1、南 京 信 息 工 程 大 学 试 卷学 年 第 1 学 期 高 等 数 学 课 程 试 卷 ( B 卷 )本 试 卷 共 页 ； 考 试 时 间 120分 钟 ； 任 课 教 师 课 程 组 ；A 卷 第 1页 共 8页编 号题 序 一 二 三 四 总分得 分一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 15 分 ) 评分阅卷人1、 已 知 2 2( , )yf x y x yx ,则 ),( yxf _.2、 已 知 dxe x 2 ,则 dxex x 0 21 _.3、 函 数 2 2( , ) 1f x y x xy y y 在 _点 取 得 极 值 .4、 已 知 yyxxyxf
2、arctan)arctan(),( ,则 )0,1(xf _.5、 以 xexCCy 321 )( ( 21,CC 为 任 意 常 数 )为 通 解 的 微 分 方 程 是_.二 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ,共 15 分 ) 评分 阅卷人6、 知 dxe xp 0 )1( 与 e p xx dx 1 1ln 均 收 敛 ,则 常 数 p 的 取 值 范 围 是 ( ).(A) 1p (B) 1p (C) 1 2p (D) 2p 7、 数 0 ,0 0 ,4),( 22 2222 yx yxyx xyxf 在 原 点 间 断 ,是 因 为 该 函 数 ( ).(A) 在 原 点 无
3、定 义(B) 在 原 点 二 重 极 限 不 存 在(C) 在 原 点 有 二 重 极 限 ,但 无 定 义(D) 在 原 点 二 重 极 限 存 在 ,但 不 等 于 函 数 值8、 若2 2 2 231 1 1x yI x y dxdy , 2 2 2 232 1 2 1x yI x y dxdy ,2 2 2 233 2 4 1x yI x y dxdy ,则 下 列 关 系 式 成 立 的 是 ( ).(A) 1 2 3I I I (B) 2 1 3I I I (C) 1 2 3I I I (D) 2 1 3I I I 9、 方 程 xexyyy 3)1(596 具 有 特 解 ( )
4、.(A) baxy (B) xebaxy 3)( (C) xebxaxy 32 )( (D) xebxaxy 323 )( 10、 设 1 2n na 收 敛 ， 则 1 )1(n nna ( ).(A) 绝 对 收 敛 (B) 条 件 收 敛 (C) 发 散 (D) 不 定三 、 计 算 题 (每 小 题 6 分 ,共 60 分 ) 评分11、 求 由 23xy , 4x , 0y 所 围 图 形 绕 y 轴 旋 转 的 旋转 体 的 体 积 .评分评阅人A 卷 第 3页 共 8 页12、 求 二 重 极 限 11lim 22 2200 yx yxyx .13、 ),( yxzz 由 xye
5、z z 确 定 ， 求 yx z2 .评分评阅人评分评阅人14、 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 2 2 1z x y 在 条 件 1 yx下 的 极 值 .15、 计 算 1 21 2 dxedy yy yx .评分评阅人评分评阅人A 卷 第 5页 共 8 页16、 计 算 二 重 积 分 2 2( )D x y dxdy ， 其 中 D是 由 y 轴及 圆 周 2 2 1x y 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 区 域 .17、 解 微 分 方 程 xyy .评分评阅人评分评阅人18、 判 别 级 数 )11(1 33 n nn 的 敛 散 性 .19、 将 函 数 x3 1
6、 展 开 成 x的 幂 级 数 ,并 求 展 开 式 成 立 的区 间 .评分评阅人评分评阅人A 卷 第 7页 共 8 页20、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商品 的 广 告 .根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 R (万 元 )与 电 台广 告 费 用 1x (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 2x (万 元 )之 间的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : 22212121 1028321415 xxxxxxR ，求 最 优 广 告 策 略 .四 、 证 明 题 (每 小 题 5 分 ,共 10 分 ) 评分21、 设 1
7、 13 3ln( )z x y ， 证 明 ： 13z zx yx y .评分评阅人评分评阅人22、 若 1 2n nu 与 1 2n nv 都 收 敛 ,则 1 2)(n nn vu 收 敛 .评分评阅人A 卷 第 1页一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 15 分 )1、 2(1 )1x yy . 2、 . 3、 )32,31( . 4、 1. 5、 “ 6 0y y y .二 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ,共 15 分 )6、 (C ). 7、 (B). 8、 (A ) . 9、 (D). 10、 (D).三 、 计 算 题 (每 小 题 6 分 ,共 60 分 )1
8、1、 求 由 23xy , 4x , 0y 所 围 图 形 绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 .解 ： 32y x 的 反 函 数 为 23 , 0x y y 。 且 4x 时 ， 8y 。 于 是2 48 82 23 30 083 77 30(4 ) 16 (8 0)3 3128 128 (8 0)7 75127V y dy y dyy 12、 求 二 重 极 限 11lim 22 2200 yx yxyx .解 ： 原 式 11 )11)(lim 22 222200 yx yxyxyx (3 分 )2)11(lim2200 yxyx (6 分 )6()3( 分分A 卷 第 2
9、页13、 ),( yxzz 由 xyez z 确 定 ， 求 yx z2 .解 ： 设 ( , , ) zF x y z z e xy ， 则xF y ， yF x ， 1 zzF e 1 1x z zzz F y yx F e e ， 1 1y z zzFz x xy F e e (3 分 )2 2 21 11 (1 ) 1 (1 )z z zz z z zze y ez y e xyyx y y e e e e (6 分 )14、 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 2 2 1z x y 在 条 件 1 yx 下 的 极 值 .解 ： 2 2 2(1 ) 1 2 2 2z x x x x
10、令 4 2 0z x ,得 12x , “ 4 0z , 12x 为 极 小 值 点 . (3 分 )故 2 2 1z x y 在 1y x 下 的 极 小 值 点 为 1 1( , )2 2 ,极 小 值 为 32 (6 分 )15、 计 算 1 21 2 dxedy yy yx .解 ：2 11 212 3 18 2xy yyI dy e dx e e (6 分 )A 卷 第 3页16、 计 算 二 重 积 分 2 2( )D x y dxdy ， 其 中 D是 由 y 轴 及 圆 周 2 2 1x y 所 围 成 的在 第 一 象 限 内 的 区 域 .解 ： 2 2( )D x y d
11、xdy 1 320 0d r dr 8 (6 分 )17、 解 微 分 方 程 xyy .解 ： 令 yp , py ,方 程 化 为 xpp ,于 是)( 1)1()1( Cdxexep dxdx )( 1Cdxexe xx )1(1Cexe xx xeCx 1)1( (3 分 ) 2121 )1(21)1( CeCxdxeCxdxpy xx (6 分 )18、 判 别 级 数 )11(1 33 n nn 的 敛 散 性 .解 ： 3 3 3 321 1 1 1n n n n (3 分 )因 为 3 3 3 31 1lim lim 11 1 1n nn n n nn nn n (6 分 )A
12、 卷 第 4页19、 将 函 数 x3 1 展 开 成 x的 幂 级 数 ,并 求 展 开 式 成 立 的 区 间 .解 ： 由 于 31 1313 1 xx ,已 知 01 1 n nxx , 11 x , (3 分 )那 么 0 10 31)3(313 1 n nnn n xxx , 33 x . (6 分 )20、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 .根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 R (万 元 )与 电 台 广 告 费 用1x (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 2x (万 元 )之 间的 关 系 有 如
13、下 的 经 验 公 式 : 22212121 1028321415 xxxxxxR ，求 最 优 广 告 策 略 .解 ： 公 司 利 润 为 2221212121 1028311315 xxxxxxxxRL 令 ,020831 ,04813 21 1221 xxL xxLxx 即 ,31208 ,1384 21 21 xx xx得 驻 点 )25.1,75.0()45,43(),( 21 xx ,而 (3 分 )0411 xxLA , 821 xxLB , 2022 xxLC ,064802 BACD ,所 以 最 优 广 告 策 略 为 ：电 台 广 告 费 用 75.0 (万 元 ),报
14、 纸 广 告 费 用 25.1 (万 元 ). (6 分 )四 、 证 明 题 (每 小 题 5 分 ,共 10 分 )A 卷 第 5页21、 设 1 13 3ln( )z x y ， 证 明 ： 13z zx yx y .证 ： 2 23 31 13 31 1 1 13 3 3 3,x yz zx yx y x y (3 分 )2 23 31 13 3 1 13 31 1 1 13 3 3 31 13 31 13 3 x yz zx y x yx y x y x yx xx y (6 分 )22、 若 1 2n nu 与 1 2n nv 都 收 敛 ,则 1 2)(n nn vu 收 敛 .证 ： 由 于 )(22)(0 22222 nnnnnnnn vuvuvuvu , (3 分 )并 由 题 设 知 1 2n nu 与 1 2n nv 都 收 敛 ,则 )(2 21 2 nn n vu 收 敛 ,从 而 1 2)(n nn vu 收 敛 。 (6 分 )本 试 卷 参 数 设 置 页试 题 总 页 数 8试 卷 类 型 1 A B C1 2 3标 准 答 案 总 页 数 1
