1、 1 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级组） 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级组） 一、选择题（每小题 10分，满分 60分以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分 ， 则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行 A 0 B 2 C 3 D 4 2. 某次考试有 50道试题 ， 答对一道题得 3分 ， 答错一道题扣 1分 ， 不答题不得分小龙得分 120分 ， 那么小龙最多答对了（ ）道试题 A 40 B 42 C 48 D 50 3. 用 左下图的四张
2、含有 4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形 若在右下图的 16个方格分别填入 1， 3， 5，7（每个方格填一个数） ， 使得每行、每列的四个数都不重复 ， 且 每个 纸板内四个格子里的数也不重复 ， 那么A， B， C， D四个方格中数的平均数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 4. 小明所在班级的人数不足 40人 ， 但比 30人多 ， 那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ） A 2:3 B 3:4 C 4:5 D 3:7 5. 某学校组织一次远足活动 ， 计划 10点 10分从 甲 地出发 ， 13点 10分到达 乙 地 ， 但出发晚了 5分钟 ， 却早到达了 4分钟 甲乙两地
3、之间的丙地恰好是按照计划时间到达的 ， 那么到达丙地的时间是（ ） A 11点 40分 B 11点 50分 C 12点 D 12点 10分 6. 如右图所示 ， 7AF cm， 4DH cm， 5BG cm， 1AE cm 若正方形 ABCD内的四边形 EFGH的面积为78cm2， 则正方形的边长为（ ） cm A 10 B 11 C 12 D 13 2 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级组） 二、填空题（每小题 10分，满分 40分） 7. 五名选手 A， B， C， D， E 参加 “好声音 ”比赛 ， 五个人站成一排集体亮相 他们胸前有每人的选手编号牌 ，5个编
4、号之和等于 35已知站在 E右边的选手的编号和为 13；站在 D右边的选手的编号和为 31；站在 A右边的选手的编号和为 21；站在 C右边的选手的编号和为 7那么最左侧与最右侧的选手编号之和是 _ 8. 甲乙同时出发 ， 他们的速度如下图所示 ， 30分钟后 ， 乙比甲一共多行走 了 _米 9. 四个黑色 111的正方体和四个白色 111的正方体可以组成 _种不同的 222的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况） 10. 在一个圆周上有 70 个点 ， 任选其中一个点标上 1， 按顺时针方向隔一个点的点上标 2， 隔两个点的点上标3， 再隔三个点的点上标 4， 继续这个操作 ， 直
5、到 1， 2， 3， ， 2014都被标记在点上 每个点可能不只标有一个数 ， 那么标记了 2014的点上标记的最小整数是 _ 乙甲米 /分分100806040205 10 15 20 25 301008060402030252015105分米 /分3 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级组） 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级 组） 答案解析 1. 【答案】 C 【解析】 当 4条直线都互相平行时 ， 平面被分成 5 个部分 ， 不满足要求 ， 因此最多只能 3条直线互相平行构造：有 3条直线互相平行 ， 另外一条直线与它们都互相垂直 ， 此
6、时平面被分成 8个部分 2. 【答案】 B 【解析】 得分 120分 ， 说明至少需要答对 40道题 ， 其余 10道题不答 ， 满足题意若答对 41道题 ， 答错 3道题 ，其余题不答 ， 此时得分也是 120分若答对 42道题 ， 答错 6道题 ， 其余题不答 ， 此时得分也是 120分若答对 43道题 ， 得分依然为 120分 ， 需要再答错 9道题 ， 此时至少需要有 52道题 ， 5250， 因此不满足题意 另一解答：设作对 x题 ， 做错 y题 ， 未答 z题 ， 则有： 3 12050xyx y z 合并两个等式 ， 得到： 24 1 7 0 , 4 24 zx z x ， x
7、是非负整数 ， 尽可能大 ， 故 2, 42zx， 即小龙最多答对 42道试题 3. 【答案】 A 【解析】 如左下图 ， 用 M， N， P， Q标记 16个方格图最下面 4个方格 ， 因为 1 3 5 7 16 ， 所以 16A B M N ， 16C D P Q ， 即 3A B M N C D P Q 2 又因为 16M N P Q ， 所以 3 2 1 6 1 6A B C D 右上图是一种满足要求的填法 ， 且 A，B， C， D四个方格中数的平均数是 4 4. 【答案】 D 【解析】 如果男、女生人数的比是 2:3 ， 那么全班人数一定是 5的倍数 ， 男生 14人 ， 女生 2
8、1人 ， 满足题意如果男、女生人数的比是 3:4 ， 那么全班人数一定是 7的倍数 ， 男生 15人 ， 女生 20人 ， 满足题意如果男、女生人数的比是 4:5 ， 那么全班人数一定是 9的倍数 ， 男生 16人 ， 女生 20人 ， 满足题意如果男、女生人数的比是 3:7 ， 那么全班人数一定是 10的倍数 ， 但本班人数不足 40人 ， 但比 30人多 ， 所以男、女生人数的比不可能是 3:7 4 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级组） 5. 【答案】 B 【解析】 从 10点 10分到 13点 10分共有 3个小时 ， 比计划时间少用 9分钟 ， 即每小时少用
9、 3分钟 ， 少用 5分钟的时候 即是到达 B点的时间此时需要 5 (3 60) 100 分钟 ， 即 1小时 40分钟 ， 所以到达 B点的时间是 11点 50分 6. 【答案】 C 【解析】 用竖直线和水平线将正方形 ABCD 分割为如右图所示的 5 个长方形 ， 中间长方形的面积是 4 3 12 ，所以 ， 正方形的面积 7 8 1 2 2 1 2 1 4 4 ， 正方形的边长是 12 7. 【答案】 11 【解析】 由于 31 21 13 7， 说明 A在 D的右边 ， E在 A的右边 ， C在 E的右边 由于 ， 站在 C右边的选手的编号和为 7， 推出 B站在 C的右边 因此 ，
10、D是最左侧的选手 ， B是最右侧的选手 所以 ， B， C，E， D和 A的选手编号分别为 7， 6， 8， 4， 10 B与 D的选手编号和为 11 8. 【答案】 300 【解析】 由图所示 ， 前 10分钟 ， 甲和乙速度相同；第 10分钟至第 20分钟 ， 乙速度是 100米 /分 ， 甲的速度是 80米 /分 ， 故乙多走了 200米；第 20分钟至第 30分钟 ， 乙的平均速度是 80米 /分 ， 甲的平均速度是 70米/分 ， 故乙多走了 100米；乙共计多走了 300米 9. 【答案】 7 两个正方体各有一个侧面相互完全贴合 ， 则称为两个正方体有公共侧面 ， 以公共侧面个数分
11、类枚举： （ 1） 4个黑色正方体 ， 每个 与其他黑色正方体都没有公共侧面 ， 此时只有 1种 222的正方体 ， 如图 5a（是何道理 ， 请读者思考） ； （ 2） 4个黑色正方体 ， 每个最多与一个黑色正方体之间有公共侧面 ， 且至少有 1个黑色正方体和某个黑色正方体有公共侧面 ， 此时只有 1种 222的正方体 ， 如图 5b（是何道理 ， 请读者思考） ； （ 3） 4个黑色正方体中 ， 至少有 1个黑色正方体和另两个黑色正方体有公共侧面的情况： 有 1个且只有 1个黑色正方体与另两个黑色正方体之间都有公共侧面 ， 此时只有 1种 222的正方体 ， 如图 5c-1； 有 2个且只
12、有 2个黑色正方体 ， 每个与另两个黑色正方 体之间都有公共侧面 ， 此时有 2个 222的正方体 ， 如图 5c-2和图 5c-3， 且正如图中的标记 ， 图 5c-2中的 4个黑色正方体 ， 从有 1个公共5 第 十九 届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 A（小学高年级组） 侧面黑色正方体到有 2个公共侧面的黑色正方体是逆时针 ， 而图 5c-3则是顺时针 ， 则图 5c-2和图5c-3不可能旋转后相同； 显然 ， 不可能有且仅有 3个黑色正方体 ， 每个都和另两个都有公共侧面； 有 4个黑色正方体 ， 每个都和另两个黑色正方体有公共侧面 ， 此时 ， 有 1种 222的正方体 ，如图 5
13、c-4； 图 5c-1至图 5c-4显然是不同的 222的正方体 （ 4） 4个黑色正方体中 ， 有 1个黑色 正方体和其余 3个黑色正方体都有公共侧面 ， 此时 ， 只有 1种 222的正方体 ， 如图 5d 共有 7种 222的正方体 ， 除此之外 ， 别无其他不同类型 222的正方体 10. 【答案】 5 【解析】 将 70个点中某个点为起始点 ， 然后按顺时针方向依次将这 70个点记为第 1个 ， 第 2个 ， 第 3个 ， ，第 70个 第一种方法：用 ia 表示第 i个点上标记的数字 依题意 1 3 6 1 0 = 1 , = 2 , = 3 , = 4 ,a a a a， ， 且
14、按规律得 ： =2014ka ， 这里 k是 2 0 1 4 2 0 1 51 2 3 2 0 1 4 2 0 2 9 1 0 52 除以 70的余数 ， 即： 2 0 2 9 1 0 5 2 8 9 8 7 7 0 1 5 ， 15 5a 因此第 15个点上标记的最小整数为 5 第二种方法：用 ia 表示第 ia 个点上标记的数字是 i 依题意 1 2 3 4 = 1 , = 3 , = 6 , = 1 0 ,a a a a， ， 且按规律得 ： 2014 2 0 1 4 2 0 1 51 2 3 2 0 1 4 2 0 2 9 1 0 52a ， 2 0 2 9 1 0 5 2 8 9 8 7 7 0 1 5 ， 5 15a 因此第 15个点上标记的最小整数为 5 图 5a 图 5b 图 5c-1 图 5c-2 图 5c-3 图 5c-4 图 5d
