1、 顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1计算 得 ( )2iA B. C. D. 31ii2i2.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的 的值是 ( )BA B C D 631573直线 ， 都是函数x2的对称轴，且函数 在区) ,0)(sin)( f )(xf间 上单调递减，则( ),A B ，262C . ， D ，634函数 在坐标原点附近的图象可能是1cosyx5. 等差数列 的前 项的和为 ，若 ，则 （ ）nanS20514aA. 9 B.12
2、C.15 D.18 2O332xy2O332xy2O332xy2O332xA BCD6已知函数 则“ ”是“ 在 上单调递减”的 2, 1,()xaf2a()fxRA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7. 直线 与圆 相交于不同的 A,B 两点（其中 是实数） ，1axby12yx ba,且 (O 是坐标原点)，则点 P 与点 距离的取值范围为（ ） 0OAB ),(ba1(0,)2A. B. C. D. (1,)1(,)2(,)1(,2)8对于任意 ， 表示不超过 的最大整数，如 . 定义 上的函xx1.,2.3R数 ，若 ，则 中所有元素的和为（
3、 ()248f()0AyfxA）A55 B. 58 C.63 D.65二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.9已知 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在 C 上，若 则 = .12,F210xy19,F2P10.设函数 在 内导数存在，且有以下数据：(),fxg(,5)1 2 3 4()f2 3 4 1x3 4 2 1()g3 1 4 2x2 4 1 3则曲线在点 处的切线方程是 ；函数 在 处的导数值是 (1,)f ()fgx211已知 在 上的最大值为 2，则最小值为 .sincotanxx1,12设 ，则 的值是 ； )()31(22a
4、),34a的值是 .1013. 已知 M、N 是 所围成的区域内的不同两点，则 的最大值是 . 601yx |MN14已知下列四个命题： 函数 满足：对任意 ，有 ；xf2)(Rx21, )(21)(21xffxf 函数 , 均是奇函数；)(log2f(xg 若函数 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足 ，那么)x )(4(xff；(ff= 设 是关于 的方程 的两根，则 .21,x )1,0(logakxa 1=2x其中正确命题的序号是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （本小题满分 13 分）已知角 的顶点在原点，始边与
5、 轴的正半轴重合，终边经过点 . x(3,)P（）求 的值；sin2ta（）若函数 ， ()cos)sin()sifx求函数 在区间 上的取值范围23yfxf203，16 （本小题满分 13 分）现有 10000 元资金可用于广告宣传或产品开发当投入广告宣传和产品开发的资金分别为 和 时，得到的回报是 求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回xy321yxP报.17 （本小题满分 13 分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， （nanS1a)1(naSn )N（）求 的表达式；（）若数列 的前 项和为 ，问：满足 的最小正整数 是多少？1nanT2091nn18 （本小题满分 14 分）已
6、知函数 xxfl)(2， .aR（）若 时，求曲线 在点 处的切线方程；0a()yf1,()f（）若函数 在 ,1上是减函数，求实数 的取值范围；（）令 2)(fg，是否存在实数 ，当 x,0e（ 是自然对数的底）时，函数)(x的最小值是 3，若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由19 （本小题满分 13 分）已知 ABC的顶点 A、B 在椭圆 ./,2:,432 lABxylCyx 且上在 直 线点上 （）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 AB的面积；（）当 90，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程.20 （本小题满分 14 分）已知函数 ，如果存在给定的
7、实数对（ ） ，使得 恒成立，则)(xf ba, bxaff)()(称 为“S-函数”.)(f（）判断函数 是否是“S-函数” ；xfxf3)(,)(21（）若 是一个“S-函数” ，求出所有满足条件的有序实数对 ；tan3 ),(ba（）若定义域为 的函数 是“S-函数” ，且存在满足条件的有序实数对 和 ，R)(xf 10)4,(当 时， 的值域为 ，求当 时函数 的值域.1,0x2,1 201,x)xf顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示数学试题参考答案（理科）一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 B A C A B
8、 C D B8解答： ， ，0,)(8xfx12,)(8fx23,)(8fx， ， ，34,)(f45,)(7f56,)(f， ，67,)(108xfx,)(18fx()4f二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上，有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分。9. 17 10. ，12 11. 031yx12. ； 13. 14. 85017三、解答题: 本大题共 4 小题,共 30 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15 （本小题满分 13 分）解：（）因为角 终边经过点 ，所以(3,)P， ， -3 分1sin2cos23tan-6
9、分3itait26(2) ， -8 分()cos()sin()sicofxxxR-10 分2331sin(2)12 6y 470,0,266xxx， -12 分1sin()16sin()故：函数 在区间 上的取值范围是23)yfxf03， 2,1-13分16. （本小题满分 13 分）解：由于 ，所以 10yx 10,)10(32132yyyxP-4 分考虑 ，由 得 ，23)(P2)(23 32,1-8 分由于当 时， ；当 时， ，-10 分30y0)(3P30y0)(3P所以 是 的极大值点，从而也是 的极大值点-12 分2故当投到产品开发的资金为 元时，得到的回报最大. -13 分32
10、17 （本小题满分 13 分）解：（）当 时， 2 分2n11()2()nnnaSa1)a数列 是以 为首项，以 2 为公差的等差数列n 6 分2（）数列 的前 项和为1nanT10 分1231 135(2)()1()()(57212n nT nn满足 的最小正整数 是 12. 13 分09092091nTn18 （本小题满分 14 分）解：（）当 时 ， 1 分0a2()lfx所以 ，又 2 分 1()2()fxf(1)f所以曲线 在点 处的切线方程为 ；3 分yf, 0xy（）因为函数在 上是减函数，所以：,012)(2 xaaxf在 2,1上恒成立， 4 分令 h，有 )(h 得 ,7a
11、6 分得 27a ； 7 分（）假设存在实数 ，使 xaxgln)(（ ,0(e）有最小值 3，xg1)( 当 0a时， ，所以：()0)(在 ,e上单调递减， 31)()(minaegx， e4（舍去） ，当 a1时， 在 ,e上恒成立()gx所以 在 ,0上单调递减， )()(minex， ea（舍去）10 分 当 ea1时，令 ， 1()0gxa所以 )(xg在 ,0上单调递减，在 ,(e上单调递增3ln1mina， 2，满足条件 12 分综上，存在实数 2e，使得当 ,0(x时 )(xg有最小值 3 14 分19 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ,/lAB且 AB 通过原点（0，
12、0） ，所以 AB 所在直线的方程为 .xy由 xy432得 A、B 两点坐标分别是 A（1，1） ，B（-1，-1） 。2)()(| 2121yAB2 分又 lh等 于 原 点 到 直 线边 上 的 高的距离。.|2,ABShBC5 分（）设 AB 所在直线的方程为 mxy由 .043643222 xmxy得因为 A，B 两点在椭圆上，所以 ,012即 .34m 7 分设 A，B 两点坐标分别为 ),(,21yx，则,4,2211 xx且 .,21myy 8 分2121)()()(| xyxAB6343492 222121 m9 分又 lmC到 直 线的 长 等 于 点 ),0(的距离，即
13、.2|B .)1(102| 22 mBACm,1时当 边最长。 （显然 34） 12 分所以，AB 所在直线的方程为 1xy 13 分20 （本小题满分 14 分）解：（）若 是“S-函数” ，则存在常数 ，使得 ( a+x)(a-x)=b.xf)(1 ),ba即 x2=a2-b 时，对 xR 恒成立.而 x2=a2-b 最多有两个解，矛盾，因此 不是“S-函数”.2 分若 是“S-函数” ，则存在常数 a,b 使得 ，f3)(2 axa23即存在常数对（ a, 32a）满足.因此 是“S-函数”4 分x（） 是一个“S-函数” ，设有序实数对（ a, b）满足:xftan)(3则 tan(a
14、-x)tan(a+x)=b 恒成立.当 a= 时，t an(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数 5 分Zk,2因此 ， ,Zm,则有 .bxaxaxa 22tn1ttn1ttn1t即 恒成立. 7 分0)()(222 bb即 ,t0ta2 Zk,14当 , 时，t an(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.Zmx,4ka因此满足 是一个“S-函数”的常数（ a, b）= .9 分xftn)(3 Zk),14() 函数 是“S-函数” ，且存在满足条件的有序实数对 和 ，,0(于是 ,)1()(,1 xfffx即错误！不能通过编辑域代码创建对象。,，错误！不能通过编辑域代码创建对象。4,2)()ff.10 分11 分)(42()(4)(14)1()( xffxffxffx .2,)(,201, ,16,6,4, 012xfxkk时 时依 次 类 推 可 知 时时 ，因此 , 13 分时 ， .1,2)(,1)(,)(, 020 xfxff时综上可知当 时函数 的值域为 .14 分201x(xf-，说明：其它正确解法按相应步骤给分
