1、#*2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 A=x|2 x 1，B=x|x 1 或 x 3，则 A B= （A）x| 2 x 1 （B ） x|2 x 3 （C）x|1 x 1 （D ） x|1 x 3 （2）若复数（1i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（
2、A）(，1)（B）(，1)（C）(1，+)（D）(1，+)（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）2（B）3#*（C） 53（D） 8（4）若 x，y 满足 ，则 x + 2y 的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9（5）已知函数 1(x)3xf，则 ()f（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（B）是偶函数，且在 R 上是增函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（6）设 m,n 为非零向量，则 “存在负数 ，使得 mn”是“ 0 ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥
3、的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为#*（A）3 2（B）2（C）2（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 .则下列各数中与 N最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）10 33 （B）10 53（C）10 73 （D）10 93第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若双曲线21yxm的离心率为 3，则实数 m=_.（10）若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1，a 4=b4=8，则2ab=_.（11）在极坐标系中，点 A 在圆 2cos4i
4、n0，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .#*（12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称。若 1sin3， cos()= .（13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为_.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标学科&网分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i=1，2， 3。记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，
5、则 Q1，Q 2，Q 3 中最大的是_。记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p 2，p 3 中最大的是_。三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）在ABC 中， A =60，c= 37 a.（）求 sinC 的值；（）若 a=7,求ABC 的面积 .（16） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上， PD/平面 MAC,PA=PD= 6,AB=4.#*(I)求证： M 为 PB 的中点；(II)求二面
6、角 B-PD-A 的大小；(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正炫值。（17） （本小题 13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组个 50 名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标 xy 和的学科.网数据，并制成下图，其中“”表示服药者， “+”表示为服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A,B,C,D,四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E（ ） ；（）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方
7、差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（18） （本小题 14 分）已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P(1,1).过点(0, 12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点M,N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.#*（19） （本小题 13 分）已知函数 f(x)=excosxx.（）求曲线 y= f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数 f(x)在区间0, 2上的最大值和最小值.（20）（本小题 13 分）设a n和 b
8、n是两个等差数列，记cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中 maxx1,x2,xs表示 x1,x2,xs 这 s 个数中最大的数（）若 an=n，b n=2n1，求 c1,c2,c3 的值，并证明c n是等差数列；（）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时，ncM；或者存在正整数m，使得 cm,cm+1,cm+2,是等差数列2017 年北京高考数学（理科）参考答案与解析1A【解析】集合 与集合 的公共部分为 ，|21x|13Bx|21x故选 A2B【解析】 ， 对应的点在第二象限， 解得：(1i)(1)iaa10a1a故选 B3C【解析】当 时
9、， 成立，进入循环，此时 ， ；0k31k2s当 时， 成立，继续循环，此时 ， ；13当 时， 成立，继续循环，此时 ， ；2k3k5s当 时， 不成立，循环结束，输出 故选 C4D【解析】设 ，则 ，由下图可行域分析可知，在 处取得最大值，2zxy12zx 3代入可得 ，故选 Dma9#*5A【解析】奇偶性： 的定义域是 ，关于原点对称，fxR由 可得 为奇函数133xxxf fxf单调性：函数 是 上的增函数，函数 是 上的减函数，根据单调xyR13xyR性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即 是 上的增1=3xxfR函数综上选 A6A【解析】由于 ， 是非零向量， “存在负数
10、 ，使得 ”根据向量共线基本定理可知mnmn与 共线，由于 ，所以 与 方向相反，从而有 ，所以是充分条0n0件。反之，若 ， 与 方向相反或夹角为钝角时， 与 可能不共线，所nmn以不是必要条件。综上所述，可知 ”是“ ”的充分不必要条件，所以n选 A7B【解析】如下图所示，在四棱锥 中，最长的棱为 ，PABCDPA所以 ，故选 B222=()3PC#*8D【解析】由于 ，36180lglgllg361.48093.2MN=所以 ，故选 D93.28109 2【解析】双曲线的离心率为 33ca 2 ， ，1abm22abc 2231c10【解析】 是等差数列， ， ，na1a48公差 3d
11、21 为等比数列， ，nb1b48公比 2q 21b故 2a111【解析】把圆 改写为直角坐标方程 ，2cos4in0240xy#*化简为 ，它是以 为圆心，1 为半径的圆。画出图形，连22(1)()1xy,2结圆心 与点 ，交圆于点 ，此时 取最小值， 点坐标为 ，OPAPA1,1AO(1,2)P(1,0)A(1,)21yx1279【解析】因为角 和角 的终边关于 轴对称y ，1sin3cos coin2227sinsi1913 ， ，13【解析】由题意知 ， ， 均小于 ，所以找到任意一组负整数，满足题意即可abc014 1Q2p【解析】设线段 的中点为 ，则 ，其中 iABiiCxy2i
12、iQy123i因此只需比较 ， ， 三个点纵坐标的大小即可123由题意， ， ，故只需比较三条直线 ， ， 的斜率iiypx 1OC23即可15#*【解析】 （1）37ca由正弦定理得：33sini7214CA（2）37ca60A为锐角C由 得：3sin1413cos4C()in()BAsis313247又3ca1sin2ABCS437616【解析】 （1）取 、 交点为 ，连结 ACBDNM 面P面面 面BD MACNP在 中， 为 中点 B 为 中点M（2）方法一：#*取 中点为 ， 中点为 ，连结 ，ADOBCEOPE ，PAD又面 面面 面A BC 面POD以 为 轴， 为 轴， 为
13、轴建立空间直角坐标xEyOPz可知 ， ， ，20， ， 20A， ， 240B， ， 2P， ，易知面 的法向量为PD1m， ，且 ，20， ， 24P， ，设面 的法向量为Bnxyz， ，204xzy可知 12n， ， 22211cosm，由图可知二面角的平面角为锐角二面角 大小为BPDA60方法二：过点 作 ，交 于点 ，连结HEB 平面 ， ，BAPDA 平面 ， ，H 即为二面角 的平面角EB GNFPH M BCDA#*，可求得ADPOE 43AE4tan3B 60（3）方法一：点 ，21M， ， 40C， ，32C， ，由（2）题面 的一个法向量BDP12n， ，设 与平面 所成
14、角为M22316sinco 994Cn， （ ）方法二：记 ，取 中点 ，连结 ， ，ACBDFANMFN取 中点 ，连 ，易证点 是 中点，NGGGPO平面 平面 ， ，PCPOD 平面OABD 平面MG连结 ， ，C132MGPO62 ， ， ，由余弦定理知6PD4B2P3cosPDB#* ，6sin3PDB1sin422PDBSPDB设点 到平面 的距离为 ，Ch13PDBPDBVS又 ，求得CCDO 2h记直线 与平面 所成角为MBP26sin93hC17【解析】 （1）50 名服药者中指标 的值小于 60 的人有 15 人，故随机抽取 1 人，此人指标y的值小于 60 的概率为y15
15、30（2） 的可能取值为：0，1，2， ，2416CP12463CP2416CP0 1 21121()0636E（3）从图中服药者和未服药者指标 数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。y18【解析】 （1）由抛物线 过点 ，代入原方程得 ，2ypx(1,)21=p所以 ，原方程为 12y由此得抛物线焦点为 ，准线方程为 ,0414x（2）法一： 轴BMx设 ，根据题意显然有1211,AByNxy10x若要证 为 中点A#*只需证 即可，左右同除 有2ABMy1x12ABMyx即只需证明 成立OOk其中 1,APBN当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线
16、斜率存在且不为零M设直线102Nykx联立 有 ，2yx214kx考虑 ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，214k所以 2k由韦达定理可知： ， 12kx124xk212112OBMONykkxx将代入上式，有2121124kk kx即 ，所以 恒成立ONMOBOAk ABMy 为 中点，得证A法二：当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 斜率存在且不为零MN设 为点 ，过 的直线 方程为 ，设10,2QN102ykx，显然， 均不为零12(,)(,)xyN12,x#*联立方程 得 ，21yxk21()04kx考虑 ，由题可知有两交点，所以判别式大于零
17、，所以 12k由韦达定理可知： ， 12kx由题可得 横坐标相等且同为 ，且 ， 在直线 上，,AB1x2:ONylxBON又 在直线 ： 上，所以 ，若要证明 为 中点，OPy121(,),AxAM只需证 ，即证 ，即证 ，2ABMy121xyx1212yx将 代入上式，12kxy即证 ，即 ，121()()kxkxx1212()()0kxx将代入得 ，化简有 恒成立，204所以 恒成立，2ABMy所以 为 中点19【解析】 （1） ()ecosxf 01,esin1e(cosin)1 xxxff x ()ecosi0)f 在 处的切线方程为 ，即 x,(f (0)(0)yfx0y（2）令
18、()ecosin)1xgfxsi)+(icos2esinx x#* 时，02x()2esin0xg 在 上单调递减()gx 时， ，即02()0()gxf()0fx 在 上单调递减()fx 时， 有最大值 ；0()f(0)1f时， 有最小值 2x()fx2ecos2f20【解析】 （1）易知 ， ， 且 ， ， 1a23a1b235b ，110cb，22maxmax1b3132342c下面我们证明，对 且 ，都有 *Nn 1ncba当 且 时，*k2k 1kban2k1n2k 且 ，10n 110k kbabban 因此，对 且 ， ，则 *Nn2 nc1nc#*又 ，21c故 对 均成立，从
19、而 为等差数列n*Nnnc（2）设数列 与 的公差分别为 ， ，下面我们考虑 的取值abadbnc对 ， ， ，1bn2n考虑其中任意项 （ 且 ） ，iba*Ni1i iban11badidn1()()baani下面我们分 ， ， 三种情况进行讨论0d0d（1）若 ，则a11i bnid若 ，则0bd 0ibai则对于给定的正整数 而言，n1nc此时 ，故 为等差数列11nca若 ，则0bd0inbbaind则对于给定的正整数 而言， 1nca此时 ，故 为等差数列11nbcdan此时取 ，则 是等差数列，命题成立m23c（2）若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次0adabdn
20、n函数故必存在 ，使得当 时，*Nmnm 0abdn则当 时， （ ，n 11i abbaid *Ni） 1i #*因此，当 时， nm 1ncba此时 ，故 从第 项开始为等差数列，命题成立11cam（3）若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次0adabdnn函数故必存在 ，使得当 时，*Nsns 0abdn则当 时， （ ，n 0ii nabbaid *Ni）1i 因此，当 时， ns nncba此时ncnban11baabddn令 ， ，0AB1bC下面证明 对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时，ncCMmnnM若 ，则取 （ 表示不大于 的最大整数）0C1BmAxx当 时，n，1n MBcABA MBA此时命题成立#*若 ，则取0C1MCBmA当 时，n BcABCCMBCA 此时命题也成立因此，对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时， MmnncM综合以上三种情况，命题得证
