1、2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法二分法,1、函数的零点的定义：,使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,复习：,2、零点存在性判定法则,复习：,在八个大小形状完全一样的银元中有一个是假银元， 已知假银元比真银元稍轻点儿。现在只有一个天平， 如何找出假银元？,答案: 3次,CCTV2 “幸运52”录制现场有奖竞猜,问题情境：,请你猜一猜这款手机的价格,CCTV2“幸运52”片段 ：主持人李咏说道:猜一猜这款手机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!,问题2:你知道这件商品的价格在什么范围内吗?,问题3:若接
2、下来让你猜的话,你会猜多少价格比较合理呢?,答案:1500至2000之间,问题情境,问题1能否求解以下几个方程(1) x2-2x-1=0(2) 2x=4-x(3) x3+3x-1=0,用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程.,探索新授：,由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内， 另一个根x2在区间(-1,0)内,画出y=x2-2x-1的图象(如图),结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)=-10，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.,问题2不解方程，如何
3、求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）?,思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？,由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。,数离形时少直观，形离数时难入微！,1简述上述求方程近似解的过程,f(2.5)=0.250, f(2.25)= -0.43750, f(2.375)= -0.23510, f(2.4375)= 0.1050,通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!, 2.375与2.4375的近似值都是2.4, x12.4,解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点,对于在区间a,b上连续不断，且f(a) f(b)0的函
4、数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法,问题4：二分法实质是什么？,用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。,问题3如何描述二分法？,例题：不利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1）,怎样找到它的解所在的区间呢？,在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象（如图）,能否不画图确定根所在的区间？,方程有一个解x0(0, 4),如果画得很准确，可得x0(1, 2),数学运用(应用数学),解：设函数 f (x)=2
5、x+x-4,则f (x)在R上是增函数f (0)= -30, f (x)在(0,2)内有惟一零点，方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.,由f (1)= -10 得：x0(1,2),由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10 得：x0(1,1.5),由f (1.25)= -0.370 得：x0(1.25,1.5),由f (1.375)= -0.0310 得：x0(1.375,1.5),由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0 得： x0(1.375,1.4375), 1.375与1.4375的近似值都是1.4, x01.4,1利用yf(x)的图象
6、，或函数赋值法(即验证f (a)f(b)0 )，判断近似解所在的区间(a, b).,2“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中点,3计算f (x1)：(1)若f (x1)0，则x0x1；(2)若f (a)f(x1)0，则令bx1 (此时x0(a, x1);(3)若f (a)f(x1)0，则令ax1 (此时x0(x1,b).,4判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤24,问题5：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x)近似解的基本步骤？,练习1：求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确度 0.1),直接画y=x3+3x-1的图象比较困难，因此
7、宜变形为x3=1-3x，画两个函数的图象y=x3和y=1-3x如下：,有惟一解x0(0,1),练习2:下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）,C,问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？,1. 函数y=f (x)在a,b上连续不断 2. y=f (x)满足 f (a) f (b)0，则在(a,b)内必有零点.,练习3. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？,要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，要检查多少次？,算一算：,答：7次,答：用二分法
8、,第2次：1000022=2500,第1次：100002=5000,第3次：1000023=1250,第4次：1000024=625,第5次：1000025=312.5,第6次：1000026=156.25,第7次：1000027=78.125,二分法的应用,例. 从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至多需要检查接点的个数为几个？,答：至多检查3个接点.,二分法的应用,课堂小结,1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法 2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想 3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活 4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.,
