1、1数学选修 2-1 利用空间向量计算距离问题主讲教师：巫宇霞【知识概述】利用空间向量计算距离问题1.空间两点间的距离已知空间两点 ,则 A,B 两点间的距离为12(,)(,)AxyzBxyz.2211|B2.点到直线的距离已知直线 l 的方向向量为 ， P 为 l 外一点， POl 于 O， PA 与 l 交于 A， 则点 P 到直线 l 的a距离 22222|(|cos,|()dPOAAPaa3.点到平面的距离已知 P 为平面 外一点，PA 为平面 的斜线段，PO平面 于 O， 的法向量为 ，n则点 P 到平面 的距离 .2 |cos,PAdPOn直线到平面的距离，平面到平面的距离可以转化为
2、点到平面的距离.【学前诊断】1 难度中正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面边长为 2 ，侧棱长为 4，点 E、F 分别为棱 AB、BC2的中点，EFBDG，求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d.2数学选修 2-1 2 难度中已知斜三棱柱 ABCA 1B1C1， BCA 90，ACBC2，A 1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC的中点 D，又知 BA1AC 1.(1)求证：AC 1平面 A1BC；(2)求点 C1 到平面 A1AB 的距离；3 难度难如图所示，在三棱锥 PABC 中，AC=BC=2，ACB =90，AP= BP=AB，PC AC.(1)求证：PCAB；(2)求二面
3、角 BAPC 的余弦值；(3)求点 C 到平面 APB 的距离【经典例题】例 1. 二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点，AC 、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BDl，且 ABACBD1，则 CD 的长等于_ 例 2 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，O 为底面 A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )A. B. C. D. 12 24 22 32例 3. 如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC16，PA PC10. 证明：在 ABO
4、内存在一点M，使 FM平面 BOE，并求点 M 到 OA，OB 的距离.例 4. 已知在四边形 ABCD 中，AD /BC，AD =AB=1， ，将45,90BCDAABD 沿对角线 BD 折起到如图所示 PBD 的位置，使平面 .PBCD平 面求点 D 到平面 PBC 的距离.3数学选修 2-1 例 5. 如图，正方形 、 的边长都是 1，而且平面 、 互相垂ABCDEFABCDEF直.点 在 上移动，点 在 上移动，若 .MNaNM)20(（）求 的长；（）当 为何值时， 的长最小；a（）当 长最小时，求面 与面A所 NB成的二面角 的余弦值.【本课总结】1. 求空间中两点的距离就是利用距
5、离公式.2. 求点到直线、点到平面的距离，可以利用本节课所学的公式来解决.3.在对公式记忆不清时，求点到直线的距离、点到平面的距离时，可以通过作出图形，借助空间向量与勾股定理来解决.4.在求空间距离时，可以利用等体积法等方法，有时会非常简便.【活学活用】1 难度中已知 是底面边长为 1 的正四棱柱， 是 和 的交点.1ABCD1OAC1BD（1 ） 设 与底面 所成的角的大小为 ，二面角 的大小为1.求证： ；tan2t（2 ） 若点 到平面 的距离为 ，求正四棱柱 C1ABD43的高. O1DCBAD1C1B1A14数学选修 2-1 HCBC1B1A1A ABEDSC2 难度难如图，在三棱柱 中， 是正方形 的中心， ，1ABCH1AB12A，且 .11CH平 面 5（1 ）求异面直线 与 所成角的余弦值；1（2 ）求二面角 的正弦值；ACB（3 ）设 为棱 的中点，点 在平面 内，N1M1AB且 ，求线段 的长平 面3. 难度难如图，在四棱锥 中， 且 ；平面 CSD平面 AB，SABCDA,2CS； E为 S的中点， 2,3EA求：（1）点 到平面 的距离；（2）二面角 的大小 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
