1 ）+（2 ）（2）2088（5） 2（ ）5（ ） （6） （ ）11315123第 29 页（7）若x+y|+|3-y|=0，求式子 的值。xy（8）已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，x|=2，求3ab+ 的值。xdc21.6 有理数的乘方（1）学习目标理解和掌握有理数乘方法则，并能利用法则进行乘方的运算。学习重点：乘方的意义学习难点：乘方与乘法的转换22 可以写成 22，222 可以写成
27、 23，33 可以写成 32，333 可以写成 33，(-2)(-2)可以写成_，(-2)(-2)(-2)可以写成_则 2222 可以写成什么？_ 而 33333 又可以写成_求几个相同 的_的运算叫做乘方。其中_叫做底数，个数 n 叫做_ ，整个式子 an 读作_或_强调：1、 an=aaaaa 表示 n 个 a 连续相乘。所以 25 表示 5 个 2 连续相乘，所 25=22222=32 所以可以说乘方是特殊的乘法运算。2、分数乘方时，要把分数先用括号括起来。3、特别地，a 2 通常读做 a 的平方，a 3 通常读做 a 的立方，规定 a1=a计算下列各题：(-2)4 (-2)3 (-2)
28、2 -24 0523 24 25 (-1)5 -15根据乘方的意义，(-2) 4 与 -24 的意义相同吗？它们的结果相同吗？(-2) 3 与 -23 的意义与结果也相同吗？由此归纳出：.正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0 的任何次幂都是 0。例题分析：计算下列各题-83 -83 (-4)2 3)21(3)21(-23(-2)2 2)1(2)1(42n 个第 30 页达标检测1. 表示的意义是_个_相乘，底数是_ ，指数是2)1(_，读作_2.在 -25 中，底数是_，指数是_，结果是_。3.把 (-6)(-6)(-6)(-6) 写成乘方的形式：_4.若一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数是( )A.正数 B.负数 C.正数或负数 D.任意有意义5.下列各式中，正确的是 ( )A.0403 B.(-4)4=-44 C.(-1)4= D.(-4)3=(-3)4 16.计算下列各题(0.25)2 352)75( 32)51(23)(2013201)()(3)5(27.已知有理数 a、b 满足(a+2) 2+ =0，求 ab 的值5b
