1、COMSOL中弱解形式的应用,等效积分形式和等效积分弱形式（虚位移原理）,微分方程 域内 边界上等效积分形式 域内 边界上等效积分弱形式,COMSOL PDE模式,可用于标量方程或系统 注意：系数可能会变成更高阶算子 系数形式 系数对应于常见的物理参数 (例如，扩散、对流等) 通式 很灵活和紧凑 弱形式 作为PDE的基础的PDE形式 积分形式提供更强大的灵活性 (例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等) Lagrange算子显式求解 与通式和系数形式相比，很少被采用,基于弱解形式的方程式系统,作为PDE的基础的一种PDE形式 应用更加灵活（例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等） 形式更加紧凑
2、 对变量的连续性要求较低 Lagrange算子显式求解 适用范围更广泛 适于求解非线性多物理场问题,系数形式,例如：Poisson方程,域内,边界上,域内,子域边界上,隐含 c=f=h=1 和所有其他系数为 0。,系数形式,质量,阻尼质量,扩散,对流,源,对流,吸收,源,质量,阻尼质量,弹性力,初始/热应力,惯性力 (重力),系数形式，波动方程,密度,阻尼系数,应力,刚性，“弹簧常数”,堆积/储存,扩散,对流,源,对流,吸收,源,系数形式，输送扩散方程,系数形式，稳态方程,扩散,Helmholtz项,源,Helmholtz 方程：,系数形式，频率响应波动方程,波数,波长,通式更简练的公式,域内
3、边界上Poisson方程相应的通式为其他系数为 0,弱形式 (静态),通式 乘以试函数 v 并积分左侧分部积分重排记住对于Poisson方程： =-ux -uy, F=1, R=u (u 约束为 0) 在“弱”编辑框中输入上面的求解域积分 -test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F 在边界上，设置约束：u,W,W,瞬态弱形式，例子,通式 乘以试函数 v 并积分包含“del” 表达式的分部积分重排对于Poisson方程：=-ux -uy, F=1, R=u (u 约束为 0) 在“weak”编辑框中输入上面的积分式： -test(ux)*ux - test(uy)*uy
4、 + test(u)*F da*test(u)*ut 边界上设置约束：u,案例：输送和表面反应,在不同维度耦合物理场 (唯一的)输送 2D + 吸附 1D (完全耦合)弱形式, 边界模式 (PDE),控制方程,耦合：,1D 吸附,2D 输送,弱形式PDE，边界,Ds*(-test(csTx)*csTx-test(csTy)*csTy)+test(cs)*(react_surf-cst),网格划分 (局部精细化),结果,体积浓度 c,表面吸附率 (cs),弹性静力学的弱形式,PDE方程乘上试函数并积分分部积分整理得到,域内,边界,一般性问题的弱形式,PDE方程乘上试函数并积分分部积分整理得到,域
5、内,边界,弱约束,优点 精确的通量计算 处理非线性约束 处理包含微分的约束 缺点 引入了较多的未知量 容易在Jacobian矩阵的主对角线上引入零值（鞍点） 不连续约束导致较大的震荡,乘子的物理意义,使用弱约束 Lagrangian乘子被作为独立变量求解 精确的流量计算 处理非线性约束和带有导数的约束 变量名lm1，lm2.,使用弱约束,在PhysicsProperties中设置弱约束 在每个边界条件中确定是否采用弱约束 产生新变量，以lm数字命名，按照应用模式及其变量的顺序来编号,弱约束类型,完美（Ideal） 和标准的逐点约束类似的边界条件，不涉及物理本质 Lagrange乘子对于所有变量
6、对称非完美（Non-Ideal） 修改了模型的物理本质 Lagrange乘子只应用到指定约束的变量,假设模式A(u)和B(v)，其中A的约束,Lagrange乘子及试函数,变量及试函数,弱约束的局限,接触边界相同变量的逐点和弱约束不起作用 只有Dirichlet边界条件才有效 弱约束常导致线性系统的缩放比例问题 使用弱约束时常需要减小单元的阶数，以减少冗余的自由度 当使用迭代求解器时，如果在矩阵中引入了零对角元，需要采用Vanka或i-LU算法,方程式系统中的应用,在weak标签中出现的变量进入求解过程 其余的为后处理变量,相关的Weak项参数设置,weak 写入弱项公式 dweak 与时间相关的弱项 bnd.weak 超弱项，应用于内部不连续边界条件（不存在几何边界） 参考模型库中Equation-Based_Models/transport_problem constr 约束（不是弱约束） Constraint type 完美、非完美、用户自定义,Thank you!,
