1、1,第三章 模糊关系 3.1 模糊关系的定义从普通集合 A 到普通集合 B 的一个模糊关系 R 是指：以笛卡尔积 AB = (a,b)|aA，bB为论域的一个模糊子集 R ，记作 R：A B ，或 R( AB )其隶属函数为 R(a,b)，称为(a,b)具有模糊关系 R 的程度。R ：AB 0,1(a,b) A(a,b) 若 A = B ，则称 R ：AA 0,1(a1,a2) A(a1,a2) 为 A 上的模糊关系。 例3-1 设 A = 质量好,质量一般,质量差 ，B = 价格高,价格中等,价格低是两个普通集合，则表示“质价相符”这个模糊关系 R ，就是笛卡尔积 AB 上的一个模糊子集，其
2、隶属函数为：,2,例3-3 设 X，Y 为两个坐标轴，则表示“x远远大于y”这个模糊关系 R ，就是笛卡尔积 XY 上的一个模糊子集，其隶属函数为：,若取 x = 101，y = 1 ，则 x 远远大于 y 的程度是：,例3-2 设 A = 直线,园,椭圆,双曲线,抛物线 ，则表示这五种几何图形“相似关系” R ，就是笛卡尔积 AA 上的一个模糊子集，其隶属函数为：,3,3.2 模糊矩阵一、概念当论域 A、B 为有限集时，模糊关系 R 可用矩阵表示，记为 R = (rij),0rij1，i=1,2,m; j=1,2,n 例如: “质价相符”这个模糊关系的模糊矩阵为：,五种几何图形“相似” 这个
3、模糊关系的模糊矩阵为：,特例：当隶属度为 0 和 1 时，模糊矩阵变为普通矩阵。如:,4,二、几种特殊的模糊矩阵： 表示 AB 上的“零关系”的零矩阵 O ：,(a,b)AB，o(a,b)=0 。 即 A 与 B 中任意元素之间具有关系 O 的程度为 0 。, 表示 AA 上的“恒等关系”的恒等矩阵 I ：,(a,b)AA，当a=b时,I(a,b)=1；当ab时,I(a,b)=0 。 即 A 中任意元素自己与自己具有关系 I 的程度为 1 ， 与其余元素具有关系 I 的程度为 0 。, 表示 AB 上的“全称关系”的全矩阵 E ：,(a,b)AB，E(a,b)=1 。 即 A 与 B 中任意元
4、素之间具有关系 E 的程度均为 1 。,5,三、模糊矩阵的运算：设有模糊矩阵 R = (rij)nm ，S = (sij)nm R 与 S 的并：RS = (rijsij) ； R 与 S 的交：RS = (rijsij) ； R 的余：Rc = (1-rij) ； R 与 S 相等：R = S ，i,j，均有 rij = sij ； R 包含于 S ：R S ，i,j，均有 rij sij 。,例如：,6,四、模糊矩阵的运算性质： 幂等律：RR = R ，RR = R ； 交换律：RS = SR ，RS = SR ； 结合律：( RS )T = R( ST ) ，( RS )T = R( S
5、T ) ； 分配律：( RS )T = ( RT )( ST ) ，( RS )T = ( RT )( ST ) ； 吸收律：( RS )S = S ，( RS )S = S ； 两极律：OR = R ，OR = O，ER = E ，ER = R ； 还原律：( Rc )c = R R S RS = S ，RS = R ； R S Rc Sc ； R1 S1 , R2 S2 ( R1R2 ) ( S1S2 ) ,( R1R2 ) ( S1S2 ) O R E,五、模糊矩阵 R 的 截矩阵 R ：是一个普通矩阵设 R = ( rij ) ，对0,1 ，称 R = ( rij( ) 为 R 的 截
6、矩阵。,六、R 的运算性质： 对0,1 ，有 R S R S ； ( RS ) = RS ，( RS ) = RS 。,7,例3-4 设有模糊矩阵：,则：,例3-5 商品“质价相符”模糊关系的模糊矩阵为：,若参加者都认为“质价相符”,则记为100%=1；无人认为“质价相符”, 则记为0%=0；有70%的人认为“质价相符”,则记为70%=0.7。而质检和物价部门确定商品“质价关系”时，把全部的人认为“质价相符” 定为“完全相符”; 80%以上的人认为“质价相符”定为“相符”;50%以上的人 认为“质价相符”定为“基本相符” 。,取 = 1，0.8，0.5 得 截矩阵：,8,3.3 模糊关系的合成
7、1、模糊关系合成的概念 ：设有论域 X、Y、Z，Q( XY )、R( YZ ) ，则 Q 对 R 的合成 QR( XZ )，即 QR 是一个由 X 到 Z 的模糊关系，其隶属函数定义为：,特例：若 X=Y=Z，则对 X 上的一个模糊关系 R ，记 RR = R22、对有限论域，模糊关系的合成可用模糊矩阵的运算表示：设论域 X = x1,x2,xn、Y = y1,y2,ym 、Z = z1,z2,zl ， Q=(qij)nm( XY )、R=(rjk)ml( YZ ) ，则 Q 对 R 的合成 S=QR =(sik)nl( XZ )，并且,9,例3-7 设有模糊矩阵：,则：,10,3、模糊矩阵合
8、成的运算性质： ( QR ) = QR ；,例4-8 设有模糊矩阵：取 = 0.6,则：, ( QR ) S = Q( RS ) ； Rm+n = RmRn ； Q R QS RS ；Q R SQ SR ；Q R Qn Rn OR = RO = O ；IR = RI = R ；,11, ( QR ) S = ( QS )( RS ) ， S( QR ) = ( SQ )( SR ) ； ( QR ) S ( QS )( RS ) ， S( QR ) ( SQ ) ( SR ) ；,例3-9 设有模糊矩阵：,则: ( QR ) S,( QS )( RS ),( QR ) S ( QS )( RS
9、 ), QR RQ ；,例3-10 设有模糊矩阵：,则:,QR RQ,12,3.4 几种常见的模糊关系1、模糊倒置关系：设 R( XY )，即 R 是 X 到 Y 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x,y)，则 RT( YX )，是 Y 到 X 上的模糊关系，称为 R 的倒置关系，其隶属函数定义为：,特例，对有限论域 X、Y ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，则 RT 的模糊矩阵为 RT = ( rji )nm,例3-11 商品“质价相符” 模糊矩阵为：,则商品“价质相符” 模糊矩阵为：,2、模糊对称关系：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为
10、 R(x1,x2)， 若对x1,x2X ，均满足,则称 R 是模糊对称关系。特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，若满足 RT = R ，则 R 为模糊对称矩阵。,例3-12 模糊矩阵,则由 RT = R，知 R 为模糊对称矩阵。,13,3、模糊自反关系：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若对xX ，均满足,则称 R 是模糊自反关系。特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，若 R 主对角线上的元素均为1，则模糊矩阵 R 为模糊自反矩阵。,例3-13 模糊矩
11、阵,则 R 为模糊自反矩阵。,4、模糊相似关系：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若 R 既是对称关系又是自反关系，则称 R 是 X 上的模糊相似关系，其隶属函数满足： 对x1,x2,xX ，均有,特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，若 R 对称且主对角线上的元素均为1，则 R 为模糊相似矩阵。,14,例3-14 论域 U = 直线,园,椭圆,双曲线,抛物线上的模糊矩阵,因为 R 既是模糊对称矩阵又是模糊自反矩阵， 所以 R 为 U 上五种几何图形间的模糊相似矩阵。,转置模糊矩阵运算性质： ( R
12、T )T = R ； ( RQ )T = RTQT ， ( RQ )T = RTQT ； R Q RT QT ； ( RT ) = ( R )T ； ( QR )T = QT RT ，( Rn )T = ( RT )n ； 对模糊矩阵 R ：RRT 必是对称矩阵,且 RRT 被所有包含 R 的对称矩阵所包含。,15,5、模糊传递关系： 普通传递关系 R ：对x,y,zX，若 (x,y)R ,(y,z)R (x,z)R 如几何中的平行关系 就普通传递关系：若 a b , b c a c 模糊传递关系 R ：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若 R
13、R R ( 或 R2 R ) ，则称 R 是 X 上的模糊传递关系 ，其隶属函数满足： 对x1,x2,x3X ，均有,特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )nn，其隶属度为 rij ， 若 RR R ( 或 R2 R ) ，则称 R 是 X 上的模糊传递矩阵，其隶属度满足：,例3-15 影响企业经济效益的主要因素构成论域 U = 销售额(X1),购销费用(X2),零售利润(X3),它们彼此影响的模糊关系矩阵为：,即 RR R ，所以 R 为模糊传递矩阵。,16, 模糊关系 R 的 截关系 R ：设 R( XY )，即 R 是 X 到 Y 上的模糊关系，其
14、隶属函数为 R(x,y)， 对0,1 ，R 的 截关系 R 是 X 到 Y 上的普通关系，其特征函数为,特例，当 X = Y 时 ， 称 R 是 X 上的 截关系。, 模糊传递关系与普通传递关系的联系 ：定理：设 R( XX )，即 R 是 X 到 X 上的模糊关系，则：R 是模糊传递关系 对0,1 ，R 的 截关系 R 均是普通传递关系。,17,6、模糊等价关系： 普通等价关系 R ：若普通关系 R 同时具有自反性、对称性、传递性，则称 R 是普通等价关系。 模糊等价关系 R ：若模糊关系 R 同时具有自反性、对称性、传递性，则称 R 是模糊等价关系。特例，对有限论域，模糊等价关系 R 可表示为模糊等价矩阵 R = ( rij )nn，,例3-16 上例中的模糊关系矩阵：,为模糊自反、对称、传递矩阵。,故 R 为模糊等价矩阵。,定理模糊矩阵 R 是模糊等价矩阵 对0,1,R 的 截矩阵 R 均是普通等价矩阵。,
