1、2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题： 1已知 x，y 为整数，且满足( ) ( ) ( )，则 xy 的可能的值有（ 1x 1y 1x2 1y2 231x4 1y4）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2已知非负实数 x，y ，z 满足 xyz1，则 t2xyyz2xz 的最大值为（ ）A B C D47 59 916 12253在ABC 中，AB AC，D 为 BC 的中点，BEAC 于 E，交 AD 于 P，已知BP3，PE1，则 AE（ ）A B C D 2 3 646 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，则这
2、 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）A B C D12 25 23 345设t 表示不超过实数 t 的最大整数，令ttt.已知实数 x 满足 x3 18，则1x3x （ ）1xA B3 C (3 ) D112 5 12 56在ABC 中，C90，A60，AC 1，D 在 BC 上，E 在 AB 上，使得ADE为等腰直角三角形, ADE90 ,则 BE 的长为（ ）A42 B2 C ( 1) D 13 3 12 3 3二、填空题： 1已知实数 a，b，c 满足 abc1， 1，则 abc_1a b c 1a c b 1b c a2使得不等式 对唯一的整数 k 成立的最大正
3、整数 n 为_917 nn k 8153已知 P 为等腰ABC 内一点，ABBC ，BPC108 ，D 为 AC 的中点，BD 与 PCFCABDE交于点 E，如果点 P 为ABE 的内心，则PAC_4已知正整数 a，b，c 满足: 1abc，abc 111 ，b 2ac，则 b_第一试 参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A二、填空题1. 0 2. 144 3. 48 4. 36第二试 （A ）一、 设实数 满足 ， ，求 的值,ab2(1)(2)40ba(1)8b21ab二、如图，在 ABCD 中， D 为对角线 BD 上一点，且满足 ECDACB, AC 的延长
4、线与ABD 的外接圆交于点 F. 证明：DFEAFB三、设 n 是整数，如果存在整数 x，y，z 满足 nx 3y 3z 33xyz ，则称 n 具有性质 P. 在 1，5，2013，2014 这四个数中，哪些数具有性质 P，哪些数不具有性质 P？并说明理由.第二试 （A ）答案一、解 由已知条件可得 ， .22()40ab()8ab设 ， ，则有 ， ，abxyxyxy联立解得 或 .(,)2,6(,)6,2若 ，即 ， ，则 是一元二次方程 的两xyab,ab260t根，但这个方程的判别式 ，没有实数根； 2()40若 ，即 ， ，则 是一元二次方程 的两(,)6,2xy6,2t根，这个方
5、程的判别式 ，它有实数根 .所以2()8. 2 22 21 8abab二、证明 由 是平行四边形及已知条件知 .ABCDECDABF又 A、B、F、 D 四点共圆，所以 ，所以 BECD，所以 .又 ，所以 ，EFFBA故. 三、解 取 ， ，可得 ，所以 1 具有性质 P.1x0yz331010取 ， ，可得 ，所以 5 具有性质 P. 2522为了一般地判断哪些数具有性质 P，记 ，则33(,)fxyzzxy3(,)()()fxyzzxy3()zxyz 3()()()xyzxy2212zyzxFMHENAOB CD.2221()()()2xyzyzx即 ,f 2()xyzx不妨设 ，yz如
6、果 ，即 ，则有 ；1,0,1xxz,xzy(,)31fxyz如果 ，即 ，则有 ；y 12如果 ，即 ，则有 ；,2xzx2,xzy(,)9()fxyz由此可知，形如 或 或 （ 为整数）的数都具有性质 P.31k9k因此，1，5 和 2014 都具有性质 P. 若 2013 具有性质 P，则存在整数 使得,xyz.注意到 ，从而可得 ，3203()()()xyz3|2013|()xyz故 ，于是有 ，即 ，但|39|()zyzxz9|201201392236，矛盾，所以 2013 不具有性质 P.第二试 （B ）试题及答案一同（A）卷第一题.二如图，已知 为 的外心， ， 为 的外接圆上一
7、点，过点OACACDOB作直线 的垂线，垂足为 .若 ， ，求 .DH73解 延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，由题意得BDONDOE，所以 为 的平分线.NDEOBCBDEBDC又点 在 的半径 上，点 、 在 上，所以点 、 关于直线 对称，ENONOE.延长 交 于点 ，因为 为圆心， ，所以点 、 关于直线AHMAMAM对称， .因此 . 又 ， ，所以 ，所以 ，FNBFBFFB. 因此， ，NDNC7310即 ，所以 . 210AH5三设 n 是整数，如果存在整数 x，y，z 满足 nx 3y 3z 33xyz ，则称 n 具有性质 P（1）试判断 1，2，3 是否具有性质 P；
8、（2）在 1，2，3，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 的数有多少个？解 取 ， ，可得 ，所以 1 具有性质 P；x0yz331010取 ， ，可得 ，所以 2 具有性质 P； 12若 3 具有性质 P，则存在整数 使得 ，,xyz33()()()xyzxyzzx从而可得 ，故 ，于是有3|()xyz|()，即 ，这是不可能的，所以 3 不具有性质39| xyz9|3P. （2）记 ，则33(,)fxyz, ()f xyxyz3()()3()xyzz ()xyzx221()(2xyzzy.2()()zx即 (,)fxyz 2()xyzyzx不妨设 ，如果 ，即 ，则有 ；1,0,1xyzx,xzy(,)31fxyz如果 ，即 ，则有 ；12如果 ，即 ，则有 ；,2xyzx2,xzy(,)9()fxyz由此可知，形如 或 或 （ 为整数）的数都具有性质 P.又若31k9k，则 ，从而3|(,)()()()fxyzzxyzzx3|()yz，进而可知 .|3|,f x综合可知：当且仅当 或 （ 为整数）时，整数 不具有性质 P.93nk6kn又 201492237，所以，在 1，2，3，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 的数共有 2242448 个. P
