2019全国统一高考数学试卷(课标1).doc

1、试卷第 1 页，总 5 页2019 年全国统一高考数学试卷（新课标 1)未命名一、单选题1设 ，则 =3i2zzA2 B C D1322已知集合 ，则1,45,67,345,367UAB， ， CUBAA B C D,6 ,3已知 ，则0.20.32log.,abcA B C Dcabcabbca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，512最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述512两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则

2、其身高可能是A165 cm B175 cm C185 cm D190cm5函数 f(x)= 在，的图像大致为2sincoA B试卷第 2 页，总 5 页C D6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生7tan255=A2 B 2+ C2 D2+33338已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a b） b，则 a 与 b 的夹角为A B C D633569如图是求 的程序

3、框图，图中空白框中应填入12AA= BA= CA= DA=1212121210双曲线 C: 的 一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率2(0,)xyab为A2sin40 B2cos40 C D1sin01cos5011ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知试卷第 3 页，总 5 页asinAbsinB=4csinC，cosA= ，则 =14bcA6 B5 C4 D312已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若12,01,F()， (， ，则 C 的方程为22F A A B C D1xy213xy2143xy2154xy二、填空题13

4、曲线 在点 处的切线方程为_23()exy(0,)14记 Sn为等比数列a n的前 n 项和.若 ，则 S4=_13a，15函数 的最小值为_3()si2)cosfxx16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC =2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为_3三、解答题17某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对

5、该商场服务的评价有差异？附： 2()(nadbcKP（K 2 0.050 0.010 0.001试卷第 4 页，总 5 页k）k 3.841 6.635 10.82818记 Sn为等差数列a n的前 n 项和，已知 S9=a 5（1）若 a3=4，求a n的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围19如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA 1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离20已知函数 f（x ）=2sinxxcosxx，f （x

6、）为 f（x）的导数（1）证明：f（ x）在区间（0， ）存在唯一零点；（2）若 x0 ，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB =4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP 为定值？并说明理由22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原2214txy，点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3in10（1）求 C 和 l 的直角坐标

7、方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值试卷第 5 页，总 5 页23选修 4-5：不等式选讲已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1） ；221bc（2） 333()()()4aa本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 19 页参考答案1C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化） ，求得 ，再求 z【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故312iz(3)1275izi2217()5z选 C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算本题也可以运用复数模的运算性质直接求解2C【解析】【分析】先求 ，再求 UAUB【详解】由已知得 ，所以

8、 ，故选 C1,67UCUCA6,7【点睛】本题主要考查交集、补集的运算渗透了直观想象素养使用补集思想得出答案3B【解析】【分析】运用中间量 比较 ，运用中间量 比较0,ac1,bc【详解】则 故22log.l1,a0.2,b0.321,0,cab选 B【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 19 页本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题4B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则 ，265102xy得

9、 又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以42.07,5.1xcmyc其身高约为 4207+515+105+26=17822，接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题5D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正()fx确答案【详解】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点22sin()sin() ()cocoxxf f()fx对称又 故选 D214()1,2f2()0f【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法

10、或赋值法，利用数形结合思想解题6C本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 19 页【解析】【分析】等差数列的性质渗透了数据分析素养使用统计思想，逐个选项判断得出答案【详解】详解：由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ，na10d所以 ，10na()nN若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意；8652061n9.4若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意故10n618580选 C【点睛】本题主要考查系统抽样.7D【解析】【分析】本题首先

11、应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】详解： =0000tan25t(1875)tant(453)003t4t2.1an51【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力8B【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 19 页【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量()ab,ab夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为 ，

12、所以 =0，所以 ，所以 =()ab2()ab2abcos，所以 与 的夹角为 ，故选 B2|13【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 0,9A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择【详解】执行第 1 次， 是，因为第一次应该计算 = ， =2，循,12Ak12A1k环，执行第 2 次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3，2k121k循环，执行第 3 次， ，否，输出，故循环体为 ，故选 AA【点睛】秒杀速

13、解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 1210D本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 19 页【解析】【分析】由双曲线渐近线定义可得 ，再利用 求双tan130,tan50bb21cbea曲线的离心率【详解】由已知可得 ，tan130,tan50bb2 2222sisin50cos1t1cos50ce ，故选 D【点睛】对于双曲线： ，有 ；对于椭圆210,xyabb21cbea，有 ，防止记混2xya21ce11A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出 a，b，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得 ，由

14、余弦定理推论可得224c，故选 A21133cos,464 2bcabAbc【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用12B【解析】【分析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 19 页由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求2FBn21,3AnBFAn12Fn1AFB得 ，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解.1cos312【详解】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有2FBn21,3AnBFAn在 中，由余弦定理推论得12124,aBFa在 中，由余弦定理得219cos3nA 12AF，解得 21443n所求椭圆方程为 ，223,1,anabac213

15、xy故选 B法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有2Fn21,3AnBFAn在 和 中，由余弦定理1124,aa12 12BF得 ，又 互补，222 14cos4,9nBFn 2121,A，两式消去 ，得 ，212cos0AFcoscs22361n解得 所求椭圆方程为3n2243,1,anaba，故选 B21xy本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 19 页【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养13 .30xy【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率

16、，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/ 223(21)()3(1),xxxyeee所以，/0|xk所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 2()exy(0,)3yx0y【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢” ，计算要准，是解答此类问题的基本要求14 .58【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得q到 题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查4S【详解】详解：设等比数列的公比为 ，由已知q，即2231134Saq2104q解得 ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后

17、使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 19 页所以 44141()()528aqS【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算3343415()428SaSq15 .【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于 的二次函数，从而得解.1cos4BC【详解】 23()sin2)cos23cos3cos1fxxxx，17co48， 当 时， ，1sxcosxmin()4fx故函数 的最小值为 ()f【点睛】解答本题的过程

18、中，部分考生易忽视 的限制，而简单应用二次函数的性质，1cosx出现运算错误16 .2【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 在底面上的射影，使用线面P垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 19 页【详解】作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ，,PDE,ACBPOABCO知 ， ，C=D平面 ， 平面 ，O， ，3PDE 2PC3sinsi2PECD，60BA， 为 平分线，OB，又 ，451,2DOPC2P【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何

19、体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍17 （1） ；43,5（2）能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.9%【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 19 页【分析】（1）从题中所给的 列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别2算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有 的把握认为男、女顾客对该商场95%服务的评价有差异.【详解】（1）由题中表格可知，50 名男顾客对商场服务满意的有 40 人，所以男顾客对商场服务满意率估计为 ,1405P50

20、 名女顾客对商场满意的有 30 人，所以女顾客对商场服务满意率估计为 ,2305（2）由列联表可知 ，2210(41)4.7623.81730K所以能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.95%【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算 的值，独立性检验，属于简单题目.2K18 （1） ；10na（2） .()N【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于 和 的方程组，求得1ad和 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；ad（2）根据题意有 ，根据 ，可知 ，根据 ，得到关于 的不等式，50a10dn

21、Sn从而求得结果.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11 页，总 19 页（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，na1d根据题意有 ，1198(4)2d解答 ，所以 ，1ad8(1)210nan所以等差数列 的通项公式为 ；n（2）由条件 ，得 ，即 ，95S55a因为 ，所以 ，并且有 ，所以有 ，10ad140d14ad由 得 ，整理得 ，nS11()()2nan2(9)(0)nn因为 ，所以有 ，即 ，0d90210解得 ，1所以 的取值范围是：n1()nN【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解

22、题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19 （1）见解析；（2） .47【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边1/ADBC/MENDMNDE形，进而证得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；/MNE（2）根据题意求得三棱锥 的体积，再求出 的面积，利用11C求得点 C 到平面 的距离，得到结果.11CDECV【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 12 页，总 19 页（1）连接 ，ME1BC， 分别为 ， 中点 为 的中位线ME1BCME1BC且1/2又 为 中点，且 且NAD1/1/ND12四边形 为平

23、行四边形/EE，又 平面 ， 平面M1C1CE平面/N1（2）在菱形 中， 为 中点，所以 ，ABDEDB根据题意有 ， ，317C因为棱柱为直棱柱，所以有 平面 ，1所以 ，所以 ，1DE1372DECS设点 C 到平面 的距离为 ，d根据题意有 ，则有 ，11DECV11373422d解得 ，47d所以点 C 到平面 的距离为 .1DE417【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 13 页，总 19 页该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再

24、者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.20 （1）见解析；（2） .,0a【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时，gx0,2xp，当 时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断0gx,20xg出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数 ，通过二次求导可hxfax判断出 ， ；分别在 ，min2hxamax2h2， 和 的情况下根据导函数的符号判断 单调性，从20ahx而确定 恒成立时 的取值范围.hxa【详解】（1） 2cossin1cosin1fxx令 ，则igxicosgx 当 时，令 ，解得：0,0gx 2x当 时， ；当 时，,

25、2xp,0gx在 上单调递增；在 上单调递减()g0,2又 ， ，110g12g本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 14 页，总 19 页即当 时， ，此时 无零点，即 无零点0,2xp0gxgxfx，使得g0,20又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点x,20xgfx,2综上所述： 在区间 存在唯一零点f0,（2）若 时， ，即 恒成立,xfxafxa令 2sincos1hf则 ，cos1xxshxgx由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减h0,2,2且 ， ，0aaha，min2hxmax2当 时， ，即 在 上恒成立amin20hx0hx,在 上单

26、调递增x0,，即 ，此时 恒成立()h=fxafxa当 时， ， ，20a0h02h，使得1,x1x在 上单调递增，在 上单调递减h10, ,又 ，2sincos10a在 上恒成立，即 恒成立x,fx本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 15 页，总 19 页当 时， ，20a0h20a，使得2,x2x在 上单调递减，在 上单调递增h20,2,时， ，可知 不恒成立,x0hxfxa当 时，2amax20在 上单调递减 hx0,()h=可知 不恒成立fa综上所述： ,0【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不

27、等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.21 （1） 或 ；26（2）见解析.【解析】【分析】（1）设 ， ，根据 ，可知 ；由圆的性质可知圆心 必在,At,Bt4AB2t M直线 上，可设圆心 ；利用圆心到 的距离为半径和yxMa0x构造方程，从而解出 ；（2）当直线 斜率存在时，设 方程为：MrrABAB，由圆的性质可知圆心 必在直线 上；假设圆心坐标，利用圆心到ykx1yxk的距离为半径和 构造方程，解出 坐标，可知 轨2022rAOMM本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

28、答案第 16 页，总 19 页迹为抛物线；利用抛物线定义可知 为抛物线焦点，且定值为 ；当直线 斜率不1,0P1AB存在时，求解出 坐标，验证此时 依然满足定值，从而可得到结论.M【详解】（1） 在直线 上 设 ，则A2gRr,At,Bt又 ，解得：4B2816t2过点 ， 圆心 必在直线 上MMyx设 ，圆的半径为,ar与 相切 A20x2a又 ，即Br2r，解得： 或222a0a4当 时， ；当 时，0r=4a6r的半径为： 或MA26（2）存在定点 ，使得1,P1MAP说明如下：， 关于原点对称且AB4B直线 必为过原点 的直线，且O2A当直线 斜率存在时，设 方程为： ykx则 的圆心

29、 必在直线 上MA1yxk设 ， 的半径为,kmAr与 相切 A20x2km又24rO，整理可得：4kmk24k本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 17 页，总 19 页即 点轨迹方程为： ，准线方程为： ，焦点M24yx1x,0F，即抛物线上点到 的距离 ArMA1F当 与 重合，即 点坐标为 时，PP1,01P当直线 斜率不存在时，则直线 方程为：ABAB0x在 轴上，设Mx,n，解得： ，即24n0,M若 ，则1,0P21AP综上所述，存在定点 ，使得 为定值.,AP【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据

30、圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.22 （1） ； ；（2）2:1,(,4yCx:2310lxy7【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得C的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将l所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由 得： ，又2tx10,(1,x2216ty2 226441yxxx本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 18 页，总 19 页整理可得 的直角坐标方程为

31、：C21,(,4yx又 ，cosxsiny的直角坐标方程为：l2310xy（2）设 上点的坐标为：Ccos,i则 上的点到直线 的距离l4sin123sin1677d 当 时， 取最小值sin16则 min7d【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用 将所证不等式可变为证明： ，利用基本不等1abc=22abcab式可证得 ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得22abc，再次利用基本不等式可将式转化333c为 ，在取等条件一致的情况下，可得结论.24ababc【详解】（1） 1abc1acbaabc222222c当且仅当 时取等号c本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 19 页，总 19 页，即：221abcabc221abcac（2） ，当且仅当 时取等333abc号又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）ab2cb2acc333 24bab又 1abc=3ac【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.