六年级图形问题综合(奥数)含标准答案.doc

1、1 / 9平面图形计算（一）经典图形：1. 任意三角形 ABC 中，CD= AC，EC= BC，则三角形 CDE 的面积占总面积的 = （为什314314么？）2. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。 （为什么？）3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。 （1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。 （为什么？）4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方 2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方2，或者等于斜边的平方 4.（为什么？）例题：例 1 如右图，三

2、角形 ABC 的面积是 10，BE=2AB，CD=3BC ，求三角形 BDE 的面积。例 2 如图，已知三角形 ABC 的面积是 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB，延长 BC 至 E，使CE=2BC，延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。例 3 如图，三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AE=ED，EF=2BF，求 AEF 的面积。2 / 9例 4 如图，ABCD 是个长方形，DEFG 是个平行四边形，E 点在 BC 边上，FG 过 A 点，已知，三角形 AKF 与三角形 ADG 面积之和等于 5 平方厘米，DC=CE=3 厘米。求

3、三角形 BEK 的面积。F KB E CDGA例 5 如图，三角形 ABC 的 AB 和 AC 两条边分别被分成 5 等分。三角形 ABC 面积是 500，求图中阴影部分的面积？例 6 如图，设正方形 ABCD 的面积为 120，E、F 分别为边 AB、AD 的中点，FC=3GC ，则阴影部分的面积是多少？AB CDFE G例 7 在如图所示的三角形 AGH 中，三角形 ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH 的面积分别是1，2，3，4，5，6 平方厘米，那么三角形 EFH 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GH例 8 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 为对角线，EF 平行于

4、 AC，如果三角形 AED 的面积为 12 平方厘米， ，求三角形 DCF 的面积。D CA BEF3 / 9练习：1. 已知正方形 ABCD 的边长是 5cm，又 EF=FG，FD=DG，求三角形 ECG 的面积。E B CGDAF2. 正三角形 ABC 的边长为 12 厘米，BD，DE ，EF ，FG 四条线段把它的面积 5 等分，求AF，FD，DC，AG，GE，EB 的长。A BGECDF3. 如图所示是某个六边形公园 ABCDEF，M 为 AB 中点， N 为 CD 中点， ，P 为 DE 中点，Q 为 FA 中点，其中游览区 APEQ 与 BNDM 的面积之和为 900 平方米。中间

5、的湖泊面积为 361 平方米，其余的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？AB CDEFQ PNM4. 如图，AE=EC，BD=2DC，AF=3BF，若三角形 ABC 的面积为 270 平方厘米，求图中阴影部分的面积。5. 如下图,正方形 的边长为 12, 是边 上的任意一点, 、 、 、 分别是边 、ABCDPABMNIHBC上的三等分点, 、 、 是边 上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.EFG6. 如图正方形 的边长是 4 厘米, 是 3 厘米,长方形 的长 是 5 厘米,那么它的宽ABCDCGDEFG是_厘米.E4 / 97. 如图，CE=4EA， BD=3CD，AF=5BF 。若三

6、角形 ABC 的面积为 120 平方厘米，求图中四个小三角形的面积。8. DF 与平行四边形 ABCD 的 BC 交于 E 点，与 AB 交于 F 点。若三角形 ABE 的面积是 97 平方厘米，求三角形 CEF 的面积。9. 梯形 ABCD，AB ，CD 分别是梯形的上，下底。已知阴影部分的总面积为 8 平方厘米，三角形COD 的面积是 16 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米？ABC DO图形与面积(一)一、填空题1. 如下图,把三角形 的一条边 延长 1 倍到 ,把它的另一边 延长 2 倍到 ,得到一个较ABCDACE大的三角形 ,三角形 的面积是三角形 面积的_倍.EAB

7、2. 如下图,在三角形 中, =8 厘米, =6 厘米, 、 分别为 和 的中点.那么三角EFB形 的面积是_平方厘米.F3. 如 下 图 , 那 么 ,三 角 形 的 面 积 是 三 角 形 面 积 的 _.41,3ADBA4. 下 图 中 ,三 角 形 的 面 积 是 30 平 方 厘 米 , 是 的 中 点 , 的 长 是 的 长 的 2 倍 ,那 么 三 角 形CDBCD的 面 积 是 _平 方 厘 米 .E5. 5. 现 有 一 个 55 的 方 格 表 (如 下 图 )每 个 小 方 格 的 边 长 都 是 1,那 么 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 总 和 等 于_.6. 下

8、 图 正 方 形 边 长 是 10 厘 米 ,长 方 形 的 长 为 8 厘 米 ,宽 为 5 厘 米 .阴 影 部 分 甲 与 阴 影 部 分ABDEFGH乙 的 面 积 差 是 _平 方 厘 米 .7. 如 图 所 示 ,一 个 矩 形 被 分 成 、 、 、 四 个 矩 形 .现 知 的 面 积 是 2cm2, 的 面 积 是 4cm2, 的 面BCDABC5 / 9积 是 6cm2.那 么 原 矩 形 的 面 积 是 _平 方 厘 米 .8. 有 一 个 等 腰 梯 形 ,底 角 为 450,上 底 为 8 厘 米 ,下 底 为 12 厘 米 ,这 个 梯 形 的 面 积 应 是 _平

9、 方 厘 米 .9. 已 知 三 角 形 的 面 积 为 56 平 方 厘 米 、 是 平 行 四 边 形 的 2 倍 ,那 么 阴 影 部 分 的 面 积 是 _ABCDEFC平 方 厘 米 .10. 下 图 中 ,在 长 方 形 内 画 了 一 些 直 线 ,已 知 边 上 有 三 块 面 积 分 别 是 13,35,49.那 么 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是_.二 、 解 答 题11. 已 知 正 方 形 的 面 积 是 50 平 方 厘 米 ,三 角 形 两 条 直 角 边 中 ,长 边 是 短 边 的 2.5 倍 ,求 三 角 形 的ABCABC面 积 .12. 如 图 ,

10、长 方 形 中 , =24cm, =26cm, 是 的 中 点 , 、 分 别 是 、 的 四 等 分ABCDEFGD点 , 为 上 任 意 一 点 ,求 阴 影 部 分 面 积 .H13. 有 两 张 正 方 形 纸 ,它 们 的 边 长 都 是 整 厘 米 数 ,大 的 一 张 的 面 积 比 小 的 一 张 多 44 平 方 厘 米 .大 、 小 正 方 形纸 的 边 长 分 别 是 多 少 ?14. 用 面 积 为 1,2,3,4 的 四 张 长 方 形 纸 片 拼 成 如 图 所 示 的 一 个 长 方 形 .问 :图 中 阴 影 部 分 面 积 是 多 少 ?图形与面积（二）一、填

11、空题1. 下图是由 16 个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是 400 平方厘米,那么它的周长是_厘米.2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21 日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是 1.那么 7,2,1 三个数字所占的面积之和是_.3. 下图中每一小方格的面积都是 1 平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米.4. 下图的两个正方形,边长分别为 8 厘米和 4 厘米,那么阴影部分的面积是_平方厘米.5. 在 中, , ,已知 的面积是 18 平方厘米,则四边形 的面积ABCD2BEAACAEDC等于_平方厘米.6. 下图是边长为 4 厘米的正方形, =5

12、 厘米、 是_厘米.O7. 如图正方形 的边长是 4 厘米, 是 3 厘米,长方形 的长 是 5 厘米,那么它的宽GDEFG是_厘米.DE8. 如图,一个矩形被分成 10 个小矩 形,其中有 6 个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是 _.9. 如下图,正方形 的边长为ABC12, 是边 上的任意一点,PAB、 、 、 分别是边 、 上的三等分点, 、 、 是边 上的四等分点,图中阴MNIHADC影部分的面积是_.10.下图中的长方形的长和宽分别是 6 厘米和 4 厘米,阴影部分的总面积是 10 平方厘米,四边形的面积是_平方厘米.D二、解答题11.图中正六边形 的面积是 54. ,

13、,求阴影四边形 的面积.ABCEFPFA2BQCCEPQ12.如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.13.一个周长是 56 厘米的大长方形,按图 35 中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长方形面积的比是: , .而在(2)中相应的比例是 , .又2:1 3:1A:B知,长方形 的宽减去 的宽所得到的差,与 的长减去在 的长所得到的差之比为 1:3.求大长D D方形的面积.25 20 3036 16 126 / 914.如图,已知 , , ,5CD7E15F.直线 将图形分成两部分,左6FGAB边部分面积是 38,右边

14、部分面积是 65.那么三角形 面积是_.（一）答案：1. 6.如 下 图 ,连 接 ,因 为 ,所 以 , ,即 .又 因 为BEAC2ABCES2ABCES3,所 以 , ,这 样 以 来 , .DABDESD62. 6.已 知 、 分 别 是 和 的 中 点 ,因 此 的 面 积 是 的 面 积FF的 , 的 面 积 又 是 的 面 积 的 .又 因 为1EBA21 246812SABC(平 方 厘 米 ), 所 以 (平 方 厘 米 ).64ES3. .由 可 知 .因 为 与 是 同 一 个 顶 点 ,21,3CDDE4,33ABCE底 边 在 同 一 条 线 段 ,所 以 这 两 个

15、 三 角 形 等 高 ,则 三 角 形 面 积 与 底 边 成 正 比 例 关 系 ,因 此.同 理 可 知 .这 样 以 来 , 的 面 积 是 的 的 ,即 是ABECSACS4E324的 面 积 的 .21所 以 , 的 面 积 是 的 .D4. 5.因 为 是 的 中 点 ,所 以 三 角 形 和 三 角 形 面 积 相 等 (等 底 、 等 高 的 三 角 形 等 积 ),从 而BADB三 角 形 的 面 积 等 于 三 角 形 面 积 的 一 半 ,即 302=15(平 方 厘 米 ).在 与 中 ,ACBCCDEA,高 相 等 ,所 以 的 面 积 是 面 积 的 .即 的 面

16、积 是 (平 方 厘E31E 513米 )5. 10 三 个 阴 影 三 角 形 的 高 分 别 为 3,2,2,底 依 次 为 2,4,3,所 以 阴 影 部 分 面 积 总 和 等 于.102426. 60 设 正 方 形 的 面 积 为 ,长 方 形 的 面 积 为 ,重 叠 部 分 的 面ABCDaEFGHbEFNM积 为 ,则 阴 影 部 分 的 面 积 差 是 : .即 阴 影 部 分 的 面 积 差 与 重 叠 部 分 的 面 积 大 小 无 关 ,c acb)(应 等 于 正 方 形 的 面 积 与 长 方 形 的 面 积 之 差 .所 求 答 案 :1010-85=60(平

17、方 厘 米 ). 7. 24 图 中 的 四 个 矩 形 是 大 矩 形 被 两 条 直 线 分 割 后 得 到 的 ,矩 形 的 面 积 等 于 一 组 邻 边 的 乘 积 .从 横 的 方 向 看 ,两个 相 邻 矩 形 的 倍 比 关 系 是 一 致 的 , 是 的 2 倍 ,那 么 也 应 是 的 2 倍 ,所 以 的 面 积 是 26=12BADCD,从 而 原 矩 形 的 面 积 是 2+4+6+12=24 .cmcm8. 20 如 下 图 ,从 上 底 的 两 个 端 点 分 别 作 底 边 的 垂 线 ,则 是 矩 形 , (厘 米 ).BFE)81(AB因 为 ,所 以 是

18、等 腰 直 角 三 角 形 ,则 (厘 米 ).根 据 梯 形 的045AE2求 积 公 式 得 : (平 方 厘 米 ).2018宽S9. 14 由 已 知 条 件 ,平 行 四 边 形 的 面 积 是 :562=28(平 方 厘 米 )如 下 图 ,连 接DFCAC B7 / 9, 为 平 行 四 行 形 的 对 角 线 ,由 平 行 四 边 形 的 性 质 如 ,ECDEFCSDEC21F(平 方 厘 米 ).在 与 中 , 为 公 共 底 边 , 平 行 于 ,从 而 边 上 的 高2814AEDAED相 等 ,所 以 , (平 方 厘 米 ).CEDAS1410. 97 因为长 方

19、形 的 面 积 等 于 与 的 面 积 和 ,所 以 与BCB重 叠 部 分 的 面 积 等 于 长 方 形 未 被 这 两 个 三 角 形 盖 住 部 分 的 面 积 和 ,即 .971354宽S11. 画 两 条 辅 助 线 如 下 图 ,根 据 条 件 可 知 ,正 方 形 面 积 是 长 方 形 面 积 的 2.5 倍 .从 而ACD的 面 积 是 502.5=20(平 方 厘 米 ).所 以 的 面 积 是 202=10(平 方 厘 米 ).ABC12. 连 结 , 的 面 积 为 .把 和 结 合 起 来 考 虑 ,这 两HE)(1624361cmBHFG个 三 角 形 的 底 、

20、 相 等 ,且 都 等 于 长 方 形 宽 的 ,它 们 的 高 与 之 和 正 好 是 长 方 形 的 长 ,FDG所 以 这 两 个 三 角 形 的 面 积 之 和 是 : )(22 DADGAHBF.于 是 ,图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 216+108=324 .)(108362421cmAB cm13. 把 两 张 正 方 形 纸 重 叠 在 一 起 ,且 把 右 边 多 出 的 一 块 拼 到 上 面 ,成 为 一 个 长 方 形 ,如 图 :这 个 长 方 形 的 面 积 是 44 平 方 厘 米 ,它 的 长 正 好 是 两 个 正 方 形 的 边 长 的 和 ,它

21、的 宽 正 好 是两 个 正 方 形 的 边 长 的 差 .因 为 两 个 整 数 的 和 与 它 们 的 差 是 同 奇 或 同 偶 ,而 44 又 只 能 分 解 成 下 面 的 三 种 形 式 : 44=144=222=411.所 以 ,两 个 正 方 形 的 边 长 的 厘 米 数 的 和 与 差 只 能 是 22 与 2.于 是 ,两 个 正 方 形 的 边 长是 (22+2)2=12(厘 米 ),12-2=10(厘 米 ).14. 如 图 大 长 方 形 面 积 为 1+2+3+4=10.延 长 交 底 边 于 ,延 长 交 底 边 于 .矩 形 面RAQSBPABR积 是 上 部

22、 阴 影 三 角 形 面 积 的 2 倍 .矩 形 是 下 部 阴 影 三 角 形 面 积 的 2 倍 .所 以 矩 形 的 面BS QS积 是 阴 影 部 分 面 积 的 两 倍 .知 , 因CD373 CDCA2137此 矩 形 的 面 积 是 大 矩 形 面 积 的 ,阴 影 部 分 面 积 是 大 矩 形 面 积 的 .阴 影 部 分 面 积 = 10= .RQSP2121（二）答案：1. 170.每个小正方形的面积为 40016=25 平方厘米,所以每个小正方形的边长为 5cm,因此它的周长是345=170 厘米.2. 25. 7,2,1 所占面积分别为 7.5,10 和 7.5 .

23、3. 6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正方形 3 个,面积为 1 的三角形 5 个,面积为 1.5 的三角形一个,因此围成面积是 44-3-5-1.5=6.5(平方厘米).4. 24 仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面积.=16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米)2)84(8425. 12 如下图,连接 ,因为 ,所以 ;又 ,ADCB2ADCBS218ABCDBS所以 .因为 ,所以 ;因此1BSE61EDS8 / 9(平方厘米).1268BDEACEDSS6. 3.2

24、 如下图,连接 ,则 (平方厘米).从另一角度看,84宽SA,于是 . =3.2(厘米)OABE5215252OB7. 3.2 如下图,连接 ,则 的面积是正方形 面积的 ,也是长方形GACD1的面积的 ,于是长方形 的面积等于正方形 的面积 44=16(平方DFDEF厘米). (厘米).2.3516E8. 243 我们用 , , , 分别表示待计算的小矩形面积上、下两个矩形,长是相同的.ABC25 20 3036 16 C12因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比.这样就有:20:16= :36, A;20:16=25: , ;20:16=30: , ; 20:16= :

25、12, 4516320AB20516240316D.因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243D9. 60 如下图,连接 ,则阴影部分就是由四个三角形: , , 和 组成.PDPDHGPEFMN和 的底都有 3,高为 12,所以 . 和 的底都PGEF 1823EFPGS是 4,两条高分别为 和 则:ABBASMNH421=2( + )=212=24 所以,阴影部分的面积是: =18+18+24=60PEFDPMNDHS10.4 长方形 的面积是 64=24(平方厘米) (平方厘米)EFGH 12GAS=12-10=2(平方厘米)宽SSSAHGAD

26、B又 (平方厘米)所以,四边形 的面积等于:62414EFC BC=6-2=4(平方厘米)(ABEH11.如图,将正六边形 等分为 54 个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积.采用数小三角形的办法来计算面积. 面积=3; 面积=9;四边形 面积=11.上述三PEFDEABQP块面积之和为 3+9+11=23,因此,阴影四边形 面积为 54-23=31.CQ12.如图,涂阴影部分小正六角星形可分成 12 个与三角形 全等(能完全重叠地放在一起)的小三角OPN形.三形 的面积是 平方厘米.正三角形 面积是由三个与三角形 全等的三角OPN34126MON形组成.所以正三角形 的面积等

27、于 (平方厘米). 由于大正方六角星形由 12 个与正三M43角形全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是 412=48(平方厘米)M9 / 913.设大长方形的宽为 ,则长为 28- .因为, , , 所以, .xxxD32宽4宽 12xD宽宽, , .由题设可知, : :3 或 D2854宽 28109宽 810宽宽 08,于是 , .大长方形的长=28-8=20,从而大长方形的面积为 820=160 平方厘10x7x米.14.三角形 面积是三角形 面积的(15+6)7=3(倍),三角形 面积是三角形 面积的AEGAEDBEFBEC15(5+7)= (倍).所以 65-38 等于三角形 面积与三角形 面积的 之差,因此三角形4545GAD45的面积是(65-38 )(3- )=10.三角形 面积是 10(3+1)=40.DA