1、数值计算方法复习资料第一章 数值计算方法与误差分析第二章 非线性方程的数值解法第三章 线性方程组的数值解法第四章 插值与曲线拟合第五章 数值积分与数值微分第六章 常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务 数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。第一章 数值计算方法与误差分析一 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 二 复习要求1. 知
2、道产生误差的主要来源。2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3. 知道四则运算中的误差传播公式。三 例题例 1 设 x*= =3.1415926近似值 x=3.140.31410 1,即 m=1，它的绝对误差是 0.001 592 6，有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字.x=3.14 准确到小数点后第 2 位.又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有即 m=1,n5， x=3.1416 有 5 位有效数字.而近似值 x=3.1415，它的绝对误差是 0.0000926，有即 m=1,n4， x=3.14
3、15 有 4 位有效数字.这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；例 2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.00解 因为 x1=2.000 40.200 04101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.510 15 ，即m=1,n=5,故 x=2.000 4 有 5 位有效数字. a1=2，相对误差限x2=0.002 00，绝对误差限 0.000 005，因为 m=2，n=3，x 2=0.002 00 有 3 位有效数字. a 1=2，相对误差限 r=0.002 5x
4、3=9 000，绝对误差限为 0.5100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字，a=9，相对误差限 r0.000 056x4=9 000.00，绝对误差限 0.005，因为 m=4，n=6 ，x 4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为 r 0.000 000 56由 x3 与 x4 可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解 精确到 103 0.001，意旨两个近似值 x1,x2 满足 ，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足 ，近似值的绝对误差限应是0.000
5、5,故至少要保留小数点后三位才可以。故 ln20.693。第二章 非线性方程的数值解法一 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。二 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程 f(x)=0 在区间(a,b)有根的充分条件。2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法 ，知道其收敛性。3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。4. 掌握弦截法。三 例题 例 1 证明方程 1xsinx0 在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5104 的根要迭代多少次？证明 令 f(x)1xsin x， f(0)=10，f(1)= sin10(x0.1),故 f(x)
6、0 在区间0 ，1 内有唯一实根.给定误差限 0.510 4，有只要取 n14.例 2 用迭代法求方程 x54x20 的最小正根.计算过程保留 4 位小数.分析 容易判断1 ，2是方程的有根区间.若建立迭代格式，此时迭代发散.建立迭代格式，此时迭代收敛.解 建立迭代格式取 1.5185 例 3 用弦截法求方程 x3x 210，在 x=1.5 附近的根.计算中保留 5 位小数点.分析 先确定有根区间.再代公式.解 f(x)= x3x 21，f(1)=1，f(2)=3 ，有根区间取1,2.取 x1=1, 迭代公式为 (n=1,2,)取 1.46553，f(1.46553)0.000145例 4 选
7、择填空题1. 设函数 f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程 f(x)=0 在区间a,b一定有实根.答案：f(a)f( b)6 (B) =6 (C) 6解答：当a6 时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第 3 章定理知，迭代解一定收敛。应选择(A)。第四章 插值与曲线拟合一 考核知识点 插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，最小二乘法，直线拟合。 二 复习要求 1. 了解插值函数，插值节点等概念。2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3. 掌握牛顿插值
8、多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，三 例题例 1 已知函数 y=f(x)的观察数据为xk 2 0 4 5yk 5 1 3 1试构造 f(x)的拉格朗日多项式 Pn (x)，并计算 f(1) 。解 先构造基函数所求三次多项式为P3(x)=P3(1) 例 2 已知函数 y=f(x)的数据如表中第 2，3 列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。k xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0 0
9、.40 0.410 75 1 0.55 0.578 15 1.116 00 2 0.65 0.696 75 1.168 00 0.280 00 3 0.80 0.888 11 1.275 73 0.358 93 0.197 33 4 0.90 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.213 00 0.031 34计算公式为：一阶均差 二阶均差 例 3 设 是 n+1 个互异的插值节点， 是拉格朗日插值基函数，证明：证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)当 f(x)1 时,1由于 ,故有例 4 满足条件的插值多项式 p(x)=_解 设所求的为 p(x)
10、=a0+a1x+a2x2+a3x3由插值条件知解之得 a2 =3/2 a3 = - 1/2所求的插值多项式为 p(x)= -1/2x3 + 3/2x2例 5 选择填空题1.通过四个互异节点的插值多项式 P(x),只要满足( ),则 P(x)是不超过一次的多项式。(A) 初始值 y0=0 (B) 一阶均差为 0 (C) 二阶均差为 0 (D)三阶均差为 0解答：因为二阶均差为 0，那么牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx 0)它是不超过一次的多项式。故选择(C)正确。2. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是 ( ) (A) (B) f(x,x0,x
11、1,x2,xn)(xx 1)(xx 2)(xx n1 )(xx n)(C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx 0)(xx 1)(xx 2)(xx n1 )(xx n)解答：(A) ，(D) 。第五章 数值积分与数值微分一 考核知识点 数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿柯特斯求积公式，柯特斯系数及其性质，(复化) 梯形求积公式， (复化)辛卜生求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点 )高斯勒让德求积公式； (二点、三点) 插值型求导公式。二 复习要求1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。2. 了解牛顿柯特斯求积公式和柯特斯系数的性质。熟练掌握
12、并推导(复化) 梯形求积公式和(复化)辛卜生求积公式。3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值。4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。三 例题例 1 试确定求积公式的代数精度。解 当 f(x)取 1,x,x2,计算求积公式何时精确成立。(1) 取 f(x)=1,有：左边 , 右边2(2) 取 f(x)=x,有：左边 , 右边 0(3)类似导出， 取 f(x)=x2, x3, 有左边= 右边(5) 取 f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9当 k3 求积公式精确成立，而 x4 公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数精度。例
13、2 试用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分(计算结果取 5 位有效数字)(1)用梯形公式计算(2)用柯特斯公式 系数为(3)如果要求精确到 105 ，用复化辛卜生公式，截断误差为RNf, N2只需把0.5,14 等分，分点为 0.5,0.625,0.75,0.875,1例 3 用三点高斯勒让德求积公式计算积分解 做变量替换，有 。查表得节点为0.774 596 669 和 0；系数分别为 0.555 555 5556 和 0.888 888 8889+0.888 888 8890.94083124例 4 已知函数值 f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1
14、.2)=0.206 612，用三点公式计算 在 x=1.0,1.1,1.2 处的导数值。解 三点导数公式为k=1,2,3,n1本例取 x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1。于是有例 5 选择填空题1. 如果用复化梯形公式计算定积分 ,要求截断误差不超过 0.5104 ，试问 n( )(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40解答；复化的梯形公式的截断误差为，n=40.8 ,取 n41。故选择(A)。2.已知 n=3 时，柯特斯系数，那么 解答：由柯特斯系数的归一性质，第六章 常微分方程
15、的数值解法一 考核知识点 尤拉公式，梯形公式，改进尤拉法，局部截断误差；龙格库塔法，局部截断误差。二 复习要求1.掌握尤拉法和改进的尤拉法(梯形公式、预报校正公式) ，知道其局部截断误差。2. 知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。三 例题例 1 用尤拉法解初值问题,取步长 h=0.2。计算过程保留 6 位小数。解 h=0.2, f(x)=y xy 2。首先建立尤拉迭代格式 当 k=0，x 1=0.2 时，已知 x0=0,y0=1，有 y(0.2)y1=0.21(401)0.8当 k1,x 2=0.4 时,已知 x1=0.2, y
16、1=0.8,有 y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4当 k=2,x3=0.6 时,已知 x2=0.4,y2=0.6144,有 y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.4613)=0.8例 2 用尤拉预报校正公式求解初值问题，取步长 h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，小数点后至少保留 5 位。解 步长 h=0.2, 此时 f(x,y)=y y 2sinx尤拉预报校正公式为：有迭代公式:当 k=0，x 0=1, y0=1 时，x 1=1.2，有当 k=1，x 1=1.2, y1=0.71549 时，x 2=1.4，有=0.52608例 3 写出用四阶龙格库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2 计算 y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。解 此处 f(x,y)=83y, 四阶龙格库塔法公式为其中 1=f(xk,yk)； 2=f(xn+h，y k+h1)； 3=f(xk+h，y n+h2)；4=f(xk+h，y k+h3)本例计算公式为：其中 1=83 y k； 2=5.62.1 y k； 3=6.322.37y k; 4=4.2081.578y k当 x0=0,y0=2,浙江中医学院计算机科学与技术系
