1、 1 / 16知 识 梳 理（一）一、因数和倍数1、如果 abc（a、b、c 都是不为 0 的整数） ，那么我们就说 a 和 b 是 c 的因数，c 是a 和 b 的倍数。因数和倍数是相互依存的。例如：3824，3 和 8 是 24 的因数，24是 3 和 8 的倍数。2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。4、一个非零的自然数，既是它本身的倍数，又是它本身的因数。5、找因数的方法：（1 ）列乘法算式：例如：要写出 18 的所有因数，方法如下： 11818 2 918 3 618所以，18
2、 的因数有： 1、2、3 、6、9、18 共 6 个。（2 ）列除法算式：例如：要写出 24 的所有因数，方法如下：24124 24212 243 8 244 6 2454.8（因为4.8 不是整数，所以 5 和 4.8 不是 24 的因数）所以，24 的因数有： 1、2、3 、4、6、8 、12 、24 共 8 个。6、找倍数的方法：用这个数分别乘 1、2 、3、4、5 直到所乘的积接近所规定的限制范围为止，所乘得的积就是这个数的倍数。例如：写出 30 以内 4 的倍数。41 4 42 8 4312 4416 4520 4624 47 28 2 / 16所以，30 以内 4 的倍数有：4、8
3、 、12 、16、20、24 、28。二、2、5、3 的倍数的特征1、个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。2、个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。3、一个数各个数位上的数相加的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。4、 同时是 2、5 的倍数的数末尾必须是 0。最小的两位数是 10，最大的两位数是 90。同时是 2、5、3 的倍数的数末尾必须是 0，而且各个数位上的数相加的和是 3 的倍数。最小的两位数是 30，最大的两位数是 90。三、奇数和偶数1、自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，偶数也叫双数。如：0 、 2、4、6、8 、10、12、14、16 都是偶数。
4、2、自然数中，不是 2 的倍数的数叫做奇数，奇数也叫单数。如：1 、 3、5、7、9 、11、13、15都是奇数。巩 固 练 习（一）一、填空。1、 3515， （ ）是 15 的因数，15 是（ ）的倍数。2、 16 的因数有（ ） 。3、要使 30 是 3 的倍数， 里可以填（ ） 。4、在 18、29、45 、30、17、72 、58、43、75 、100 中，2 的倍数有（ ）,3 的倍数有（ ） ，5 的倍数有（ ） ，既是 2 的倍数又是 5 的倍数的有（ ） ，既是 3 的倍数又是 5 的倍数的有（ ） 。5、从 1，3，5，0 中选取三个数字组成三位数，是 2 的倍数的最大三位
5、数是（ ） ，是 33 / 16的倍数的最大三位数是（ ） ，是 5 的倍数的最大三位数是（ ） 。6、相邻两个整数之和为（ ） ，相邻两个整数之积为（ ） 。7、三个连续奇数的和是 93，这三个数中最小的是（ ） ，最大的是（ ） 。8、有三个连续奇数，最大的奇数比其他的两个奇数的和小 91，这三个数分别是（ ） ，（ ） ， （ ） 。9、有 5 个连续偶数，最大数是最小数的 3 倍，这五个数分别是（ ） ， （ ） ， （ ） ，（ ） ， （ ） 。10、有三个连续奇数：（1 ）如果中间一个是 a，那么其他两个奇数是（ ） ， （ ） 。（2 ）如果这三个数的和是 81，那么这三个数分
6、别是（ ） ， （ ） ， （ ） 。11、用 5，6，7 这三个数字，组成是 5 的倍数的三位数是（ ） ，组成一个是 3 的倍数的最小三位数是（ ） 。12、如果 275 4 是 3 的倍数，那么 里最小能填（ ） ，最大能填（ ） 。13、用含有字母 n 的式子表示任意两个相邻的数，奇数是（ ） ，偶数是（ ） 。14、一个数分别与另外两个相邻的奇数相乘，所得的两个积相差 2008，这个数是（ ） 。15、在由自然数组成的自然数数列的前 100 个数中，即从 0 到 99 中，共有（ ）个奇数，共有（ ）个偶数。二、判断。1、一个数的倍数一定大于这个数的因数。 （ ）2、个位上是 0 的
7、数都是 2 和 5 的倍数。 （ ）3、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。 （ ）4、 5 是因数，10 是倍数。 （ ）5、一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ）4 / 166、三个连续自然数的和一定是 3 的倍数。 （ ）7、在 6 的方框里填上任何一个非 0 自然数， 6 一定是偶数。 （ ）8、一个数如果是 24 的倍数，则这个数一定是 4 和 8 的倍数。 （ ）9、一个自然数越大，它的因数的个数就越多。 （ ）10、一个自然数比 20 小，它既是 2 的倍数，又有因数 7，这个自然数是 14。 （ ）三、选择。1、如果甲数和乙数都是非 0 自然数，且甲数3乙数，
8、那么乙数是甲数的（ ） 。A、倍数 B、因数 C、自然数2、同时是 2，3，5 的倍数的数是（ ） 。A、 18 B、120 C、75 D、813、 一个数，它既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（ ） 。 A、 6 B、12 C、24 D、1444、 自然数中，凡是 17 的倍数（ ） 。 A、都是偶数 B、有偶数也有奇数 C、都是奇数5、 123456 99100 的结果一定是（ ） 。 A、奇数 B、偶数 C、不确定6、一个三位数，百位上是最大的一位偶数，个位上是最小的一位奇数，这个三位数最大可能是（ ） 。A、 891 B、991 C、8017、 如果用 a 表示自然数，那
9、么偶数可以表示为（ ） 。 A、 a2 B、2a C、a 18、 100 以内是 3 的倍数，但不是 5 的倍数的数有（ ）个。A、 33 B、30 C、27 D、135 / 169、同时有因数 2，3，5 的最小四位数是（ ） 。A、1000 B、1002 C、1020 D、120010、386 这个四位数既是 2 的倍数又是 3 的倍数， 里只能填（ ） 。A、 1 B、3 C、4 D、711、是 9 的倍数的数（ ）是 3 的倍数。A、一定 B、一定不 C、不一定 12、自然数按是不是 2 的倍数来分，可以分为（ ） 。A、奇数和偶数 B、质数和合数 C、质数、合数、0 和 1知 识 梳
10、 理 （二）一、质数和合数1、一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。质数也叫素数。例如：2，3 ， 5，7，11都是质数。最小的质数是 2。2、一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：4，6 ， 8，9，10，12都是合数。最小的合数是 4。3、 1 既不是质数，也不是合数。4、按因数个数的多少给自然数（0 除外）分类，可以分三类：质数、合数和 1。5、 100 以内的质数有：2， 3， 5，7， 11，13，17，19，23，29 ，31，37，41 ，43，47，53 ，59，61，67 ，71，73，79，83，89，97 。6、质数中只有
11、 2 是偶数，其它质数都是奇数。但奇数不完全是质数。如：9 和 15 是奇数，却是合数。7、除 2 外，所有的偶数都是合数，但合数不完全是偶数。如：45 和 51 是合数，但不是偶6 / 16数。二、分解质因数1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。例如：30235 ，其中 2，3，5 本身是质数，又是 30 的因数，所以都是 30 的质因数。2、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。例如：24 2223 叫做把 24 分解质因数。3、只有合数才能分解质因数。分解质因数常用短除法。三、互质数1、只有公因数 1 的两个数叫做互质数。如： 3 和
12、7 的公因数只有 1，3 和 7 是互质数；6 和13 的公因数只有 1，6 和 13 是互质数。2、两个数互质的几种情况：（1 ）两个不同的质数互质。如：11 和 19 互质。（2 ）相邻的两个自然数互质。如：8 和 9 互质。（3 ）1 和任何一个自然数互质。如：1 和 18 互质。（4 ）相邻的两个奇数互质。如：13 和 15 互质。（5 ）一个质数和一个合数（但倍数关系除外）互质。如：11 和 15 互质。（6 ）两个合数也可以互质。如：14 和15 互质。巩 固 练 习（二）一、填空。1、两个都是质数的的连续自然数是（ ）和（ ） 。2、既是奇数又是合数的最小自然数是（ ） 。7 /
13、 163、在 120 中，质数有（ ） ，合数有（ ） 。4、有两个质数，它们的和与差都是质数，则这两个质数是（ ）和（ ） 。5、两个质数的积是 14，这两个质数的和是（ ） 。6、在 120 这 20 个自然数中，所有质数的和是（ ） 。7、两个不同质数的和是 15，它们的积是（ ） 。8、在 2，3，45，10 ，22，17，51 ，91，93，97 中，质数是（ ） ，合数是（ ） 。9、三个连续奇数的和是 129，其中最大的那个奇数是（ ） ，将它分解质因数为（ ） 。10、把 30 写成两个质数的和是 30（ ）（ ）（ ）（ ） 。11、既是奇数又是合数的最大两位数是（ ） 。1
14、2、 （ ）只有 1 个因数， （ ）只有两个因数。13、两个质数的和是 19，积是 34，它们的差是（ ） 。14、与 8 互质的最小合数是（ ） 。15、20 以内既是偶数又是质数的数是（ ） ；既是奇数又是合数的有（ ） 。16、10 以内的质数有（ ） ；10 以内的奇数有（ ） 。比 10 小的合数有（ ） 。17、在自然数范围内，最小的质数是（ ） ，最小的合数是（ ） ，最小的奇数是（ ） ，最小的自然数是（ ） ，最小的十位数是（ ） 。二、判断。1、自然数中除了质数就是合数。 （ ）2、两个不为 0 的自然数的和一定是合数。 （ ）3、把 1190 分解质因数，可以写成 11
15、90125717。 （ ）8 / 164、因为 60345，所以 3，4 ，5 是 60 的质因数。 （ ）5、 437 是合数。 （ ）6、 10 以内所有质数的和还是一个质数。 （ ）7、所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。 （ ）8、两个质数相乘的积一定是合数。 （ ）9、一个合数至少得有 3 个因数。 （ ）10、在自然数中，除 0 和 2 以外，所有的偶数都是合数。 （ ）11、质数就是质因数。 （ ）12、一个自然数，不是质数就是合数；不是偶数就是奇数。 （ ）13、2 的倍数一定是合数。 （ ）14、正方形的边长是质数，它的周长也是质数。 （ ）15、两个数是互质数，这两个数
16、不一定都是质数。 （ ）三、选择。1、一个质数的因数有（ ） 。A、1 B、2 C、32、一个两位数，个位上和十位上的数字都是合数，并且是互质数，这个数最小是（ ） 。A、29 B、69 C、49 D、893、 30 的所有因数中，质数有（ ）个。 A、3 B、4 C、54、 a 是一个合数，a（ ） 。 A、一定是奇数 B、一定是偶数 C、至少有 3 个因数5、 一个质数，个位上和十位上的数字相同，这个数是（ ） 。 A、77 B、33 C、119 / 166、 10 以内既是奇数又是合数的数是（ ） 。A、7 B、8 C、97、 20 的质因数有（ ）个。A、1 B、2 C、38、 下面的
17、式子， （ ）是分解质因数。A、54239 B、42237 C、153515、自然数可以分为（ ） 。A、奇数和质数 B、偶数和合数 C、质数和合数 D、质数、合数、1和 0知 识 梳 理 （三）一、公因数和最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个因数叫做它们的最大公因数。例如：12 的因数有： 1，2，3 ，4，6，12。30 的因数有： 1，2，3 ，5，6，10，15，30 。12 和 30 的公因数有： 1，2，3，6 ，其中 6 是 12 和 30 的最大公因数。2、求最大公因数的一般方法：（1 ）分解质因数：把各个数分别分解质因数，公有质因数的乘积，就是
18、这几个数的最大公因数。例如：求 18 和 24 的最大公因数。18233 24222 310 / 1618 和 24 都含有质因数 2 和 3，所以它们的最大公因数是 236。（2 ）短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。例如：求 36，24 ，42 的最大公因数。2 36 24 42 3 18 12 21 6 4 7此时 4 与 7 互质，这三个数的公因数只有 1，停止短除。36，24，42 的最大公因数是 236。3、求两个数最大公因数的特殊情况：（1 ）当两个数成倍数关系时，较
19、小数就是这两个数的最大公因数。（2 ）互质的两个数最大公因数是 1。巩 固 练 习（三）一、填空。1、 18 的因数有（ ） ，24 的因数有（ ） ，18 和 24的公因数有（ ） ，18 和 24 的最大公因数是（ ） 。2、先把下面各数分解质因数，再写出两个数的最大公因数。24（ ） 36（ ） 24 和 36 的最大公因数（ ）（ ）3、在 4，9，10 和 16 这四个数中， （ ）和（ ）是互质数， （ ）和（ ）是互质数， （ ）和（ ）是互质数。4、两个互质的合数的积是 36，这两个合数是（ ）和（ ） 。5、根据下面的要求写出互质的两个数。11 / 16（1 ）两个都是质数：
20、（ ）和（ ） 。（2 ）连续两个自然数：（ ）和（ ） 。（3 ）两个都是合数：（ ）和（ ） 。（4 ）奇数和奇数：（ ）和（ ） 。（5 ）奇数和偶数：（ ）和（ ） 。（6 ）一个质数和一个奇数：（ ）和（ ） 。（7 ）一个质数和一个合数：（ ）和（ ） 。（8 ）一个偶数和一个合数：（ ）和（ ） 。6、如果 a 和 b 是互质的两个自然数，那么 a 和 b 的最大公因数是（ ） 。7、甲数2357，乙数 2311，甲、乙两数最大公因数是（ ） 。8、最小质数与最小合数的最大公因数是（ ） 。9、两个连续自然数的和是 21，这两个数的最大公因数是（ ） 。10、两个相邻奇数的和是
21、16，它们的最大公因数是（ ） 。11、a23，b225，c372，a ，b，c 的最大公因数是（ ） 。12、a 是 b 的倍数， a 和 b 的最大公因数是（ ） 。13、三个连续偶数的和是 42，这三个数的最大公因数是（ ） 。14、两个数的和是 42，最大公因数是 6，且大数不是小数的倍数，这两个数是（ ）和（ ）或（ ）和（ ） 。2、判断。1、两个合数一定不是互质数。 （ ）2、一个质数和比它小的任何一个非 0 自然数一定是互质数。 （ ）3、因为 11 和 13 是互质数，所以说 11 和 13 没有公因数。 （ ）4、因为 AB3，所以 A 和 B 的最大公因数是 3。 （ ）
22、12 / 165、 25 的最大公因数和最小公倍数相等。 （ ）6、 a 是质数，b 也是质数，abm，m 一定是质数。 （ ）7、每相邻两个自然数（0 除外）的最大公因数都是 1。 （ ）8、 13 和 169 的最大公因数是 13。 （ ）9、如果两个不同的数有公因数 2，那么这两个数就一定都是偶数。 （ ）10、任意一个自然数的倍数一定比这个数的因数大。 （ ）11、互质的两个数必定都是质数。 （ ）12、两个不同的奇数一定是互质数。 （ ）13、最小的质数是所有偶数的最大公因数。 （ ）14、有公因数 1 的两个数一定是互质数。 （ ）三、选择。1、两个不同的质数，它们的最大公因数是（
23、 ） 。 A、较大的数 B、1 C、没有2、 1 和任何一个大于 1 的自然数的最大公因数是（ ） 。 A、大于 1 的自然数 B、1 C、没有3、 72 和 48 的最大公因数是（ ） 。 A、72 B、48 C、244、如果 A2235，B2337 ，那么 A 和 B 的最大公因数是（ ） 。A、4 B、6 C、9 D、125、下面（ ）组数有公因数有 2， （ ）组数有公因数 3， （ ）组数有公因数 5。A、12 和 63 B、15 和 20 C、40 和 18 D、15 和 566、一个两位数，个位和十位上的数字都是合数，且是互质数，这个数最大是（ ） 。A、92 B、98 C、99
24、13 / 167、甲数是乙数的因数，甲、乙两数的最大公因数是（ ） 。A、1 B、甲数 C、乙数 D、甲、乙两数的和8、 4 是 24 和 56 的（ ） 。 A、倍数 B、公因数 C、最大公因数4、 把 20 分解质因数应该写成 20（ ） 。 A、45 B、225 C、1225 D、145知 识 梳 理 （四）一、公倍数和最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。例如：8 的倍数有： 8，16，24，32，40 ，48，56，64 ，72，12 的倍数有： 12、 24、36、48 、60、72， 8 和 12 的公倍数有：24，48 ，72
25、， 其中 24 是 8 和 12 的最小公倍数。2、求最小公倍数的一般方法：（1 ）分解质因数：先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，积就是它们的最小公倍数。例如：求 12 和 30 的最小公倍数。1222 33023512 和 30 公有的质因数有 2 和 3，独有的质因数有 2 和5。所以 12 和 30 的最小公倍数是 232560 。（2 ）短除法：用这几个数公有的质因数作除数，连续去除这几个数，直到得出的商两两互14 / 16质为止，然后把所有的除数和商边乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求 8， 12，18 的最小公倍数。2 8 12 18
26、 2 4 6 9 3 2 3 9 2 1 3此时，2，1 ， 3 这三个数两两互质了，除到此为止。8， 12，18 的最小公倍数是：22321372 ，也可以写为8，12，18723、求两个数最小公倍数的特殊情况：（1 ）当两个数成倍数关系时，较大数就是这两个数的最小公倍数。（2 ）当两个数是互质数时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。巩 固 练 习（四）一、填空。1、用长 6cm，宽 4 cm 的长方形纸板拼图形，至少（ ）张就能拼出一个正方形。2、 50 以内 12 的倍数有（ ） ， 8 的倍数有（ ） ，12 和 8的公倍数有（ ） ，12 和 8 的最小公倍数是（ ） 。3、先把下面
27、各数分解质因数，再写出它们的最小公倍数。12（ ） 15（ ） 30（ ）12， 15 和 30 的最小公倍数（ ）（ ）4、如果甲数abbcd，乙数abc（a，b，c，d 是不同的质数） ，那么甲数和乙数的最小公倍数是（ ）5、两个数的最大公因数是 14，最小公倍数是 168，其中一个数是 42，另一个数是（ ） 。15 / 166、三个不同质数的最小公倍数是 70，这三个质数分别是（ ） 、 （ ）和（ ） 。7、因为 a237，b2335，那么 a 和 b 的最小公倍数是（ ） 。8、三个不同质数的最小公倍数是 105，这三个质数是（ ） ， （ ）和（ ） 。9、一筐苹果 4 个 4
28、个拿，6 个 6 个拿，或者 8 个 8 个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（ ）个。10、两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 24，其中的一个数是 12，则另一个数是（ ） 。11、有两个数，它们的最大公因数是 7，最小公倍数是 21，这两个数是（ ）和（ ） 。12、如果 m 和 n 是互质的两个数，那么它们的最小公倍数是（ ） 。13、两个连续自然数的和是 31，这两个数的最小公倍数是（ ） 。二、判断。1、任意两个自然数的最小公倍数都大于这两个数中的任何一个数。 （ ）2、两个不同的自然数的最大公因数一定比它们的最小公倍数小。 （ ）3、如果三个自然数两两互质，它们的最大公因数是 1，
29、最小公倍数就是三个数的乘积。 （ ） 4、如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数。 （ ） 5、如果大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。 （ ）6、 24 与 36 的最小公倍数是它们最大公因数的 12 倍。 （ ）7、两个奇数的最小公倍数一定是奇数。 （ ）8、 5 和 20 的最小公倍数是 40。 （ ）9、两个不为 0 的自然数的积一定是这两个数的公倍数。 （ ）16 / 1610、因为 824，12 34，1535 ，所以 8，12 ，15 的最小公倍数是2345 120。 （ ） 三、选择。1、 96 既是 16 的倍数，又是 24 的倍
30、数，所以 96 是 16 和 24 的（ ） 。A、公因数 B、公倍数 C、最大公因数 D、最小公倍数2、 A233，B235，A 与 B 的最小公倍数是（ ） 。A、235 30 B、233225360 C、2335 903、 任意两个自然数的最大公因数（ ）它们的最小公倍数。 A、大于 B、小于 C、等于4、 甲是乙的 15 倍，甲和乙的最小公倍数是（ ） 。 A、15 B、甲 C、乙 D、甲乙5、 两个合数是互质数，它们的最小公倍数是 72，这样的数有（ ）对。A、1 B、2 C、3 D、66、 （ ）中的两个数既是合数，又是互质数，而且最小公倍数是 120。A、12 和 10 B、3 和 40 C、8 和 15 D、16 和 157、 两个互质数的最小公倍数是 56，这两个数的和是（ ） 。 A、56 B、16 C、15 D、178、 要把 402 瓶饮料装箱，选择每箱（ ）瓶的包装箱正好装完。A、4 B、5 C、6 D、129、 如果 ab32，那么 a 和 32 的最大公因数是（ ） 。 A、b B、a C、32
