1、泛函分析在数值分析中的应用刘肖廷 工程力学 160410040007一、 数学概述数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑
2、学则包含点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数
3、学的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。泛函分析的基本内容和基本特征（一）度量空间和赋范线性空间1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19 世纪末，德国数学家 G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家 M. R. 弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的概念。定义：设 x 为一个集合，一个映射。 若对于任何 x，y ，z 属于 x，有(1) (正定性 ) ，且: XRd(,y0d。当且仅当 ； (2) (对称性) ；(3) (三角不等式) (x,y)0,),dyx
4、，则称 d 为集合 x 的一个度量(或距离) 。称偶对(X ,d ) 为一个(,)(,)(,)dxyzdy度量空间，或者称 x 为一个对于度量 d 而言的度量空间。度量空间中最为我们所熟知的是三维欧氏空间，这个空间中的度量定义为连接该两点线段的长度。2 、泛函分析所要研究的主要是实数域或复数域上完备的赋范线性空间。这类空间称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论来完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言， 其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的
5、任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为 50) 上的态射， 所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。3 、巴拿赫空间理论（Banach space) 是 1920 年由波兰数学家巴拿赫(S. Banach)一手创立的， 数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们在许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间， 可看成通常向量空间的无穷维推广， 即有。 巴拿赫空间（Banach space) 是一种赋有 “长度“ 的线性空间， 是泛函|
6、sup|nxx分析的基本研究对象之一。数学各个分支的发展为巴拿赫空间理论的完善提供了丰富且生动的素材。从外尔斯特拉斯，K. (T. W. )以来，人们就己十分关心闭区间 a，b 上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在 19 世纪末，G .阿斯科利就得到 a ,b 上一族连续函数之列紧性的判断准则， 后十分成功地应用于常微分方程和复变函数论中。(二)线性算子出现在各个数学领域中具有线性性质的运算(例如线性代数中的线性变换，微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等)的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用， 同时也是盘子
7、物理的数学基础之。中国物理学界习惯上把算子称为算符。设 X, Y 是两个实数域或复数域上的线性空间，T 是 X 到 Y 的映射。T 的定义域和值域分别记为 D（T） ， R（T） 。如果对任何数 , 和 x1，x 2 D(T)，满足 x1+x2 D (T ) ， 并且T（ x1+x2）= Tx1+Tx2 ,则称 T 是以 D (T ) 为定义域的 X 到 Y 的线性算子。特别当 D(T) = X， Y 是实数域或复数域时，则称 T 是 X 上的线性泛函。设 T1, T2 是 x 到 y 的线性算子，它们的定义域分别是 D(T1) ,D(T2)。对任一数 ,规定 T1 表示以 D (T1) 为定
8、义域， 而对任何 xD (T1)，有T1X=(T1X)的算子。规定 T1+T2 表示以 D (T1)D(T2) 为定义域，而对任何 XD (T1)D(T2) ,有（T 1+T2）x= T1 x+ T2x 的算子。易知。 T1 (称 T1 的 倍) ， T1+T2 (称 T1 与 T2 的和)仍是线性算子。又设 T3 为定义域的 Y 到 z 的线性算子，规定 T3 T1（也记做 T3T1） ，表示以为定义域而对任何 x D ， 有（T 3 T1）x= T3（T 1x）的算11|(),()Dx子。(三)泛函分析的主要定理包括1. 一致有界定理， 该定理描述族在界算子的性质。2. 谱定理包括一系列结
9、果， 其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达， 该结果在量子力学数学描述中起核心作用。3. 罕-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem) 研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的。4. 开映射定理和闭图像定理。(四) 泛函分析与选择公理泛函分析所研究的空间大都是无穷维的。而欲证明无穷维向量空间存在一组基， 就必须使用佐恩引理。此外， 泛函分析的重要定理大都构建在罕-巴拿赫定理的基础上， 而该定理本身正是选择公理弱于布伦素理想定理的一个形式 a(五)泛函分析的特点和内容分析学是研究实数与复数及其函数关系的数学分支。
10、它的发展由微积分开始， 并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。而泛函分析正是分析学发展的高级形态。泛函分析的特点在于它不但把古典分析中的基本概念和方法一般化了， 而且还把这些概念和方法几何化了。比如， 将不同类型的函数看作“函数空间 “中的点或矢量， 最终得到了“抽象空间“ 的概念。它同时包含了以前讨论过的几何对象与不同的函数空间。泛函分析是研究现代物理学的一个有力工具。n 维空间可以用来描述具有 n 自由度力学系统的运动， 因而描述无穷自由度力学系统的数学工具应运而生。正如研究有穷自由度系统要求有限维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度系统则需要无穷维空间的几何学和分
11、析学， 这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可称为无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是极限方法，仍可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最“年轻“ 的分支， 它是古典分析观点的推广，它综合运用函数论、几何和代数观点来研究无穷维向盘空间上的函数、算子、和极限理论。它于 20 世纪40 到 50 年代臻于完善。半个多世纪来，泛函分析一方丽从其他学科提供素材中提取自己的研究对象和研究手段，并形成了诸如算子谱论、巴拿赫代数论、拓扑线性空间论、广义函数论等许多重要分支: 另一方而， 它强有力地推动着其他分析学科的发展， 在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、孟
12、子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用， 既是建立群上调和分析论的基本工具， 也是研究无穷自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天， 它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。三、泛函分析在数值分析中的应用事实上， 泛函分析是整个现代数学的基础性学科， 其理论成果与研究方法广泛应用于数学以及物理学等基础自然科学之中。鉴于论题及需要所限， 本文仅对泛函分析在数值分析中的部分应用做出简要说明， 而作为个工学硕士研究生而言，对数值分析的应用则主要集中在六个方丽求解非线性方程或方程组、求解线性方程组、插值与逼近、数值积分与微分、矩阵本征求解与求解
13、常微分方程或方程组，故，本文仅对泛函分析在数值分析以上领域中的应用做出探讨。涉及以上六个领域的数值求解问题，大体可以分为两类： 其一为寻优性问题，即不知解而求之: 其二为逼近性问题， 即不知解而近之。研究第一类问题的核心在于保证寻优过程的收敛性与最优解的存在性，而研究第二类问题的核心在于逼近过程的收敛性与运算结果的准确性。用泛函分析的语言说， 第一类问题就是算子不动点的存在性问题，第二类问题就是线性算子列的收敛性与一致有界性的问题。下面分别加以论述。关于用泛函分析理论解析第一类问题的任务可由巴拿赫压缩映射原理来完成。此定理指出， 完备度量空间上压缩映射必存在唯一的不动点。所谓压缩映射，就是指使
14、象集中任意两点间的距离必小于其所对应的原象之间的距离的映射， 而一切巴拿赫空间必是完备的度量空间。所以要论证巴拿赫空间中寻优过程的收敛性与最优解的存在性，只需要证明该寻优过程所对应的映射是巴拿赫空间上面的压缩映射即可。该定理可用于证明线性或非线性方程或方程组， 微分方程及积分方程等问题解的唯一性。关于用泛函分析理论解析第二类问题的任务可由共鸣定理来完成。共鸣定理指出， 巴拿赫空间上的有界线性算子列必在算于范数的意义下致有界。因此，要论证巴拿赫空间中逼近过程的收敛性与运算结果的准确性， 只需要证明该逼近过程所对应的算子列是有界线性算子列即可。该定理可用于说明 Fourier 级数的发散问题，Lagrange 插值公式的发散性问题与机械求积公式的收敛性问题等等。四、小结上文简要说明了数学学科的概况，泛函分析的基本内容及其在数值分析中的应用。 事实上，泛函分析科学体系的建立得益于 20 世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理， 即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。鉴于笔者水平有限， 尚不能将泛函分析这基一基础性学科的应用性问题说清道明本文所说仅为泛函分析应用性问题中的一小部分而己，事实上， 泛函分析正作为一股强大的力量推动着现代科技的发展滚滚向前。
